Назад | Оглавление | § 3

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 2. Рациональные уравнения
Окончание

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п п н п п о x4-6x3+9x2-64=0, 2x-3+ Ц   41   ? 0.

Решим уравнение

x4-6x3+9x2-64=0 Ы(x2-3x)2-64=0 Ы(x2-3x-8)(x2-3x+8)=0 Ы

Ы й к к к л x2-3x-8=0, x2-3x+8=0.

Вычислим дискриминант уравнения x²-3x-8=0: D=(-3)²+4·8=41.

Корни уравнения:

й к к к к к к к л x=  3-Ц{41} 2 , x=  3+Ц{41} 2 .

Вычислим дискриминант уравнения x²-3x+8=0: D=(-3)²-4·8=-23.

Дискриминант отрицателен. Второе уравнение корней не имеет.

Из условия 

2x-3+

Ц

41

? 0

находим 

x ?

3- Ц 41 2

. Получаем единственный корень данного уравнения: 

x=

3+ Ц 41 2

.

Ответ:

3+ Ц 41 2

.

Решение. Данная система равносильна системе

м п п н п п о x+7y=2, 5x-y=1, 3x-19y=-4.

Умножим все члены первого уравнения полученной системы на 5. Вычитая из полученного уравнения второе уравнение системы, исключим переменную x. Получим равносильную систему

м п п н п п о 36y=9, 5x-y=1, 3x-19y=-4.

Подставим 

y=

1 4

во второе уравнение системы:

5x-

1 4

=1

;

x=

1 4

.

Осталось проверить, удовлетворяет ли найденная пара чисел 

x=y=

1 4

третьему уравнению системы: 

3·

1 4

-19·

1 4

=-4

.

Ответ:

ж и

1 4

;

1 4

ц ш

.

Решение. Решим первое уравнение:

x2+5x+6 2x-y =0 Ы м п н п о x2+5x+6=0, 2x-y ? 0.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения x²+5x+6=0 равна -5, а их произведение равно 6. Корнями являются числа -3;-2.

Если x=-2, то второе уравнение данной системы принимает вид 2·(-2)-3y=8, откуда y=-4.

При этом условие y ? 2x не выполнено.

Если x=-3, то второе уравнение данной системы принимает вид 2·(-3)-3y=8, откуда 

y=-

14 3

.

При этом условие y ? 2x выполняется.

Ответ:

ж и

-3;-

14 3

ц ш

.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 

u=

y x

. Второе уравнение системы принимает вид

11u+  1 u =-12 Ы й к к к к к л u=-1, u=-  1 11 .

Если 

y x

=-1

, то y=-x и первое уравнение принимает вид -2x²-1=-3 Ы x²=1 Ы

й к к к л x=1, x=-1.

При x=1 получаем y=-1; при x=-1 находим y=1.

Если 

y x

=-

1 11

, то 

y=-

1 11

x

и первое уравнение принимает вид 

-

2 11

x2-

1 11

=-3

Ы 2x²+1=33 Ы x²=16 Ы

й к к к л x=4, x=-4.

При x=4 находим 

y=-

4 11

.

При x=-4 находим 

y=

4 11

.

Ответ:

(4;-

4 11

);(-4;

4 11

);(1;-1);(-1;1)

.

Решение. Данная система равносильна системе

м п н п о (x+y)2+3(x-y)2=4, x2+2xy+7y2=7.

Раскроем скобки в первом уравнении и приведем подобные члены:

м п н п о x2-xy+y2=1, x2+2xy+7y2=7.

Умножим первое уравнение на (-7) и прибавим ко второму. В результате получим равносильную систему

м п н п о x2-xy+y2=1, -6x2+9xy=0.

Рассмотрим второе уравнение:

-3x(2x-3y)=0 Ы й к к к к к л x=0, x=  3 2 y.

Таким образом, получаем две системы:

м п н п о x=0, x2-xy+y2=1

и 

м п п н п п о x=  3 2 y, x2-xy+y2=1.

Решим первую систему:

м п н п о x=0, x2-xy+y2=1 Ы м п н п о x=0, y2=1.

Получаем два решения: (0;1) и (0;-1).

Решим вторую систему:

м п п н п п о x=  3 2 y, x2-xy+y2=1 Ы м п п н п п о x=  3 2 y, 7y2=4 Ы м п п н п п о x=  3 2 y, [***{ y=[(2)/(Ц7)], y=-[(2)/(Ц7)].

Получаем еще два решения:

ж и  3 Ц7 ;  2 Ц7 ц ш

и

ж и -  3 Ц7 ;-  2 Ц7 ц ш .

Выражение x-8y принимает наибольшее значение для пары x=0; y=-1.

Ответ:

(0;-1).

Назад | Оглавление | § 3

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.