Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/exam/kn_uch/book2v2d.htm
Дата изменения: Mon Mar 24 14:53:18 2003
Дата индексирования: Tue Oct 2 10:08:09 2012
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п
Книга для учителя МЦНМО 2003


Назад | Оглавление | § 3

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 2. Рациональные уравнения
Окончание



2.2.D12

б) Решите уравнение 
 x4-6x3+9x2-64

2x-3+
Ц

41
=0

.

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о
x4-6x3+9x2-64=0,
2x-3+
Ц
 

41
 
? 0.

Решим уравнение
x4-6x3+9x2-64=0 Ы(x2-3x)2-64=0 Ы(x2-3x-8)(x2-3x+8)=0 Ы

Ы й
к
к
к
л
x2-3x-8=0,
x2-3x+8=0.

Вычислим дискриминант уравнения x2-3x-8=0: D=(-3)2+4·8=41.

Корни уравнения:
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  3-Ц{41}

2
,
x=  3+Ц{41}

2
.

Вычислим дискриминант уравнения x2-3x+8=0: D=(-3)2-4·8=-23.

Дискриминант отрицателен. Второе уравнение корней не имеет.

Из условия 
2x-3+
Ц
 

41
 
? 0

находим 
x ?
3-
Ц

41

2

. Получаем единственный корень данного уравнения: 
x=
3+
Ц

41

2

.

Ответ:


3+
Ц

41

2

.

Завершают обзор задач системы уравнений.


2.2.A05

a) Решите систему уравнений
м
п
п
п
н
п
п
п
о
(x+7y)-1=  1

2
,
(5x-y)-1=1,
3x-19y=-4.

Решение. Данная система равносильна системе
м
п
п
н
п
п
о
x+7y=2,
5x-y=1,
3x-19y=-4.

Умножим все члены первого уравнения полученной системы на 5. Вычитая из полученного уравнения второе уравнение системы, исключим переменную x. Получим равносильную систему
м
п
п
н
п
п
о
36y=9,
5x-y=1,
3x-19y=-4.

Подставим 
y=  1

4

во второе уравнение системы:
5x-  1

4
=1

;
x=  1

4

.

Осталось проверить, удовлетворяет ли найденная пара чисел 
x=y=  1

4

третьему уравнению системы: 
 1

4
-19·  1

4
=-4

.

Ответ:


ж
и
 1

4
;  1

4
ц
ш

.


2.2.B07

б) Решите систему уравнений
м
п
н
п
о
(x2+5x+6)(2x-y)-1=0,
2x-3y=8.

Решение. Решим первое уравнение:
 x2+5x+6

2x-y
=0 Ы м
п
н
п
о
x2+5x+6=0,
2x-y ? 0.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения x2+5x+6=0 равна -5, а их произведение равно 6. Корнями являются числа -3;-2.

Если x=-2, то второе уравнение данной системы принимает вид 2·(-2)-3y=8, откуда y=-4.

При этом условие y ? 2x не выполнено.

Если x=-3, то второе уравнение данной системы принимает вид 2·(-3)-3y=8, откуда 
y=-  14

3

.

При этом условие y ? 2x выполняется.

Ответ:


ж
и
-3;-  14

3
ц
ш

.


2.2.C08

a) Решите систему уравнений
м
п
п
п
н
п
п
п
о
2xy+  y

x
=-3,
 11y

x
+  x

y
=-12.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 
u=  y

x

. Второе уравнение системы принимает вид
11u+  1

u
=-12 Ы й
к
к
к
к
к
л
u=-1,
u=-  1

11
.

Если 
 y

x
=-1

, то y=-x и первое уравнение принимает вид -2x2-1=-3 Ы x2=1 Ы
й
к
к
к
л
x=1,
x=-1.

При x=1 получаем y=-1; при x=-1 находим y=1.

Если 
 y

x
=-  1

11

, то 
y=-  1

11
x

и первое уравнение принимает вид 
-  2

11
x2-  1

11
=-3

Ы 2x2+1=33 Ы x2=16 Ы
й
к
к
к
л
x=4,
x=-4.

При x=4 находим 
y=-  4

11

.

При x=-4 находим 
y=  4

11

.

Ответ:


(4;-  4

11
);(-4;  4

11
);(1;-1);(-1;1)

.


2.2.D04

б) Найдите решение системы уравнений
м
п
п
н
п
п
о
(x+y)2+3(x-y)2=4,
 1

x2+2xy+7y2
=7-1,
для которого выражение x-8y принимает наибольшее значение.

Решение. Данная система равносильна системе
м
п
н
п
о
(x+y)2+3(x-y)2=4,
x2+2xy+7y2=7.

Раскроем скобки в первом уравнении и приведем подобные члены:
м
п
н
п
о
x2-xy+y2=1,
x2+2xy+7y2=7.

Умножим первое уравнение на (-7) и прибавим ко второму. В результате получим равносильную систему
м
п
н
п
о
x2-xy+y2=1,
-6x2+9xy=0.

Рассмотрим второе уравнение:
-3x(2x-3y)=0 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=0,
x=  3

2
y.

Таким образом, получаем две системы:
м
п
н
п
о
x=0,
x2-xy+y2=1
и 
м
п
п
н
п
п
о
x=  3

2
y,
x2-xy+y2=1.

Решим первую систему:
м
п
н
п
о
x=0,
x2-xy+y2=1
Ы м
п
н
п
о
x=0,
y2=1.
Получаем два решения: (0;1) и (0;-1).

Решим вторую систему:
м
п
п
н
п
п
о
x=  3

2
y,
x2-xy+y2=1
Ы м
п
п
н
п
п
о
x=  3

2
y,
7y2=4
Ы м
п
п
н
п
п
о
x=  3

2
y,
[***{
y=[(2)/(Ц7)],
y=-[(2)/(Ц7)].

Получаем еще два решения:
ж
и
 3

Ц7
;  2

Ц7
ц
ш
и
ж
и
-  3

Ц7
;-  2

Ц7
ц
ш
.

Выражение x-8y принимает наибольшее значение для пары x=0; y=-1.

Ответ:

(0;-1).


Назад | Оглавление | § 3

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100