Назад | Оглавление | Продолжение

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 5. Показательные уравнения
Продолжение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п н п о 5x3+9x2+12x-36=(3x+2)2, 3x+2 ? 0.

Решим уравнение системы: 5x³+9x²+12x-36=(3x+2)² Ы 5x³+9x²+12x-36 =9x²+12x+4 Ы 5x³-40=0 Ы x³=8 Ы x=2.

Полученный корень удовлетворяет неравенству 3x+2 ? 0.

Ответ:

2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п н п о 7x4+24x3+13x2+20x+25=(2x+5)2, 2x+5 ? 0.

Решим уравнение системы:

7x4+24x3+13x2+20x+25=(2x+5)2 Ы7x4+24x3+13x2+20x+25=4x2+20x+25 Ы7x4+24x3+9x2=0 Ыx2(7x2+24x+9)=0 Ы й к к к л x=0, 7x2+24x+9=0.

Корни квадратного уравнения:

й к к к к к л x=-3, x=-  3 7 .

Из найденных чисел условию 2x+5 ? 0 удовлетворяют только числа 

0;-

3 7

.

Ответ:

0;-

3 7

.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 

y=

3 Ц

x+5

. Тогда x=y³-5.

Уравнение принимает вид

y- 3 Ц   y3-9   =3 Ыy-3= 3 Ц   y3-9   Ы(y-3)3=y3-9 Ыy3-9y2+27y-27=y3-9 Ы-9y2+27y-18=0 Ы y2-3y+2=0.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения y²-3y+2=0 равна 3, а их произведение равно 2. Корнями являются числа 2 и 1.

Сделаем обратную замену:

й к к к к к л 3 Ц   x+5   =2, 3 Ц   x+5   =1 Ы й к к к л x+5=8, x+5=1 Ы й к к к л x=3, x=-4.

Ответ:

3;-4.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 

y=

ж Ц

5x2-3x+2 2x2-3x+5

. Уравнение принимает вид 

5y-7·

1 y

=-2

; y > 0.

Таким образом, необходимо решить систему

м п н п о 5y2+2y-7=0, y > 0.

Корни квадратного уравнения 5y²+2y-7=0:

й к к к к к л y=1, y=-  7 5 .

Условию y > 0 удовлетворяет только значение y=1.

Сделаем обратную замену и возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

5x2-3x+2 2x2-3x+5 =1 Ы м п н п о 5x2-3x+2=2x2-3x+5, 2x2-3x+5 ? 0 Ы м п н п о 3x2-3=0, 2x2-3x+5 ? 0 Ы й к к к л x=1, x=-1.

Ответ:

1;-1.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п п н п п о Ц   3x2+35x-11   -4x+1=0, Ц   5x+1   -x-1 ? 0.

Решим уравнение системы:

Ц   3x2+35x-11   -4x+1=0 Ы м п н п о 3x2+35x-11=16x2-8x+1, 4x-1 ? 0 Ы м п п н п п о 13x2-43x+12=0, x ?  1 4 .

Найдем корни квадратного уравнения:

й к к к к к л x=3, x=  4 13 .

Найденные значения удовлетворяют условию 

x ?

1 4

.

Условию 

Ц

5x+1

-x-1 ? 0

удовлетворяет корень 

x=

4 13

.

Ответ:

4 13

.

Решение. Заменим уравнение системы их суммой и разностью:

м п п н п п о 4 3 Ц   x   =-8, -6 3 Ц   y   =-6 Ы м п п н п п о 3 Ц   x   =-2, 3 Ц   y   =1 Ы м п н п о x=-8, y=1.

Ответ:

(-8;1).

Назад | Оглавление | Продолжение

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.