Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/edu/oficios/standarty/2002/06hs-matem.doc Дата изменения: Thu Jul 31 13:54:05 2003 Дата индексирования: Sun Dec 23 00:26:35 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: экстремум

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО)

ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ


БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ


ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ

ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ


Изучение математики на базовом уровне в старшей школе направлено на
достижение следующих целей:
. овладение математическими знаниями, достаточными для изучения смежных
дисциплин на современном уровне и для продолжения образования в высшей
школе по любой специальности, не требующей высокого уровня владения
математическим аппаратом;
. интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и
логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для
обучения в высшей школе и будущей профессиональной деятельности;
. развитие представлений о математике как части общечеловеческой
культуры, о значимости математики в истории цивилизации и современном
обществе;
. формирование представлений о математике как форме описания и методе
познания действительности, об идеях и методах математики, об
особенностях математического метода исследования и его отличии от
методов естественных и гума-нитарных наук.

Указанные цели направлены на формирование математической
(прагматической), социально-личностной, общекультурной и предметно-
мировоззренческой компетентностей выпускника старшей школы:

Математическая (прагматическая) компетентность выпускника старшей школы
предполагает, что он:
- умеет использовать математические знания, арифметический,
алгебраический и геометрический аппарат для описания и решения проблем
реальной жизни;
- умеет грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции на
математическом материале;
- умеет пользоваться математическими формулами самостоятельно составлять
формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных
случаев и эксперимента;
- умеет применять приобретенные алгебраические преобразования и
функционально-графические представления для описания и анализа
закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;
- имеет развитые пространственные представления, понимает и умеет
изображать чертежи, рисунки и схемы;
- владеет геометрическим языком, развитыми пространственными
представлениями и изобразительными умениями для описания предметов
окружающего мира;
- имеет элементарные представления о существовании вероятностно-
статистических закономерностей в окружающем мире, о детерминированных и
случайных событиях, умеет применять классическую модель вероятности для
оценки справедливости случайных игр и для взвешивания личных шансов в
таких играх, прогнозировать наступление событий на основе статистики и
вероятности;
- владеет техникой практических вычислений, рационально сочетая
приближенные и точные, устные и инструментальные вычисления.

Социально-личностная компетентность выпускника старшей школы
предполагает, что он:
- владеет стилем мышления, характерным для математики, его
абстрактностью, доказательностью, строгостью;
- умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически
обоснованные выводы, отличать доказанные утверждения от недоказанных,
аргументированные суждения от эмоционально убедительных;
- умеет проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа
частных примеров, эксперимента, выдвигать гипотезы и понимать
необходимость их проверки;
- умеет ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи,
логически грамотно воспринимать устную и письменную речь, отличать в
информационном потоке факты от их интерпретации;
- умеет соотносить свою точку зрения с мнением авторитетных источников и
большинства, аргументированно сопротивляться давлению сверху и
групповому давлению;
- умеет находить информацию в разнообразных источниках, обобщать и
систематизировать ее и интегрировать в личный опыт новую, в том числе
самостоятельно полученную информацию;
- умеет принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и
вероятностной информации, обоснованно решать вопрос об участии в
лотереях, азартных играх и финансовых пирамидах, понимает вероятностную
сущность страховой и банковской деятельности.

Общекультурная компетентность выпускника старшей школы предполагает,
что он:
- понимает и умеет аргументированно объяснять значимость математики как
неотъемлемой части общечеловеческой культуры, воздействующей на иные
области культуры, на совершенствование человека как homo sapiens;
- имеет представление о различии требований, предъявляемых к
доказательствам в различных областях науки и на практике, в математике,
естественных и гуманитарных науках;
- понимает, что формальный математический аппарат создан и развивается с
целью расширения возможностей его применения к решению задач,
возникающих в теории и практике, умеет уместно использовать
математическую символику и объяснять значение математических терминов и
символов;
- понимает значение математической символики и формул математики для
описания общих закономерностей науки и практики;
- имеет представление об источниках появления основных математических
понятий, о внешних и внутренних факторах, влияющих на формирование и
развитие математической науки;
- имеет представление об особенностях математического языка и умеет
соотносить их с русским языком.
Предметно-мировоззренческая компетентность выпускника старшей школы
предполагает, что он:
- имеет представления об аксиоматическом построении математической
теории, о логическом статусе аксиом, определяемых и неопределяемых
понятий, (номинальных и реальных) определений и теорем; о значении
аксиоматики для других областей знания и практики;
- владеет приемами построения и исследования математических моделей при
решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин;
- понимает особенности применения математических методов к анализу и
исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
- понимает, что законы логики математических рассуждений имеют
универсальный характер и применимы во всех областях человеческой
деятельности;
- понимает, что последовательное расширение числовых множеств
представляет собой создание нового математического аппарата для решения
более широкого круга задач окружающего мира и внутренних задач
математики;
- понимает, что реальный мир подчиняется не только детерминированным, но
и статистическим закономерностям и умеет использовать их для решения
задач повседневной жизни.

Реализация указанных целей и формирование названных компетентностей
достигается в результате освоения следующего содержания образования.


Язык и логика

Математический язык как часть естественного языка, имеющая свои
специфические особенности. Необходимость соблюдения требований
естественного языка при формулировке математических предложений в устной и
письменной речи. Культура математической речи, математический жаргон,
вольности речи. Взаимное влияние математического и естественного языков,
происхождение математических терминов и символов.
Сочетание строгости и необходимости подчинения законам естественного
языка как важнейшая особенность математического языка. Использование
контекста. «Фигура умолчания». Метафоры и омонимы в математическом языке.
Употребление единственного и множественного числа. «Крайние случаи» в
математическом и естественном языке.
Союзы «и», «или», «если..., то» и частица «не» и их логические
эквиваленты. Логические эквиваленты других союзов русского языка и их
особенности в коммуникации. Логика сложных предложений и предложений с
однородными членами. Уравнения, неравенства и системы как простые и сложные
предложения с переменными. Равносильность и следствие простых и сложных
предложений с переменными. Знаки ( и (.
Понятия постоянной и переменной в математике и их аналоги в
естественном языке. Кванторы общности и существования как логические
эквиваленты соответствующих слов естественного языка. Запись предложений
естественного языка на логико-математичес-ком языке как средство достижения
однозначности их понимания.
Основные законы логики и правила логического вывода как отражение
естественного языкового мышления. Универсальность законов логики и правил
логического вывода. Зарождение науки логики в трудах Аристотеля и
дальнейшее ее развитие в математике. Логические парадоксы в языке и в
математике.
Поиск закономерностей. Индуктивный вывод на интуитивной основе.
Выдвижение гипотез и необходимость их проверки. Требования к обосновании
или опровержению гипотез в жизни, в математике, в естественных и
гуманитарных науках.
Определение. Определения номинальные и реальные. Введение имен -
обозначений (символов) как средство, необходимое для создания и развития
математического аппарата. Требования, предъявляемые к определениям и
символам в математике и других науках. Теорема и требования, предъявляемые
к доказательству теорем.
Аксиоматика. Аксиомы и определяемые и неопределяемые понятия в
аксиоматической системе. Теоремы и требования к их доказательству в
аксиоматической системе. Аксиоматика в науке и в повседневной жизни.

Алгебра

Происхождение натуральных чисел, арифметических действий над ними.
Основные и производные действия. Расширение понятия числа как необходимость
создания математического аппарата для решения насущных и потенциальных
задач практики человека. Требование непрерывности свойств чисел и действий
над ними, приобретения и потери в процессе обобщения понятия числа.
Составление буквенных выражений и формул как обобщение действий над
числами.
Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, тригонометрическая
форма. Значение комплексных чисел для теории и ее применений на практике.
История изобретения отрицательных, иррациональных и комплексных чисел,
конечных и бесконечных десятичных дробей. Целесообразность введения
абстрактных математических понятий, необходимых для развития
математического аппарата, но не отражающих свойства реальных объектов.
Алгебраическая операция как обобщение понятия арифметического действия.
Различие свойств алгебраических операций в различных множествах.

Функции и начала анализа

Сложные процессы в природе и обществе и необходимость создания
специального математического аппарата - дискретных и непрерывных моделей -
для их количественного описания.
Равномерные и равноускоренные процессы и их описание с помощью линейных
и квадратичных функций.
Периодические процессы и их описание с помощью тригонометрии. Радианная
мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла,
действительного числа. Периодичность синуса, косинуса, тангенса и
котангенса. Графики тригонометрических функций. Решение простейших
тригонометрических уравнений. Основные тригонометрические тождества.
Формулы приведения.
Процессы быстрого (экспоненциального) роста. Геометрическая прогрессия
как дискретный пример процесса быстрого роста. Легенда о создании шахмат,
сложные проценты, примеры быстрого роста в живой и неживой природе.
Необходимость построения непрерывной модели для описания непрерывного
процесса быстрого роста и соответствующего обобщения понятия степени.
Степень с рациональным показателем. Степень с действительным показателем.
Вычисление степени на калькуляторе. Основные свойства степени и закон
непрерывности.
Задачи, показывающие необходимость нахождения неизвестного показателя
степени. Логарифм. Свойства логарифмов и их получение с помощью перевода
свойств степени на язык логарифмов. Аналогия с определением и свойствами
корней.
Показательная и логарифмическая функции. Графики степенной функции с
натуральным показателем, показательной и логарифмической функций. Решение
простейших показательных и логарифмических уравнений.
Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица
производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и
частного функций. Признаки возрастания и убывания функций. Экстремумы
функции. Применение производной к исследованию функций и построению
графиков.
Первообразная. Основное свойство первообразных. Таблица первообразных.
Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Геометрия

Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Параллельность
прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Двугранный
угол. Перпендикулярные плоскости.
Призма и пирамида, их элементы. Многогранный угол. Прямая и правильная
призмы. Параллелепипед. Правильная пирамида.
Цилиндр и конус, их элементы. Сечения цилиндра и конуса - осевые и
параллельные основанию. Наклонные сечения цилиндра и конуса. Сечения шара
плоскостью.
Касательная и перпендикуляр прямой. Угол между прямой и кривой, между
двумя кривыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями
(двугранный угол). Линейный угол двугранного угла.
Касание геометрических фигур и тел. Касательные плоскости к шару,
цилиндру и конусу.
Расстояние как кратчайший путь в отсутствие препятствий. Вычисление
расстояний на практике. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между
параллельными плоскостями.
Вычисление площадей боковых поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра.
Формула площади сферы. Формулы объемов параллелепипеда, призмы, пирамиды,
цилиндра, конуса, шара.
Возможность построения геометрии как аксиоматической системы.
Существование различных аксиоматических систем геометрии: евклидова
геометрия, геометрия Лобачевского, риманова геометрия. Пятый постулат
Евклида и аксиома о параллельных прямых. Примеры геометрических
утверждений, различающих в геометрию Лобачевского и евклидову геометрию.
Интерпретации геометрии Лобачевского. История создания геометрии
Лобачевского. Геометрия реального мира - физического пространства.

Элементы комбинаторики, статистики

и вероятность

Случайные события. Достоверное и невозможное события. Статистический
эксперимент. Частота события в статистическом эксперименте. Частота и
вероятность.
Классическая модель вероятности. Поле событий, элементарные и сложные
события в классической модели вероятности. Вероятность сложного события.
Условная вероятность. Независимые события.
Геометрическая вероятность. Парадокс Бюффона.
Статистические исследования. Уровень достоверности. Генеральная
совокупность. Выдвижение и проверка статистических гипотез. Выборка,
репрезентативная выборка. Применение статистических методов в естественных
и гуманитарных науках.


Требования к уровню подготовки

выпускников СТАРШЕЙ школы


В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен

Знать и понимать:
. значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и
практике, широту и ограниченность применения математических методов к
анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
. значение практики и внутринаучных проблем как источника формирования и
развития математической науки;
. значение математической символики и формул математики для описания
общих закономерностей науки, практики, для экономии усилий в
повседневной жизни;
. исторический процесс развития понятия числа, общекультурное значение
изобретения отрицательных и комплексных чисел;
. необходимость соблюдения строгости математического языка в сочетании с
возможностью и целесообразностью ее нарушения с коммуникативной точки
зрения;
. универсальный характер законов логики математических рассуждений, их
обязательность и применимость во всех областях человеческой
деятельности;
. различие требований, предъявляемых к доказательствам в различных
областях науки и на практике, в математике, естественных и гуманитарных
науках;
. роль аксиоматики в математике и значение для других областей знания и
для практики;
. значение методов математического анализа для науки и практики;
. поведение графика функции в точках, где она не имеет производной;
. понятие первообразной;
. геометрический смысл понятия интеграла;
. важность вероятностных представлений для жизни в современном обществе;
. отсутствие выигрышных стратегий в лотереях;
. общее и различное в понятиях определение, теорема, аксиома, пример и
контрпример;
. объем и содержание понятий;
. возможность определений одного и того же понятия, различных по объему и
содержанию, при различных способах построения теории;
. зависимость логического статуса высказывания и его истинности или
ложности от исходных положений - «системы

аксиом» в математическом и не математическом контексте;
. стандартные подходы к доказательству и опровержению общих утверждений и
утверждений о существовании;
. взаимную обратность операции дифференцирования и интегрирования;
. расстояние между геометрическими фигурами как кратчайшего пути от одной
фигуры к другой;
. идею касания геометрических объектов;
. зависимость изменения объемов геометрических тел от изменения их
линейных размеров.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
. вычленять в тексте тезис и аргумент;
. выделять в письменном тексте и в устной речи релевантную и
иррелевантную информацию, главное и второстепенное;
. объяснять значимость математики как неотъемлемой части общечеловеческой
культуры;
. приводить примеры использования математических методов в естественных и
гуманитарных науках;
. объяснять причины создания в математике различных числовых систем и
неевклидовых геометрий;
. приводить примеры аксиом и теорем, отличающих геометрию Евклида и
геометрию Лобачевского;
. уместно и грамотно применять изученную математическую терминологию и
символику;
. различать - в математическом и нематематическом контекстах - понятия
определяемые и неопределяемые;
. различать номинальные и реальные определения;
. распознавать математические понятия, принятые в курсе без определения,
и утверждения, принятые без доказательства;
. доказывать утверждения (математические и не математические) - о
существовании с помощью примера и опровергать общие высказывания -
математические и не математические - приведением контрпримера;
. строить и исследовать математические модели практических задач и задач
из смежных дисциплин, переводить условия текстовых задач на
математический язык и решать их с использованием изученного
математического аппарата;
. пользоваться радианной мерой измерения углов;
. решать задачи с избыточными и недостающими данными;
. находить значения функций на основе определений, с помощью
калькулятора, таблиц и других справочных материалов;
. приводить приближенные значения основных математических констант с
точностью до сотых;
. применять изученные и новые формулы для преобразования числовых и
буквенных выражений;
. решать простейшие уравнения и неравенства, содержащие изученные и новые
функции;
. определять значение произвольной функции по значению аргумента при
различных способах задания функции - аналитическом, графическом,
словесном;
. строить графики основных изученных функций - синуса и косинуса,
показательной и логарифмической;
. находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей
производных и правилами дифференцирования суммы и произведения;
. применять производную для исследования функций на монотонность и
экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций;
. находить первообразные для суммы функций и произведения функции на
число;
. находить различные содержательные интерпретации заданного
математического соотношения или свойств графика;
. использовать производную для описания свойств функции, заданной
графически;
. приводить примеры объектов реального мира, моделями которых являются
геометрические понятия;
. приводить примеры кривых и поверхностей в пространстве, геометрических
тел;
. отличать касательную к кривой от секущей, строить касательную к
произвольной кривой в заданной точке;
. проводить касательную и перпендикуляр к произвольной кривой в заданной
точке;
. соотносить трехмерные объекты с их описаниями, чертежами,
изображениями, проекциями;
. определять взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;
. описывать расположение касательной плоскости к шару, цилиндру, конусу,
применять теорему о касательной плоскости к шару;
. распознавать поверхность и внутреннюю область геометрических тел;
. выбирать подходящие единицы измерения величин, пользоваться
округленными данными или стандартным видом числа, строить и
анализировать графики (фрагменты графиков) и таблицы различных
зависимостей, следить за соблюдением масштаба при графическом
представлении данных и равномерности шага при составлении таблиц;
. оценивать шансы при участии в лотереях, определять справедливость
условий лотерей и азартных (случайных) игр;
. устанавливать непротиворечивость избыточной системы данных или
самостоятельно определять, каких данных недостает, формулировать
варианты полной задачи, самостоятельно добывать недостающие данные.
. приводить примеры математических и не математических задач, не имеющих
решения.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
и повседневной жизни; владеть:
. навыками использования справочных материалов, поиска определений,
формул и других утверждений в учебной, методической и справочной
литературе;
. навыками использования таблиц при выполнении преобразований степенных,
иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических
выражений;
. навыками использования калькулятора для вычисления значений числовых
выражений;
. навыками преобразований несложных формул, содержащих любые из изученных
действий над числовыми и буквенными выражениями;
. навыками алгоритмической деятельности - выполнения и создания
инструкций, проверки и оценки результатов их выполнения;
. навыком выведения простейших следствий из изученных и новых определений
и утверждений;
. навыком применения доказательства от противного;
. навыком различения взаимно обратных утверждений на логико-языковом
уровне;
. навыками применения изученных и новых алгоритмов;
. навыками решения задач с избыточными и недостающими данными;
. навыками описания свойств функций по их графикам, в том числе связанных
с производной;
. навыками изображения геометрических тел и их простейших сечений;
. навыками решения простейших вычислительных стереометрических задач.
. навыком построения обратного утверждения и контрапозиции для
утверждений, заданных в универсальной или импликативной форме.

ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ


ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ

ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ


Изучение математики на профильном уровне в старшей школе направлено на
достижение следующих целей:
. овладение математическими знаниями, достаточными для изучения смежных
дисциплин на современном уровне и для продолжения образования в высшей
школе по любой специальности, требующей высокого уровня владения
математическим аппаратом;
. интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и
логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для
обучения в высшей школе и будущей профессиональной деятельности;
. развитие представлений о математике как части общечеловеческой
культуры, о значимости математики в истории цивилизации и современном
обществе;
. формирование представлений о математике как форме описания и методе
познания действительности, об идеях и методах математики, об
особенностях математического метода исследования и его отличии от
методов естественных и гуманитарных наук.

Порядок перечисления этих целей не определяет их иерархии, все они
рассматриваются как одинаково значимые для формирования личности в процессе
освоения математики.
Указанные цели направлены на формирование математической
(прагматической), социально-личностной, общекультурной и предметно-
мировоззренческой компетентностей выпускника старшей школы:

Математическая (прагматическая) компетентность выпускника старшей школы
предполагает, что он:
- умеет проводить дедуктивные и индуктивные рассуждения при
доказательстве теорем и решении задач,
- грамотно использует изученные алгоритмы;
- владеет техникой вычислений, рационально сочетая устные, письменные и
инструментальные вычисления (точные и приближенные);
- владеет техникой преобразований алгебраических и трансцендентных
выражений, свободно применяет полученные навыки в ходе решения задач;
- применяет алгебраический и функциональный аппарат, обогащенный новыми
видами функций, к решению уравнений, неравенств и систем и к
исследованию реальных зависимостей;
- владеет основными понятиями, результатами и методами математического
анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать
простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;
- владеет геометрическим языком и использует его для описания предметов
окружающего мира;
- имеет развитые пространственные представления и изобразительные умения,
навыки построения и чтения проекционных чертежей;
- применяет систематические знания о плоских фигурах и пространственных
телах к решению практических задач геометрического содержания;
- применяет классическую модель вероятности и геометрическую вероятность
при решении прикладных и практических задач, умеет прогнозировать
наступление событий на основе статистики и вероятности;
- применяет изученные понятия, результаты и методы при решении задач из
различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к
непосредственному применению известных алгоритмов;
- применяет полученные умения для решения задач в смежных дисциплинах и
на практике.

Социально-личностная компетентность выпускника старшей школы
предполагает, что он:
- владеет стилем мышления, характерным для математики, его
абстрактностью, доказательностью, строгостью;
- умеет логически обосновывать суждения, выдвигать гипотезы и понимать
необходимость их проверки;
- умеет ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной
речи, использовать различные языки математики (словесный,
символический, графический) и свободно переходить с языка на язык для
иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
- умеет использовать математические подходы для решения задач,
возникающих в окружающем его мире;
- умеет принимать обоснованное решение об участии в лотереях, азартных
играх и финансовых пирамидах, имеет представление о вероятностной
сущности страховой и банковской деятельности;
- умеет осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и классификацию
информации, использовать разнообразные информационные источники,
интегрировать в личный опыт новую, в том числе самостоятельно
полученную информацию;
- умеет проектировать и осуществлять алгоритмическую и эвристическую
деятельность, проверять и оценивать результаты деятельности, в том
числе соотнося их с поставленными целями и личным жизненным опытом.

Общекультурная компетентность выпускника старшей школы предполагает,
что он:
- понимает, что математика является неотъемлемой частью общечеловеческой
культуры, воздействует на иные области культуры, влияя на
совершенствование человека как homo sapiens;
- понимает, что формальный математический аппарат создает возможности для
решения прикладных задач;
- понимает, что математическая символика и формулы математики позволяют
описывать общие свойства объектов практики и науки и отношения между
ними;
- имеет представление об особенностях математического языка и соотносить
их с русским языком.

Предметно-мировоззренческая компетентность выпускника старшей школы
предполагает, что он:
- имеет представления об аксиоматическом построении математической
теории, о значении аксиоматики для других областей знания;
- владеет приемами построения и исследования математических моделей при
решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин;
- понимает особенности применения математических методов к анализу и
исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
- понимает, что законы логики математических рассуждений имеют
универсальный характер и применимы во всех областях человеческой
деятельности;
- понимает, что последовательное расширение числовых множеств
представляет собой создание нового математического аппарата для решения
более широкого круга задач окружающего мира и внутренних задач
математики;
- понимает, что реальный мир подчиняется не только детерминированным, но
и статистическим закономерностям.

Реализация указанных целей и формирование названных компетентностей
достигается в результате освоения следующего содержания образования.

Математический язык и логика

Общие высказывания и высказывания о существовании. Отрицание общих
высказываний и высказываний о существовании. Отрицание сложных
высказываний. Равносильность предложений с переменной. Следствие.
Индукция и дедукция. Метод математической индукции[1].
Аксиоматическая система: неопределяемые понятия и аксиомы. Определения
и теоремы.

Числа

Деление с остатком. Свойства остатков. Сравнения.
Степень с рациональным и иррациональным показателем. Логарифм. Число е
и натуральный логарифм.
Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера
угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента. Арксинус,
арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
Понятие о комплексных числах. Арифметические действия над комплексными
числами. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление
комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Алгебра

Многочлены с одной переменной. Значения и корни многочленов. Вычисление
значений многочленов по схеме Горнера. Деление многочленов. Теорема Безу.
Основная теорема алгебры. Число корней многочлена. Алгебраическое и
функциональное равенство многочленов.
Многочлены с несколькими переменными. Симметрические многочлены.
Свойства корней степени n из положительных чисел и степени с
действительным показателем. Основные свойства логарифмов: логарифм
произведения, частного и степени. Основное логарифмическое тождество.
Формула перехода от одного основания логарифма к другому. Преобразования
иррациональных, степенных и логарифмических выражений.
Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические уравнения
и неравенства, уравнения и неравенства, содержащие модуль. Равносильные
уравнения и неравенства, уравнения-следствия. Применение тождественных
преобразований, замены переменной, функций и графиков к решению уравнений.
Решение неравенств методом интервалов.
Системы уравнений. Основные приемы решения систем уравнений:
подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы
неравенств с одной переменной. Графическая интерпретация систем неравенств
с двумя переменными.
Решение и исследование уравнений, неравенств, систем с параметрами.

Элементы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус,
косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного
угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических
функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования
тригонометрических выражений.
Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических
уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства.

Функции

Функция. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность,
периодичность, ограниченность, непрерывность. Особые значения функций:
наибольшее и наименьшее значения, экстремумы. Построение графиков функций,
заданных различными способами.
Обратная функция. Признак существования и свойства обратной функции.
Область определения и область значений обратной функции. График обратной
функции. Сложная функция.
Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно
осей координат и относительно начала координат, симметрия относительно
прямой [pic], растяжение и сжатие вдоль осей координат.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-
линейных функций. Графики рациональных функций.
Свойства и графики степенных функций с натуральным показателем.
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс
и котангенс. Периодичность тригонометрических функций. Основной период.
Свойства и графики тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики обратных
тригонометрических функций.


Элементы математического анализа

Задание последовательности формулой общего члена, рекуррентным
способом. Предел числовой последовательности. Единственность предела.
Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах.
Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина
окружности и площадь круга, площадь боковой поверхности и объем цилиндра и
конуса как пределы последовательностей.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. Числовой ряд. Сумма числового ряда.
Производная. Геометрический и механический смысл производной.
Существование производной. Уравнение касательной к графику функции.
Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных
элементарных функций. Таблица производных. Производные сложной и обратной
функций. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
Теорема Ферма (необходимый признак экстремума), теорема Лагранжа,
достаточные условия монотонности функции, признаки экстремумов.
Исследование функций с помощью производной, построение графиков.
Первообразная. Таблица первообразных. Вычисление первообразных для
суммы функций и произведения функции на число. Площадь криволинейной
трапеции. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры
приложения интеграла в геометрии и физике.

Геометрия на плоскости

Теорема синусов. Теорема косинусов. Свойство биссектрисы угла
треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот,
радиусов вписанной и описанной окружностей, площади треугольника.
Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и
касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и
секущей.
Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и
описанных четырехугольников.
Геометрические места точек. Геометрическое место точек, из которых
данный отрезок виден под данным углом. Эллипс, гипербола, парабола как
геометрические места точек. Решение задач на построение с помощью
геометрических преобразований и геометрических мест.

Геометрия в пространстве


Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми.
Параллельность и перпендикулярность прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.
Двугранный угол. Биссектральная плоскость двугранного угла. Линейный угол
двугранного угла.
Трехгранный угол. Свойство плоских углов трехгранного угла. Вычисление
плоских и двугранных углов трехгранного угла.
Кривые и поверхности в пространстве. Геометрическое тело. Сечения.
Подобные пространственные тела.
Многогранники. Теорема Эйлера. Сечения многогранников. Прямая и
наклонная призма. Правильная призма и ее свойства. Пирамида. Правильная
пирамида и ее свойства. Усеченная пирамида.
Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Осевые
сечения и сечения, параллельные основанию. Эллипс, гипербола, парабола как
конические сечения. Эллипсоид, гиперболоид и параболоид вращения.
Сфера, шар, части шара (шаровой сектор, сегмент, пояс). Сечения шара и
сферы. Касание сферы с прямой и плоскостью. Касание сфер. Вписанные и
описанные шары и сферы.
Комбинации многогранников и тел вращения.
Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное
проектирование.
Геометрические места точек, равноудаленных от одной, двух или трех
точек, от прямой и от плоскости.

Измерение геометрических величин


Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости.
Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между
скрещивающимися прямыми.
Длина ортогональной проекции отрезка на прямую и плоскость. Площадь
ортогональной проекции многоугольника.
Площадь сферы, боковой поверхности цилиндра, конуса. Объем призмы,
пирамиды, цилиндра, конуса, шара и его частей.
Объемы подобных геометрических тел.

Координаты и векторы

Декартова система координат в пространстве. Задание геометрической
фигуры уравнением, неравенством или системой. Уравнения прямой, плоскости,
сферы.
Формула расстояния между точками. Деление отрезка в данном отношении.
Формула расстояния от точки до плоскости.
Векторы. Длина и направление вектора. Равенство векторов.
Коллинеарные векторы. Условие коллинеарности векторов. Условие
принадлежности трех точек одной прямой. Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам на плоскости. Компланарные векторы. Разложение
вектора по трем некомпланарным векторам.
Координаты вектора. Координаты суммы и разности векторов, произведения
вектора на число. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Условие перпендикулярности векторов. Векторное произведение векторов.
Применение векторов к вычислению отношений, расстояний, углов.

Требования к уровню подготовки

выпускников СТАРШЕЙ школы


В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен

Числа


Знать и понимать:
. идеи расширения числовых множеств как способа построения нового
математического аппарата для решения задач реального мира и внутренних
задач математики;
. целесообразность введения комплексных чисел и его историю.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
. находить значения и целые границы корня степени n, степени с
рациональным и иррациональным показателем, логарифма на основе
определений соответствующих понятий;
. находить приближенные значения корня, степени, логарифма с помощью
калькулятора и справочных материалов;
. выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
и повседневной жизни; владеть:
. навыками применения языка сравнений в теории делимости натуральных и
целых чисел;
. навыками использования формул, содержащих модули, радикалы, степени,
логарифмы для выполнения соответствующих расчетов, выражать из формул
одни переменные через другие.

Алгебра


Знать и понимать:
. использование графической интерпретации для исследования и решения
уравнений, систем, неравенств;
. определения степени с произвольным показателем;
. основную теорему алгебры многочленов, теорему о числе корней многочлена
степени n;
. основные теоремы о равносильности уравнений, неравенств и систем
различных типов.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
. использовать многочлены, степени, корни, логарифмы для моделирования
реальных ситуаций;
. выполнять практические расчеты по формулам, содержащим степени и
логарифмы;
. иметь представление о логарифмических шкалах, часто используемых в
современных средствах массовой информации.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
и повседневной жизни; владеть:
. терминологией, связанной с теорией многочленов с одной переменной:
коэффициенты, старший коэффициент, стандартный вид, значение, простой и
кратный корень многочлена, число корней многочлена, разложить на
множители и др.;
. терминологией, связанной с корнями, степенями, логарифмами:
арифметический корень, натуральный логарифм и др.
. навыками поиска корней многочленов и разложения многочленов на
множители;
. навыками тождественных преобразований иррациональных, степенных,
показательных и логарифмических выражений;
. навыками решения рациональных уравнений с использованием основные факты
теории многочленов;
. навыками решения иррациональных, показательных, логарифмических
уравнений и неравенств и соответствующих систем.

Элементы тригонометрии


Знать и понимать:
. взаимно-однозначное соответствие между точками единичной окружности и
действительными числами;
. обобщенное понятие угла;
. определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса произвольного
действительного числа.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
. выражать градусную меру угла в радианах и радианную меру - в градусах;
. находить приближенные значения тригонометрических функций с помощью
калькулятора;
. находить точные значения тригонометрических функций некоторых табличных
углов;
. определять значения углов по заданным значениям их тригонометрических
функций;
. решать простейшие тригонометрические уравнения, иллюстрируя их с
помощью координатной окружности и графиков.
. решать расчетные задачи из реальной практики, включающие в себя
нахождение длин сторон и углов треугольников (прямоугольных и
произвольных).

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
и повседневной жизни; владеть:
. терминологией, связанной с тригонометрическими функциями произвольного
угла и действительного числа;
. навыками преобразований тригонометрических выражений, вычислением их
значений на основе формул и теорем (основное тождество, теоремы
сложения, формулы приведения, формулы двойного угла и др.);
. навыками решения тригонометрических уравнений;

Функции


Знать и понимать:
. сущность функции как математического понятия, позволяющего описывать и
изучать разнообразные зависимости между реальными величинами;
конкретные типы функций (степенная, показательная, логарифмическая,
тригонометрические функции) описывающие большое разнообразие реальных
процессов в природе и обществе.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
. определять значение функции по значению аргумента (в том числе, с
помощью калькулятора) при различных способах задания функции;
. иллюстрировать основные свойства функций их с помощью графических
изображений;
. строить графики основных функций, предусмотренных обязательным
минимумом содержания;
. интерпретировать содержательно графики реальных зависимостей между
величинами, отвечая на поставленные вопросы;
. переводить на функциональный язык и исследовать реальные зависимости,
описываемые рассмотренными в курсе типами функций;
. функциональными понятиями и терминами, связанными со свойствами
функций, со способами задания функций, функциональной символикой;
. навыками применения свойств функций к решению уравнений и неравенств;
. навыками описывания свойств функции по ее графику;
. навыками использования свойства функции для сравнения и оценки ее
значений;
. навыками построения графиков функций с использованием основных приемов
преобразования графиков.

Элементы математического анализа


Знать и понимать:
. значение идей и методов математического анализа для приложений
математики;
. геометрический и механический смысл производной;
. смысл понятия первообразной, ее геометрическую и физическую
интерпретации;
. определение понятия интеграла на интуитивном уровне и его
геометрический смысл.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
. находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей
производных и правилами дифференцирования суммы, произведения и
частного, формулой производной функции вида y = f(ax + b);
. находить первообразные для суммы функций и произведения функции на
число;
. вычислять в простейших случаях площади криволинейных трапеций;
. использовать основные понятия, результаты и методы математического
анализа для решения геометрических, физических и других несложных
прикладных задач.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
и повседневной жизни; владеть:
. навыками применения производной для исследования функций на
монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших
значений функций и для построения их графиков;
. навыками вычисления площадей криволинейных трапеций.

Геометрические тела и их свойства


Знать и понимать:
. важнейшую роль аксиом в геометрии, возможность построения геометрии на
аксиоматической основе;
. сочетание строгости и наглядности в пострении геометрической теории и
решении геометрических задач;
. особенности геометрических чертежей как плоских изображений трехмерных
геометрических объектов с соблюдеинем определенных правил.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
. распознавать на чертежах и моделях геометрические фигуры (угол между
прямыми, угол между плоскостями, линейный угол двугранного угла,) и
пространственные тела (угол между плоскостями, двугранный угол,
биссектральная плоскость двугранного угла, части шара: шаровой сектор,
сегмент, пояс);
. изображать стереометрические тела, выполнять чертежи по условию задачи;
. применять геометрические места точек для решения задач на построение;
. применять координатно-векторный метод для решения задач.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
и повседневной жизни; владеть:
. геометрическим языком для описания предметов окружающего мира,
приводить примеры применения геометрии в быту, науке, технике,
искусстве;
. навыками геометрических доказательств;
. навыками вычисления значений геометрических величин (длин, углов,
площадей, объемов),
. навыками решения комбинаторных геометрических задач с одновременным
использованием свойств многогранников и тел вращения;
. навыками применения изученных свойств фигур и формул к решению задач.



-----------------------
[1] Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит изучению, но не
включается в требования к уровню подготовки выпускников