Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/exam/kn_uch/book2v4e.htm
Дата изменения: Mon Mar 24 14:53:25 2003
Дата индексирования: Tue Oct 2 10:10:11 2012
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п
Книга для учителя МЦНМО 2003


Назад | Оглавление | § 5

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Окончание



2.4.C10

a) Решите уравнение 4cos4x=13sin2x-1.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению 4cos4x=13(1-cos2x)-1 Ы 4cos4x+13cos2x-12=0.

Сделаем замену переменной. Пусть y=cos2x. Получим систему относительно y:
м
п
н
п
о
4y2+13y-12=0,
0 ? y ? 1
Ы y=  3

4
.

Сделаем обратную замену переменной:
cos2x=  3

4

Ы
cosx=+  Ц3

2

, откуда
x=  p

6
+pn

или
x=-  p

6
+pn;n О Z

.

Ответ:


 p

6
+pn;-  p

6
+pn;n О Z

.


2.4.C12

б) Решите уравнение 
cos2 x+sin2  x

2
-1=0

.

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени.
cos2x+  1-cosx

2
-1=0

Ы 2cos2x-cosx-1=0.

Сделаем замену переменной: cosx=y. Уравнение примет вид 2y2-y-1=0 Ы
й
к
к
к
к
к
л
y=1,
y=-  1

2
.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
л
cosx=1,
cosx=-  1

2
Ы
й
к
к
к
к
к
к
к
к
к
л
x=2pn,
x=  2p

3
+2pn,
x=-  2p

3
+2pn,n О Z.

Ответ:


2pn;  2p

3
+2pn;-  2p

3
+2pn;n О Z

.


2.4.D01

a) Найдите число решений уравнения
cos6pxsin9px=cospxsin14px,
принадлежащих отрезку [3;4].

Решение. Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса. Получим уравнение
 1

2
(sin15px+sin3px)=  1

2
(sin15px+sin13px) Ыsin3px=sin13pxЫ й
к
к
к
л
3px=13px+2pn,
3px=p-13px+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
л
-10x=2n,
16x=1+2n,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-  n

5
,
x=  2n+1

16
,n О Z.

Заметим, что среди найденных корней нет одинаковых. Количество корней вида 
-  n

5

, принадлежащих отрезку [3;4], равно 6.

Количество корней вида 
 2n+1

16

, лежащих на отрезке [3;4], равно 8.

Ответ:

14.


2.4.D04

б) Решите уравнение
9cos3x+40cos4x=9sin4x-40sin3x.

Решение. Сгруппируем в левой и правой частях уравнения функции одного аргумента: 9cos3x+40sin3x=9sin4x-40cos4x.

Применим к левой и правой частям формулу дополнительного аргумента. Уравнение примет вид
41sin ж
и
arcsin  9

41
+3x ц
ш
=41sin ж
и
4x-arccos  9

41
ц
ш
Ы sin ж
и
arcsin  9

41
+3x ц
ш
=sin ж
и
4x-arccos  9

41
ц
ш
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
arcsin  9

41
+3x=4x-arccos  9

41
+2pn,
arcsin  9

41
+3x=p-4x+arccos  9

41
+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
-x=-arccos  9

41
-arcsin  9

41
+2pn,
7x=arccos  9

41
-arcsin  9

41
+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  p

2
-2pn,
x=  1

7
arccos  9

41
-  1

7
arcsin  9

41
+  2pn

7
,n О Z.

Последнее преобразование проведено с учетом того, что
arccos  9

41
+arcsin  9

41
=  p

2

.

Ответ:


 p

2
-2pn;  1

7
arccos  9

41
-  1

7
arcsin  9

41
+  2pn

7
;n О Z

.


2.4.D12

a) Решите уравнение 
 2

sinx
+13cosx=-13sinx

.

Решение. Разделим обе части уравнения на sinx. Получим равносильное уравнение
 2

sin2x
+13 ctg
x=-13

Ы
2 ж
и
2
ctg
 
x+1 ц
ш
+13 ctg
x+13=0Ы


2 2
ctg
 
x+13 ctg
x+15=0

.

Сделаем замену переменной. Пусть 
ctg
x=y

. Получаем уравнение 2y2+13y+15=0 Ы
й
к
к
к
к
к
л
y=-5,
y=-  3

2
.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
к
л
ctg
x=-5,
ctg
x=-  3

2
Ы й
к
к
к
к
к
л
x=\arcctg (-5) +pn,
x=\arcctg ж
и
-  3

2
ц
ш
+pn,n О Z.

Ответ:

p-\arcctg 5 +pn;p-\arcctg 1,5+pn;n О Z.


Назад | Оглавление | § 5

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100