Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/exam/kn_uch/book2v3c.htm
Дата изменения: Mon Mar 24 14:53:21 2003
Дата индексирования: Tue Oct 2 10:08:53 2012
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: п п п п п п п п п п
Книга для учителя МЦНМО 2003


Назад | Оглавление | § 4

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 5. Показательные уравнения
Продолжение



2.3.C05

б) Решите систему уравнений
м
п
п
н
п
п
о
3
Ц
 

x
 
-
3
Ц
 

y
 
=-1,
3
Ц
 

x2
 
+
3
Ц
 

xy
 
+
3
Ц
 

y2
 
=7.

Решение. Сделаем замену переменных:
u=
3
Ц
 

x
 


v=
3
Ц
 

y
 

. Система примет вид
м
п
н
п
о
u-v=-1,
u2+uv+v2=7
Ы м
п
н
п
о
u-v=-1,
(u-v)2+3uv=7
Ы м
п
н
п
о
u-v=-1,
1+3uv=7
Ы м
п
н
п
о
u-v=-1,
uv=2
Ы й
к
к
к
л
{
u=1,
v=2,
{
u=-2,
v=-1.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
л
{
3Ц{x}=1,
3Ц{y}=2,
{
3Ц{x}=-2,
3Ц{y}=-1
Ы й
к
к
к
л
{
x=1,
y=8,
{
x=-8,
y=-1.

Ответ:

(1;8);(-8;-1).


2.3.C07

a) Решите систему уравнений
м
п
п
н
п
п
о

Ц
 

25x2-6xy-5y2
 
=-5x-2,
x+y=-5.

Решение. Данная система равносильна системе
м
п
п
н
п
п
о
25x2-6xy-5y2=(-5x-2)2,
-5x-2 ? 0,
x=-5-y
Ы м
п
п
п
н
п
п
п
о
25x2-6xy-5y2=4+20x+25x2,
x ? -  2

5
,
x=-5-y
Ы м
п
п
п
н
п
п
п
о
-6xy-5y2-20x-4=0,
x ? -  2

5
,
x=-5-y.

Подставим в первое уравнение вместо x выражение -5-y. Получим уравнение -6(-5-y)y-5y2-20(-5-y)-4=0.

Раскроем скобки: 30y+6y2-5y2+100+20y-4=0 Ы y2+50y+96=0, откуда
й
к
к
к
л
y=-48,
y=-2.

Если y=-48, то x=43. Это значение не удовлетворяет условию 
x ? -  2

5

.

Если y=-2, то x=-3. Это значение удовлетворяет условию 
x ? -  2

5

.

Ответ:

(-3;-2).


2.3.C11

б) Решите систему уравнений
м
п
п
н
п
п
о
2
Ц
 

3x2-10x+9
 
+3
Ц
 

y-2
 
=5,
2
Ц
 

y-2
 
-3
Ц
 

3x2-10x+9
 
=-1.

Решение. Сделаем замену переменных:

Ц
 

3x2-10x+9
 
=u

,

Ц
 

y-2
 
=v

.
Получаем систему двух линейных уравнений
м
п
н
п
о
2u+3v=5,
2v-3u=-1.
Ее решение:
м
п
н
п
о
u=1,
v=1.

Сделаем обратную замену:
м
п
п
н
п
п
о

Ц
 

3x2-10x+9
 
=1,

Ц
 

y-2
 
=1
Ы м
п
н
п
о
3x2-10x+9=1,
y-2=1
Ы м
п
н
п
о
3x2-10x+8=0,
y=3
Ы м
п
н
п
о
[***{
x=2,
x=[(4)/(3)],
y=3.

Ответ:


ж
и
 4

3
;3 ц
ш
;(2;3).


2.3.D06

a) Решите систему уравнений
м
п
п
н
п
п
о
5x+3
Ц
 

xy
 
+4y=12,
3x+2
Ц
 

xy
 
+3y=8.

Решение. Умножим все члены первого уравнения на 2, а второго - на -3:
м
п
п
н
п
п
о
10x+6
Ц
 

xy
 
+8y=24,
-9x-6
Ц
 

xy
 
-9y=-24.

Сложив уравнения, получим уравнение x-y=0, откуда x=y.
Получим равносильную систему
м
п
п
н
п
п
о
x=y,
5x+3
Ц
 

xy
 
+4y=12.

Во второе уравнение полученной системы вместо y подставим x:
5x+3
Ц
 

x2
 
+4x=12

Ы 9x+3|x|=12 Ы 3x+|x|=4.

Пусть x ? 0. Тогда |x|=x. Получаем уравнение 3x+x=4 Ы 4x=4 Ы x=1.

Пусть теперь x < 0. Тогда |x|=-x, и уравнение принимает вид 3x-x=4 Ы 2x=4 Ы x=2.

Найденное решение не удовлетворяет условию x < 0. Следовательно, x=1.

Тогда y=1.

Ответ:

(1;1).


2.3.D11

б) Решите систему уравнений
м
п
п
н
п
п
о
x-2y+
Ц
 

x2-4y2-49
 
=-7,
(x2-49)
Ц
 

x2-4y2-49
 
=0.

Решение. Рассмотрим два случая.

Первый случай: x2-4y2-49=0.
Получим систему
м
п
н
п
о
x2-4y2-49=0,
x-2y=-7
Ы м
п
н
п
о
(x-2y)(x+2y)=49,
x-2y=-7
Ы м
п
н
п
о
x+2y=-7,
x-2y=-7
Ы м
п
н
п
о
x=-7,
y=0.

Второй случай: x2-4y2-49 > 0.
Получим систему
м
п
п
п
н
п
п
п
о
x-2y+
Ц
 

x2-4y2-49
 
=-7,
x2-49=0,
x2-4y2-49 > 0.

Поскольку x2-49=0, из неравенства системы следует, что -4y2 > 0, что невозможно.

Ответ:

(-7;0).


Назад | Оглавление | § 4

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100