Назад | Оглавление | Продолжение

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 2. Тригонометрические выражения
Окончание

Решение. Преобразуем выражение sin⁶a+cos⁶a, понижая степень:

sin6a+cos6a = (sin2a+cos2a)(sin4a-sin2acos2a+cos4a)=(sin2a+cos2a)2-3sin2acos2a = 1-

3 4

sin22a

.

Далее, 

sina+cosa = -

1 2

Ю (sina+cosa)2=

1 4

Ю 1+sin2a =

1 4

Ю sin2a = -

3 4

.

Следовательно, 

sin6a+cos6a = 1-

3 4

ж и

3 4

ц ш

2

=

37 64

.

Ответ:

37 64

.

Решение. Применим формулы двойного аргумента:

2cos2x+sin2x cos2x-2sin2x

=

2cos2x+2sinxcosx cos2x-sin2x-2sin2x

=

2cos2x+2sinxcosx cos2x-3sin2x

.

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на sin²x, получим 

2 2 ctg   x+2 ctg x 2 ctg   x-3

.

Из соотношения 

2 2 ctg   x+2 ctg x 2 ctg   x-3

=2

найдем 

ctg

x

:

2 2 ctg   x+2 ctg x 2 ctg   x-3

=2Ю 2

2 ctg

x+2

ctg

x=2

ж и

2 ctg

x-3

ц ш

Ю 2

ctg

x=-6 Ю

ctg

x=-3

.

Ответ:

-3.

Решение. Возведем в квадрат обе части первого равенства:

cos2(2x+y)+2cos(2x+y)cos(x+2y)+cos2(x+2y)=

1 4

. Возведем в квадрат обе части второго равенства: sin²(2x+y)-2sin(2x+y)sin(x+2y)+sin²(x+2y)=1.

Сложим полученные равенства, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством и формулой косинуса суммы: 

2+2cos(2x+y+x+2y)=

5 4

Ы 2cos(2(x+y)+x+y)=-

3 4

Ы

cos(3(x+y))=-

3 8

.

Ответ:

-

3 8

.

Решение. Преобразуем выражение sin⁴a+cos⁴a, понижая степень: 

sin4a+cos4a = (sin2a+cos2a)2-2sin2acos2a = 1-

1 2

sin22a

.

Далее, из условия находим

(sina-cosa)2=1-sin2a =

1 4

Ю sin2a =

3 4

.

Следовательно, 

sin4a+cos4a = 1-

1 2

ж и

3 4

ц ш

2

=

23 32

.

Ответ:

23 32

.

Решение.

sin335њ -cos335њ sin35њ -cos35њ

-

sin235њ +cos235њ tan35њ + ctg 35њ

=

(sin35њ -cos35њ )(sin235њ +sin35њ cos35њ +cos235њ ) sin35њ -cos35њ

-

1 tan35њ + ctg 35њ

=sin235њ +sin35њ cos35њ +cos235њ -

1  sin35њ cos35њ +  cos35њ sin35њ

=1+sin35њ cos35њ -

1  sin235њ +cos235њ cos35њ sin35њ

=1+sin35њ cos35њ -

cos35њ sin35њ sin235њ +cos235њ

=1+sin35њ cos35њ -cos35њ sin35њ = 1

.

Ответ:

1.

Решение.

-

cos(a-2b)-cos(a+2b) cos(a-2b)+cos(a+2b)

=-

sin2bsina cosacos2b

=-tanatan2b

.

Следовательно, 

-

cos(a-2b)-cos(a+2b) cos(a-2b)+cos(a+2b)

+tanatan2b = 0

.

Ответ:

0.

Решение.

9 ctg a+2tana+6tan3a+3 ctg 3a 3 ctg a+2tan3a

-

tana+3tan3a tan3a

=

3 ж и 3 ctg a+2tan3a ц ш +2tana+3 ctg 3a 3 ctg a+2tan3a

-

tana+3tan3a tan3a

=3+

2tana+3 ctg 3a 3 ctg a+2tan3a

-

tana tan3a

-3=

2tana+3 ctg 3a 3 ctg a+2tan3a

-

tana tan3a

=

= 2tanatan3a+3 ctg 3atan3a-3 ctg atana-2tan3atana ж и 3 ctg a+2tan3a ц ш tan3a =

=

3 ctg 3atan3a-3 ctg atana ж и 3 ctg a+2tan3a ц ш tan3a

=

3-3 ж и 3 ctg a+2tan3a ц ш tan3a

=0

.

Ответ:

0.

Решение. Воспользуемся формулами приведения и преобразуем каждое слагаемое, кроме первого, заменив аргументы на другие, принадлежащие отрезку 

й л

0;

p 2

щ ы

. Тогда сумма примет вид 

cos4

p 8

+sin4

p 8

+sin4

p 8

+cos4

p 8

=2

ж и

sin4

p 8

+cos4

p 8

ц ш

=2

ж и

ж и

sin2

p 8

+cos2

p 8

ц ш

2

-2sin2

p 8

cos2

p 8

ц ш

=2

ж и

1-2sin2

p 8

cos2

p 8

ц ш

=2

ж и

1-

1 2

sin2

p 4

ц ш

=2

ж и

1-

1 2

·

1 2

ц ш

=

3 2

.

Ответ:

3 2

.

Назад | Оглавление | Продолжение

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.