Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/exam/kn_uch/book2v4e.htm
Дата изменения: Mon Mar 24 14:53:25 2003
Дата индексирования: Tue Oct 2 10:10:11 2012
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п
Книга для учителя МЦНМО 2003

Назад | Оглавление | § 5

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Окончание


2.4.C10

a) Решите уравнение 4cos4x=13sin2x-1.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению 4cos4x=13(1-cos2x)-1 Ы 4cos4x+13cos2x-12=0.

Сделаем замену переменной. Пусть y=cos2x. Получим систему относительно y:
м
п
н
п
о
4y2+13y-12=0,
0 ? y ? 1
 Ы y=  3
4
 .

Сделаем обратную замену переменной:
cos2x=  3
4

Ы
cosx=+  Ц3
2

, откуда
x=  p
6
 +pn

или
x=-  p
6
 +pn;n О Z

.

Ответ:


 p
6
 +pn;-  p
6
 +pn;n О Z

.


2.4.C12

б) Решите уравнение 
cos2 x+sin2  x
2
 -1=0

.

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени.
cos2x+  1-cosx
2
 -1=0

Ы 2cos2x-cosx-1=0.

Сделаем замену переменной: cosx=y. Уравнение примет вид 2y2-y-1=0 Ы
й
к
к
к
к
к
л
y=1,
y=-  1
2
 .

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
л
cosx=1,
cosx=-  1
2
Ы
й
к
к
к
к
к
к
к
к
к
л
x=2pn,
x=  2p
3
 +2pn,
x=-  2p
3
 +2pn,n О Z.

Ответ:


2pn;  2p
3
 +2pn;-  2p
3
 +2pn;n О Z

.


2.4.D01

a) Найдите число решений уравнения
cos6pxsin9px=cospxsin14px,
принадлежащих отрезку [3;4].

Решение. Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса. Получим уравнение
 1
2
 (sin15px+sin3px)=  1
2
 (sin15px+sin13px) Ыsin3px=sin13pxЫ й
к
к
к
л
3px=13px+2pn,
3px=p-13px+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
л
-10x=2n,
16x=1+2n,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-  n
5
 ,
x=  2n+1
16
 ,n О Z.

Заметим, что среди найденных корней нет одинаковых. Количество корней вида 
-  n
5

, принадлежащих отрезку [3;4], равно 6.

Количество корней вида 
 2n+1
16

, лежащих на отрезке [3;4], равно 8.

Ответ:

14.


2.4.D04

б) Решите уравнение
9cos3x+40cos4x=9sin4x-40sin3x.

Решение. Сгруппируем в левой и правой частях уравнения функции одного аргумента: 9cos3x+40sin3x=9sin4x-40cos4x.

Применим к левой и правой частям формулу дополнительного аргумента. Уравнение примет вид
41sin ж
и 		arcsin  9
41
 +3x ц
ш 		=41sin ж
и 		4x-arccos  9
41
 ц
ш 		Ы sin ж
и 		arcsin  9
41
 +3x ц
ш 		=sin ж
и 		4x-arccos  9
41
 ц
ш 		Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
arcsin  9
41
 +3x=4x-arccos  9
41
 +2pn,
arcsin  9
41
 +3x=p-4x+arccos  9
41
 +2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
-x=-arccos  9
41
 -arcsin  9
41
 +2pn,
7x=arccos  9
41
 -arcsin  9
41
 +2pn,n О Z
 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  p
2
 -2pn,
x=  1
7
 arccos  9
41
 -  1
7
 arcsin  9
41
 +  2pn
7
 ,n О Z.

Последнее преобразование проведено с учетом того, что
arccos  9
41
 +arcsin  9
41
 =  p
2

.

Ответ:


 p
2
 -2pn;  1
7
 arccos  9
41
 -  1
7
 arcsin  9
41
 +  2pn
7
 ;n О Z

.


2.4.D12

a) Решите уравнение 
 2
sinx
 +13cosx=-13sinx

.

Решение. Разделим обе части уравнения на sinx. Получим равносильное уравнение
 2
sin2x
 +13 ctg
x=-13

Ы
2 ж
и 		2
ctg
 
 x+1 ц
ш 		+13 ctg
x+13=0Ы


2 2
ctg
 
 x+13 ctg
x+15=0

.

Сделаем замену переменной. Пусть 
ctg
x=y

. Получаем уравнение 2y2+13y+15=0 Ы
й
к
к
к
к
к
л
y=-5,
y=-  3
2
 .

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
к
л
ctg
x=-5,
ctg
x=-  3
2
Ы й
к
к
к
к
к
л
x=\arcctg (-5) +pn,
x=\arcctg ж
и 		-  3
2
 ц
ш 		+pn,n О Z.

Ответ:

p-\arcctg 5 +pn;p-\arcctg 1,5+pn;n О Z.

Назад | Оглавление | § 5
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100