Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/exam/kn_uch/book2v1a.htm
Дата изменения: Mon Mar 24 14:53:13 2003
Дата индексирования: Tue Oct 2 10:07:08 2012
Кодировка: Windows-1251
Книга для учителя МЦНМО 2003

Глава 1. § 4 | Оглавление | Продолжение

Глава 2.
Уравнения и системы уравнений

 Во вторую главу сборника включены целые алгебраические, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения, а также системы уравнений. Среди упражнений главы - уравнения, содержащие знак модуля; задачи, связанные с функциональной символикой и сводящиеся к решению уравнений; задачи на отбор корней уравнения или поиск их числа.

К основным методам решения уравнений относятся следующие: Сразу скажем, что решение уравнений в экзаменационной работе может быть записано самыми разными способами. Требовать от учащихся использования только равносильных преобразований, как и считать их отсутствие недочетом, не следует. То же можно сказать и о знаке совокупности (объединения): ни его использование, ни его отсутствие нельзя считать недочетом. Важно лишь, чтобы решение не содержало математических ошибок, к которым, в частности, относятся неверное использование тех же знаков равносильности и совокупности или отсутствие проверки при решении уравнения переходом к уравнению-следствию.

§ 1. Целые алгебраические уравнения

Одним из основных способов решения целых алгебраических уравнений является разложение на множители. Приведем решения соответствующих упражнений.


2.1.A02

б) Решите уравнение (2+x)2=(2+x)(55x-4).

Решение. Перепишем уравнение в виде
(2+x)((2+x)-(55x-4))=0.

Полученное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
л
2+x=55x-4,
2+x=0,
откуда
й
к
к
к
к
к
л
x=  1
9
 ,
x=-2.

Ответ:


 1
9
 ;-2

.


2.1.C01

б) Решите уравнение
 (x2+25x+24)2
3
 +3 ж
и 		x2-  7
3
 x-  10
3
 ц
ш 		2
 
 =  (x2+27x+26)2
3
.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
3 ж
и 		x2-  7
3
 x-  10
3
 ц
ш 		2
 
 =  (x2+27x+26)2
3
 -  (x2+25x+24)2
3

Ы
3 ж
и 		x2-  7
3
 x-  10
3
 ц
ш 		2
 
 =  (2x+2)(2x2+52x+50)
3

Ы (3x2-7x-10)2=4(x+1)(x2+26x+25).

Разложим на множители трехчлен x2+26x+25:
x2+26x+25=(x+1)(x+25).

Разложим на множители трехчлен 3x2-7x-10:
3x2-7x-10=(x+1)(3x-10).

Уравнение принимает вид
(x+1)2(3x-10)2=4(x+1)2(x+25),
откуда
й
к
к
к
л
(3x-10)2=4(x+25),
x+1=0.

Решим первое уравнение:
(3x-10)2=4(x+25) Ы 9x2-60x+100=4x+100 Ы 9x2-64x=0 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=0,
x=  64
9
 .

Решим второе уравнение: x+1=0 Ы x=-1.

Ответ:


-1;0;  64
9

.


2.1.D10

б) Решите уравнение
(x2+4x+3)2+(x2+3x+2)2=(x2-1)2+(x2-x-2)2.

Решение. Перегруппируем слагаемые:
(x2+4x+3)2-(x2-x-2)2=(x2-1)2-(x2+3x+2)2Ы(5x+5)(2x2+3x+1)=(-3x-3)(2x2+3x+1)Ы5(x+1)(2x2+3x+1)=-3(x+1)(2x2+3x+1)Ы8(2x2+3x+1)(x+1)=0 Ы й
к
к
к
л
x=-1,
2x2+3x+1=0.

Решим второе уравнение совокупности:

2x2+3x+1=0 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=-1,
x=-  1
2
 .

Ответ:


-1;-  1
2

.

Часть упражнений первого параграфа второй главы сводится к решению уравнений вида f(g(x))=f(p(x)). Уравнение f(g(x))=f(p(x)) далеко не всегда равносильно уравнению g(x)=p(x). При подобном переходе может возникать как ситуация потери корней, так и ситуация приобретения посторонних решений.

Уравнение вида (g(x))2n+1=(p(x))2n+1, где n - натуральное число, в силу свойств степенной функции с нечетным натуральным показателем равносильно уравнению g(x)=p(x). Отметим, что уравнение вида (g(x))2n=(p(x))2n, где n - натуральное число, в силу свойств степенной функции с четным натуральным показателем равносильно не уравнению g(x) = p(x), а совокупности
й
к
к
к
л
p(x) = q(x),
p(x) = - q(x).

Приведем решения ряда целых алгебраических уравнений вида fn(x) = gn(x).


2.1.B01

б) Решите уравнение
ж
и 		x2-  1
32
 x-  1
96
 ц
ш 		3

 
8
 =
ж
и 		x2-  3
64
 x+  1
64
 ц
ш 		3

 
27
 .

Решение. Кубы двух выражений равны тогда и только тогда, когда равны сами выражения. Значит,
x2-  1
32
 x-  1
96
2
 =
x2-  3
64
 x+  1
64
3
 Ы3x2-  3
32
 x-  1
32
 =2x2-  3
32
 x+  1
32
 Ы x2=  1
16
 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  1
4
 ,
x=-  1
4
 .

Ответ:


-  1
4
 ;  1
4

.


2.1.B09

б) Решите уравнение (x2-12x+10)4=(3x+10)4.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
л
x2-12x+10=3x+10,
x2-12x+10=-3x-10,
откуда