Назад | Оглавление | Продолжение

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Продолжение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п п п н п п п о 3x+  7p 4 =  13p 4 +6x+pn,n О Z, 3x+  7p 4 ?  p 2 +pk,k О Z.

Решим уравнение. Приведя подобные члены, найдем

-3x=

3p 2

+pn,n О Z

Ы

x=-

p 2

-

pn 3

,n О Z

.

Осталось исключить корни, для которых

3·

ж и

-

p 2

ц ш

-pn+

7p 4

=

p 2

+pk

Ы

-

1 4

=k+n

Ы -4k-4n=1.

Полученное уравнение не имеет решений в целых числах, так как правая часть не делится на 2, а левая - делится.

Следовательно, все найденные корни удовлетворяют неравенству

3x+

7p 4

?

p 2

+pk,k О Z

.

Ответ:

-

p 2

-

pn 3

,n О Z

.

Решение. Воспользуемся формулой приведения:

ctg

ж и

-

p 4

-2x

ц ш

=tan

ж и

p 2

-

ж и

-

p 4

-2x

ц ш

ц ш

=tan

ж и

3p 4

+2x

ц ш

.

Уравнение принимает вид

tan

ж и

9x-

5p 8

ц ш

=tan

ж и

3p 4

+2x

ц ш

.

Полученное уравнение равносильно системе:

м п п п н п п п о 9x-  5p 8 =  3p 4 +2x+pn,n О Z, 9x-  5p 8 ?  p 2 +pk,k О Z Ы м п п п н п п п о 7x=  11p 8 +pn,n О Z, 9x-  5p 8 ?  p 2 +pk,k О Z.

Выразим x из уравнения 

7x=

11p 8

+pn,n О Z

. Получим

x=

11p 56

+

pn 7

,n О Z

.

Осталось найти n, при которых неравенство 

9x-

5p 8

?

p 2

+pk,k О Z

не выполняется хотя бы при одном k. Составим уравнение относительно n и k:

99p 56

+

9pn 7

-

5p 8

=

p 2

+pkЫ

72n+64 56

=

56k+28 56

Ы 56k-72n=36Ы 14k-18n=9

.

Поскольку левая часть уравнения является четным числом при любых целых значениях k и n, а правая часть - нечетное число, то уравнение не имеет целочисленных решений. Условие 

9x-

5p 8

?

p 2

+pk

выполняется при всех целых значениях k. Поэтому все найденные числа являются корнями данного уравнения.

Ответ:

x=

11p 56

+

pn 7

,n О Z

.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности

й к к к к к к к л sin ж и x+  p 6 ц ш =0, cos ж и 3x-  p 4 ц ш =0

Ы

й к к к к к к к л x+  p 6 =pk,k О Z 3x-  p 4 =  p 2 +pn,n О Z Ы й к к к к к к к л x=-  p 6 +p