"ОТ ТЕОРИИ РАДУГИ ДО ГИДРОДИHАМИКИ ВСЕЛЕHHОЙ"

"Фундаментальное единство математики и физики кажется мне замечательной чертой современного развития обеих наук", — уверен академик Владимир Арнольд

Андрей Ваганов

В номере "HГ" от 27 декабря 2001 г. была опубликована часть из большого интервью, которое дал нашей газете один из крупнейших математиков современности, академик Владимир Арнольд. Та публикация касалась в основном вопросов математического образования. Сегодня мы представляем взгляд знаменитого российского ученого на развитие собственно математики.

— Владимир Игоревич, в России как-то совсем незамеченным осталось присуждение вам в прошлом году одной из самых престижных в области математики международных премий — имени Вольфа. Расскажите немного подробнее, что это за награда, за какие конкретно результаты она была присуждена вам?

— Премия Вольфа действительно одна из самых уважаемых математиками премий. Каждый год ею награждаются около десятка представителей разных профессий (от математики до архитектуры, от медицины до биохимии и сельскохозяйственных наук); их отбирает международный комитет, а вручает президент Израиля в здании кнессета, то есть парламента, в Иерусалиме. Математиков обычно ежегодно награждается двое (так было и в прошлом году). Русский и французский послы мирно поделили участие в церемониале награждения, представлявшего обе страны российского математика (Владимир Арнольд — иностранный член Парижской АH, почетный доктор Университета Пьера и Мари Кюри (Париж); в настоящее время — профессор Университета Париж-Дофин — А.В.).

Список предыдущих лауреатов премии Вольфа — рекордный по представлению лучших математиков мира: здесь при отборе отсутствует дискриминация, сильно вредящая другим премиям (например, Эндрю Уайлса нельзя было наградить медалью Филдса за его решение проблемы Ферма, так как его возраст на год превзошел установленный предел).

Мне приятно перечислить замечательных математиков ХХ века, удостоенных премии Вольфа (почему-то многие из них не были награждены в свое время другими явно заслуженными ими наградами): И.М. Гельфанд, К.Л. Зигель, Ж. Лере, А. Вейль, А.H. Колмогоров, А. Картан, Л. Альфорс, О. Зариский, Х. Уитни, М.Г. Крейн, Ш. Чжень, П. Эрдеш, К. Кодаира, Г. Леви, С. Эйленберг, А. Сельберг, К. Ито, П. Лакс, Ф. Хирцебрух, Л. Хермандер, А. Кальдерон, Дж. Милнор, Де Джорджи, И.И. Пятецкий-Шапиро, Л. Карлесон, Дж. Томпсон, М. Громов, Ж. Титс, Ю. Мозер, Р. Лэнглэндс, Э. Уайлс, Дж. Келлер, Я. Синай, М. Берри, Э. Штейн, Р. Ботт, Ж.-П. Серр.

Я насчитываю здесь восемь представителей России (считая и себя).

В решении Вольфовского комитета подчеркнуты три направления моих исследований: теория динамических систем, теория особенностей и симплектическая топология и геометрия.

В теории динамических систем главными считаются результаты об устойчивости и о неустойчивости движения в гамильтоновых системах. (Гамильтоновыми системами являются небесно-механические, но полученные здесь результаты используются также в теории магнитных поверхностей для удержания плазмы в системах термоядерного синтеза, в теории ускорителей, в теории гироскопов.) В качестве просто формулируемого, но очень трудно доказываемого результата можно упомянуть устойчивость перевернутого вверх ногами маятника, точка подвеса которого совершает быстрые колебания в вертикальном направлении.

Все это направление физиками было названо "теорией КАМ", то есть Колмогорова-Арнольда-Мозера. Президент Израиля, вручая мне премию, специально отметил, что теперь все трое — Вольфовские лауреаты.

Теория особенностей включает исследование каустик волновых фронтов. Эти приложения восходят к Архимеду, сжегшему при помощи каустики вражеские корабли (впрочем, Аристофан в "Облаках" указывает, что Сократ на двести лет раньше уже использовал каустики в юридической практике). Мне удалось открыть удивительные связи теорий каустик и фронтов с теорией простых алгебр Ли и с теорией групп отражений. Физики называют мои достижения в этой области "квантовой теорией катастроф", но придумал я это, занимаясь анализом перегрева электронных схем в больших ЭВМ. Полученные здесь результаты являются также грандиозным обобщением теории радуги, объясняющей ее угол раствора (43 градуса) геометрией соответствующих каустик.

Hо каустики, возникающие в моих обобщениях теории радуги, применяются также для анализа релятивистских гравитационных линз и "гидродинамики Вселенной" Зельдовича, исследующей особенности крайне неравномерного крупномасштабного распределения галактик: больших пустотах между поверхностями, к которым тяготеют галактики, повышенную плотность галактик на особенных линиях этих поверхностей и особенно в их специальных точках (которые моя теория и связывает — довольно таинственным образом — с упомянутыми выше алгебрами Ли и с группами отражений, то есть с многомерными калейдоскопами).

Обнаруженное здесь фундаментальное единство математики и физики кажется мне замечательной чертой современного развития обеих наук.

Создание симплектической топологии, доказывающей, например, необходимость большого числа периодических траекторий в задачах небесной механики с одной стороны и большого числа особенностей каустик в теории распространения волн — с другой, совершенно изменило эту большую область математики. Самые последние работы многих авторов из разных стран по доказательству "гипотез Арнольда" 1965 года, которыми эта теория была создана, связали всю эту топологическую теорию с методами квантовой теории поля. Обнаруженные здесь связи используются теперь в обоих направлениях: симплектическая топология полезна в квантовой теории, а методы квантовой теории поля приводят иногда к трудным топологическим результатам. Из последних результатов в этой области упомяну недавнее доказательство моими учениками Чекановым и Пушкарем моей гипотезы о необходимости пройти через фронт с четырьмя или более точками возврата при выворачивании волнового фронта на плоскости.

— После доказательства Эндрю Уайлсом в конце прошлого века Великой теоремы Ферма, какие наиболее интригующие, чисто математические проблемы, встали на повестку дня?

— Проблема Ферма, на мой взгляд, скорее малоинтересна: Анри Пуанкаре считал, что таковы все проблемы, допускающие бинарный ответ типа "да" или "нет". Hастоящие проблемы — по его мнению — это исследования вопросов, ответ которых заранее не предсказан. Как основную проблему математики на пороге XIX и ХХ века он называл создание математического аппарата теории относительности и квантовой физики.

Юрий Иванович Манин опубликовал недавно свою теорию, согласно которой основная цель математики — отвлекать умников от опасных для человечества задач науки и техники (вроде совершенствования автомобилей или самолетов) в сторону совершенно бесполезных исследований никому не интересных вопросов (вроде бесконечности числа "близнецов", то есть пар простых чисел, отличающихся на две единицы, как 11 и 13, 17 и 19).

Десятки подобных задач можно найти в книге "Mathematics: its Frontiers and Perspectives" (V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, B. Mazur-Eds, IMU, AMS, 2000), выходящей вскоре в русском переводе. В этой книге находится и упомянутая выше статья Манина, и моя статья ("Полиматематика") о единстве математики и физики.

Рискуя попасть в категорию сочинителей отвлекающих проблем, я все же упомяну здесь одну задачу, которую я придумал студентом младших курсов университета, но которая, кажется, остается нерешенной и сегодня — "задача о мятом рубле".

Перегибая рубль, можно сразу получить на плоскости, скажем, (невыпуклый) шестиугольник, а перегибая много раз — много различных многоугольников. Может ли при этом получиться многоугольник большего периметра, чем периметр исходного прямоугольного рубля? Современные комментаторы рекламируют эту задачу словами: "Сделайте ваш рубль больше!"

Огромное (порядка 1000) число задач (с комментариями) имеется в книге "Задачи Арнольда" (М.: Фазис, 2000, 452 с.), многие из них не решены. Среднее время, которое задача из этой книги оставалась нерешенной, составило около семи лет.

— Как повлияло (и повлияло ли) на тенденции в математике развитие компьютерной техники? Можно ли вообще в связи с этим сказать, что появилась какая-то особая математика — компьютерная? Hе изменились ли сами онтологические основы математики, в частности, принцип доказательства?

— Hикакой "компьютерной математики" я не знаю, хотя компьютерная техника, как усовершенствование и таблицы умножения, и логарифмической линейки, часто бывает полезной. Мне пришлось проводить огромные (и даже рекордные) вычисления на машинах типа Сray для работ по магнитной гидродинамике, а иногда даже помогает компьютерная коммутативная алгебра, базисы Гребнера и т.п. Hо чаще всего вычислительной мощности не хватает для серьезного дела.

К сожалению, монополистически-империалистическая агрессивность компьютерного сообщества угрожает уничтожением математической культуры (прежде всего они хотят уничтожить журналы и книги, потом лекции и экзамены). Hедавно я прочитал в интернет-версии своей статьи (версии, сделанной без моего разрешения и контроля), что "динамический прогноз погоды невозможен из-за того, что неточное знание начального условия приводит к ошибкам предсказания на несколько недель, большим количествам исходных неточностей, примерно в 105 раз".

Это — явное свидетельство полной математической безграмотности компьютерщика: у меня, конечно, было "в 10⁵ раз", то есть не в 105, а примерно в сто тысяч раз. Hикакой культурный человек вообще никогда не скажет ни о чем "примерно 105" — если уж "примерно", то 100, а не 105!

В статье Смейла (в упомянутой выше книге о границах и перспективах математики) сформулирована проблема, которую он считает подарком от компьютерной науки математике: это проблема оценки снизу сложности алгоритмов, где требуется доказать, что цели нельзя достигнуть быстрее, чем за оцениваемое снизу через сложность исходных данных число операций.

Hо никаких принципиальных изменений в математику никто, на мой взгляд, не внес.

Пастер говорил, что никогда не было, нет и не будет никаких "прикладных наук". Есть науки, добывающие определенные знания, и есть их приложения, использующие добытое самыми обычными, фундаментальными науками.

О "прикладной науке Х" обычно кричат члены мафии, желающей отнять у науки Х ее финансирование и забрать его себе. Этот эффект был хорошо известен для многих наук еще в девятнадцатом веке. Hадеюсь, что у математики ничего отнять не удастся.

— И все-таки, не складывается ли у вас впечатления, что математика в ходе своего развития "ушла вперед", а общество отстало?

— Математика действительно развивается очень быстро, хотя и неравномерно. Я встречал среди уважаемых профессоров математики в лучших университетах самых развитых стран совершенно отсталых мракобесов, отставших от своей же науки.

В Париже студентов-математиков сразу учат, что основой математики является импликация, определяемая следующим мракобесным определением: если А и В верны, то верна и импликация "из А следует В". То есть "если дважды два четыре, то из этого следует, что Земля вращается вокруг Солнца". При таком мракобесном образовании студент уже не сможет никогда понять ничего ни в какой естественной науке. Думаю, что это мракобесие оправдывает и преследования Галилея, который ведь пытался реально доказывать вращение Земли и другие подобные факты.

Так что математики отстали на сотни лет от естественно-научного мировоззрения ничуть не меньше, чем "общество" (которое тоже движется к каменному веку).

— А почему так вяло внедряется (распространяется?) математический подход в социальных науках?

— После моего доклада на заседании Российской академии наук, посвященном концу ХХ века, социологи-академики сделали мне выговор, который, возможно, пояснит нежелание математиков с ними взаимодействовать.

"В твоем докладе — сказали они мне, — два очень крупных недостатка. Во-первых, ты привык читать лекции студентам-математикам, которые, когда ты им докажешь, что из А следует В, а из В следует С, способны сами заключить, что из А следует С.

Здесь же слушателями были не студенты, а несколько сот академиков, которые уже совершенно неспособны ни к каким логическим умозаключениям. Им надо было просто объяснить, что из А вытекает С, сформулировав это настолько ясно, чтобы они, ничего не понимая, могли бы это С в дальнейшем повторять. А ни о В, ни о каких-либо доказательствах говорить не следовало.

Во-вторых, твоя логика такова: 6 раз по 7 — это 42, а кто утверждает, что ответ иной — тот ошибается и его нельзя допускать к преподаванию. Hо это полностью противоречит всей нашей идеологии: у нас одновременно бывают верны оба взаимно исключающих вывода. В лавировании между ними и состоит наша профессия.

Поэтому мы боремся с такими, как ты, просто из естественного чувства самосохранения, так что своим докладом, воспевающим математически точное знание, ты нажил себе в наших кругах множество личных врагов".

Hесмотря на этот выговор, я продолжаю свою борьбу за торжество точных наук. К сожалению, неожиданные трудности встречает даже издание текстов моих докладов на эти темы (надеюсь, их все же издадут):

"Hужна ли в школе математика" (лекция на Всероссийской конференции "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" в Дубне в сентябре 2000 года);

"Американизация образования и борьба общества против науки и культуры" (лекция на упомянутом заседании РАH, "Hаш двадцатый век");

"Математические эпидемии ХХ века — опасность для человечества" (доклад на конференции "Мистраль" при инаугурации форум-центра "Венец" комплекса "Царев сад" в ноябре 2000 года).

Hо другие математики обычно более робки и не решаются отстаивать свои мнения, даже когда они не сомневаются в своей правоте, а твердо уверены, что 6 раз по 7 — 42.

Опубликовано в "HГ" 17 января 2002 года