Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/exam/kn_uch/book2v2b.htm
Дата изменения: Mon Mar 24 14:53:16 2003
Дата индексирования: Tue Oct 2 11:21:57 2012
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: п п п п п п п
Книга для учителя МЦНМО 2003

Назад | Оглавление | Продолжение

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 2. Рациональные уравнения
Продолжение


2.2.D06

б) Решите уравнение 
 25
|x2-10x|
 =  1
4
 -  5
2x

.

Решение. Перейдем к равносильному уравнению
 25
|x2-10x|
 =  x-10
4x

. Из полученного уравнения следует, что
 x-10
4x
 > 0

, откуда x > 10 или x < 0.

При x > 10 уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
(x-10)2=100,
x-10 > 0
 Ы x-10=10 Ы x=20.

При x < 0 уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
(x-10)2=100,
x-10 < 0
 Ы x-10=-10 Ы x=0.

Значение x=0 не удовлетворяет условию x ? 0.

Ответ:

20.

Следующая группа упражнений - уравнения, решаемые заменой переменной.


2.2.A04

б) Решите уравнение 1-4(x+7)-1+4(x+7)-2=0.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=(x+7)-1. Уравнение примет вид
1-4y+4y2=0 Ы (1-2y)2=0 Ы y=  1
2
 .

Сделаем обратную замену:
(x+7)-1=  1
2
 Ы x+7=2 Ы x=-5

.

Ответ:

-5.


2.2.B03

a) Найдите наибольший корень уравнения
x2-x=32-  60
x2-x
 .

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=x2-x. Уравнение принимает вид 
y=32-  60
y

.

Перейдем к равносильной системе:
м
п
н
п
о
y2-32y+60=0,
y ? 0,
 Ы й
к
к
к
л
y=2,
y=30.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
л
x2-x=2,
x2-x=30
 Ы й
к
к
к
л
x2-x-2=0,
x2-x-30=0,
 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-1,
x=-5,
x=2,
x=6.

Наибольший корень: x=6.

Ответ:

6.


2.2.D03

a) Решите уравнение
(-3|x|)-1(x2+3|x|-7)=-3|x|(x2+3|x|-7)-1.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=(-3|x|)-1(x2+3x-7). Уравнение принимает вид
y=y-1 Ы y=  1
y
 Ы й
к
к
к
л
y=1,
y=-1.

Решим уравнение (-3|x|)-1(x2+3x-7)=1:

(-3|x|)-1(x2+3|x|-7)=1 Ыx2+3|x|-7=-3|x| Ы x2+6|x|-7=0.

Полученное уравнение является квадратным относительно |x|. Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна -6, а их произведение равно -7. Корнями являются числа -7;1.

Уравнение |x|=-7 не имеет решений, а из уравнения |x|=1 находим
й
к
к
к
л
x=1,
x=-1.

Решив уравнение (-3|x|)-1(x2+3|x|-7)=-1.
Оно равносильно уравнению
x2+3|x|-7=3|x| Ыx2-7=0 Ы й
к
к
к
л
x=Ц7,
x=-Ц7.

Ответ:

1;-1;Ц7;-Ц7.


2.2.D11

б) Решите уравнение 
 x2+2x+5
x2+x+5
 -  3x
x2+2x+5
 =1

.

Решение. Заметим, что при x=0 уравнение обращается в верное равенство.

Пусть теперь x ? 0. Тогда данное уравнение равносильно уравнению 
x+2+  5
x
x+1+  5
x
 -  3
x+2+  5
x
 =1

.

Сделаем замену переменной. Пусть 
y=x+1+  5
x

. Уравнение принимает вид 
 y+1
y
 -  3
y+1
 =1

.

Полученное уравнение равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о
(y+1)(y+1)-3y=y(y+1),
y ? 0,
y+1 ? 0
 Ы м
п
п
н
п
п
о
2y-1=0,
y ? 0,
y ? -1.

Решим уравнение, получим 
y=  1
2

.

Сделаем обратную замену: 
x+1+  5
x
 =  1
2

. Приведем уравнение к квадратному с целыми коэффициентами: 2x2+x+10=0.

Вычислим дискриминант: D=12-4·2·10=-79.

Дискриминант отрицателен. Уравнение не имеет решений. Следовательно, единственное решение данного уравнения: x=0.

Ответ:

0.

К расс