Назад | Оглавление | § 4

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 5. Показательные уравнения
Продолжение

Решение. Сделаем замену переменных:

u=

3 Ц

x

; 

v=

3 Ц

y

. Система примет вид

м п н п о u-v=-1, u2+uv+v2=7 Ы м п н п о u-v=-1, (u-v)2+3uv=7 Ы м п н п о u-v=-1, 1+3uv=7 Ы м п н п о u-v=-1, uv=2 Ы й к к к л { u=1, v=2, { u=-2, v=-1.

Сделаем обратную замену:

й к к к л { 3Ц{x}=1, 3Ц{y}=2, { 3Ц{x}=-2, 3Ц{y}=-1 Ы й к к к л { x=1, y=8, { x=-8, y=-1.

Ответ:

(1;8);(-8;-1).

Решение. Данная система равносильна системе

м п п н п п о 25x2-6xy-5y2=(-5x-2)2, -5x-2 ? 0, x=-5-y Ы м п п п н п п п о 25x2-6xy-5y2=4+20x+25x2, x ? -  2 5 , x=-5-y Ы м п п п н п п п о -6xy-5y2-20x-4=0, x ? -  2 5 , x=-5-y.

Подставим в первое уравнение вместо x выражение -5-y. Получим уравнение -6(-5-y)y-5y²-20(-5-y)-4=0.

Раскроем скобки: 30y+6y²-5y²+100+20y-4=0 Ы y²+50y+96=0, откуда

й к к к л y=-48, y=-2.

Если y=-48, то x=43. Это значение не удовлетворяет условию 

x ? -

2 5

.

Если y=-2, то x=-3. Это значение удовлетворяет условию 

x ? -

2 5

.

Ответ:

(-3;-2).

Решение. Сделаем замену переменных:

Ц

3x2-10x+9

=u

,

Ц

y-2

=v

.

Получаем систему двух линейных уравнений

м п н п о 2u+3v=5, 2v-3u=-1.

Ее решение:

м п н п о u=1, v=1.

Сделаем обратную замену:

м п п н п п о Ц   3x2-10x+9   =1, Ц   y-2   =1 Ы м п н п о 3x2-10x+9=1, y-2=1 Ы м п н п о 3x2-10x+8=0, y=3 Ы м п н п о [***{ x=2, x=[(4)/(3)], y=3.

Ответ:

ж и  4 3 ;3 ц ш ;(2;3).

Решение. Умножим все члены первого уравнения на 2, а второго - на -3:

м п п н п п о 10x+6 Ц   xy   +8y=24, -9x-6 Ц   xy   -9y=-24.

Сложив уравнения, получим уравнение x-y=0, откуда x=y.

Получим равносильную систему

м п п н п п о x=y, 5x+3 Ц   xy   +4y=12.

Во второе уравнение полученной системы вместо y подставим x:

5x+3

Ц

x2

+4x=12

Ы 9x+3|x|=12 Ы 3x+|x|=4.

Пусть x ? 0. Тогда |x|=x. Получаем уравнение 3x+x=4 Ы 4x=4 Ы x=1.

Пусть теперь x < 0. Тогда |x|=-x, и уравнение принимает вид 3x-x=4 Ы 2x=4 Ы x=2.

Найденное решение не удовлетворяет условию x < 0. Следовательно, x=1.

Тогда y=1.

Ответ:

(1;1).

Решение. Рассмотрим два случая.

Первый случай: x²-4y²-49=0.

Получим систему

м п н п о x2-4y2-49=0, x-2y=-7 Ы м п н п о (x-2y)(x+2y)=49, x-2y=-7 Ы м п н п о x+2y=-7, x-2y=-7 Ы м п н п о x=-7, y=0.

Второй случай: x²-4y²-49 > 0.

Получим систему

м п п п н п п п о x-2y+ Ц   x2-4y2-49   =-7, x2-49=0, x2-4y2-49 > 0.

Поскольку x²-49=0, из неравенства системы следует, что -4y² > 0, что невозможно.

Ответ:

(-7;0).

Назад | Оглавление | § 4

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.