Владимир Михайлович Тихомиров

Стандарты в школьной математике и тестирование.

ноябрь 2002 года

Хотел бы поделиться некоторыми своими мыслями на этот счет.

Прежде, чем приступать к сочинению стандартов (по любому из школьных предметов) нужно продумать некоторые простые вещи.

Во-первых, нужно выделить важнейшие объекты, которые изучаются (или которые следовало бы изучать) в школе и приписать каждому из них некую мотивировку (демонстрацию осмысленности их изучения).

Вот мой список для математики. В курсе математики разумно (с моей точки зрения — здесь и всюду далее я выражаю именно ее, свою точку зрения, и более я этого не повторяю) обучить школьника 1) ЧИСЛАМ, 2) ФИГУРАМ, 3) ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ, 4) ФУНКЦИЯМ и, наконец, 5) МОДЕЛЯМ.

Для первых четырех объектов выделяются специальные разделы: АРИФМЕТИКА, ГЕОМЕТРИЯ, АЛГЕБРА и АНАЛИЗ, а пятый раздел разумно вкраплять в остальные, для того, чтобы показать значение математики в жизни и продемонстрировать приложимость ее к естествознанию, экономике, управлению и т. п.

Изучение Чисел важно для ориентации человека в окружающем мире и умения рассуждать, Фигур — для развитиия логики и воображения, Преобразований — для развития алгоритмической культуры, Функций — для подготовки к будущей професиии, Моделям — для формирования мировоззрения. Поэтому, составляя программы или задачи разумно оценивать, на какую мельницу мы льем воду.

Во-вторых, я предусмотрел бы возможность проводить оценку одной и той же темы на двух уровнях. Первый — абсолютно необходимый для каждого человека, второй — выделяющий специальный интерес человека к данному предмету. (Следует иметь возможность поощрить дополнительные знания или понимание сути дела; для этого включаются ниже "бонусы").

Для иллюстрации этих двух идей мне проще начать с задач, чтобы потом коснуться самих стандартов.

Ограничимся Арифметикой: задачами на Числа и Текстовыми задачами. "Все есть число", — сказал Пифагор, и (не правда ли) каждый человек должен уметь, считать деньги, оперировать с числами, выражающими времена, длины, площади, объемы, углы, проценты (возможно, чего-то столь же важного я не учел, и это стоило бы добавить). Вот некоторые задачи на эти понятия.

Задачи, которые я предлагаю, взяты из сборника, который я составлял в течение многих лет для общения с детьми и внуками моих друзей. Все они объединяются следующим свойстом: никто из здравых людей (к таковым мне хотелось бы причислить тех, кто участвует в принятии решений об образовании с кем вам придется иметь дело) не должны сказать: "Это мне ни к чему, это не моего ума дело". И вместе с тем (здесь я все-таки повторюсь: по моему мнению) любой человек, который в состоянии решить все мои задачи, не прибегая к посторонней помощи (в моем полном сборнике таких задач чуть больше ста), сможет разобраться в чем угодно. Решением этих задач он подтвердит достаточный уровень понимания и интеллекта. Вот десять задач из моего списка.

1. Кило яблок стоит 25 рублей. Я попросил взвесить 4 яблока, и весы показали 1300 граммов. Какое минимальное число рублей я должен дать продавцу? (Бонус: Какую сумму я должен заплатить?) С рублями должен уметь разобраться каждый, даже любой министр, а для учета копеек нужен специальный интерес к математике.
2. Когда в Москве полдень, в Нью-Йорке четыре часа утра. Когда я должен позвонить из Москвы, если мой респондент в Нью-Йорке будет ждать моего звонка 31 августа в 8 вечера по нью-йоркскому времени.
3. Какой угол образуют часовая и минутная стрелка, когда часы показывают два часа? (Бонус: то же, когда часы показывают четверть третьего).
4. Сколько потребуется досок пятнадцатисантометровой ширины для ограждения квадратного участка, в пятнадцать соток?
5. Какую площадь станет иметь участок в тридцать соток, если забор, выходящий на улицу, сдвинуть, увеличив длину двух других сторон на пять процентов?
6. На сколько процентов 17/12 отличается от квадратного корня из двух?

   А вот три "текстовые" задачи.

7. К числу прибавлена седьмая часть и получилось 19. Что это за число?
   (Это старейшая задача, ей не меньше четырех с половиной тысячи лет. Мне кажется, что такую задачу должен уметь решать каждый кончивший школу, не так ли?)
8. В клетке — фазаны и кролики, 35 голов и 94 ноги. Сколько кого? (Из китайского трактата "Киу-Чанг" (Арифметика в девяти главах), которому, кажется 500 лет.)
9. Свежие грибы содержат 85% влаги, а сушеные — 15%. Сколько мне надо собрать свежих грибов, чтобы заготовить на зиму 1.5 кг сушеных?
10. Две старушки вышли одновременно в 6 часов утра, и каждая шла с постоянной скоростью. Одна шла из А в В со скоростью 3 км/час, другая — из В в А со скоростью 2 км/час. Когда вторая пришла в А, если первая пришла в В в четыре часа дня?
    (Бонус: Две старушки вышли на рассвете и каждая шла с постоянной скоростью. Одна шла из А в В, другая — из В в А. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, дошли одна до В в четыре часа, другая — до А в 9 часов. Во сколько часов в тот день вставало солнце?)

Ограничим себя этим и чуть порассуждаем. Верно ли, что никакой разумный человек не должен сказать: "Это не моего ума дело, я в математике не силен, это я решить никогда не смогу"? Если согласиться с тем, что это верно, надо согласиться и с тем, что надо научить школьника действиям с целыми числами и дробями, масштабам времен, длин, площадей, объемов, измерению углов, осмыслению понятия процентов, а также чуть развить его мозги, чтобы он мог понимать условия задачи, ее смысл, и получить некоторый опыт в их решении. Так может быть заложена основа Стандартов по Арифметике (а затем по Геометрии, Алгебре и Анализу).