Евгений Юрьевич Смирнов
Плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы
Е.Ю.Смирнов планирует провести 4 занятия
|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/dubna/2013/courses/smirnov.htm
Дата изменения: Tue Jul 30 08:57:24 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 01:19:58 2014 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п р п р п р п р п р п р п п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п |
| На главную страницу ЛШСМ-2013 | К списку курсов ЛШСМ-2013 |
Евгений Юрьевич СмирновПлоские разбиения и знакочередующиеся матрицыЕ.Ю.Смирнов планирует провести 4 занятия |
|
Разобьем натуральное число на слагаемые и запишем эти слагаемые в клетках прямоугольной таблицы так, чтобы они нестрого убывали по строчкам и столбцам. Полученный объект называется плоским разбиением (plane partition). Плоские разбиения удобно представлять себе как башни из детских кубиков (трёхмерные диаграммы Юнга): для этого каждое слагаемое нужно заменить на столбик кубиков соответствующей высоты. Производящая функция для количества плоских разбиений числа n была вычислена П.Макмагоном в конце XIX в. Она обобщает знаменитую производящую функцию Эйлера для числа разбиений (т.е. обычных диаграмм Юнга).
Знакочередующиеся матрицы (alternating sign matrices) — это квадратные матрицы, все элементы которых равны 0, 1 или -1, причём в каждой строке и каждом столбце 1 и -1 чередуются, а единиц на одну больше, чем минус единиц. В частности, все матрицы перестановок являются знакочередующимися. Знакочередующиеся матрицы были введены У.Миллсом, Д.Роббинсом и Г.Рамси в начале 1980-х годов для решения задач статистической механики -- для описания так называемой модели квадратного льда. Они же сформулировали гипотезу о числе таких матриц.
Эта гипотеза была доказана Зейльбергером и Купербергом в начале 1990-х годов. Замечательным образом оказалось, что число знакочередующихся матриц равняется числу плоских разбиений, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям симметрии. Мы обсудим это утверждение, а также рассмотрим ряд других задач из алгебры, теории представлений и комбинаторики, в которых возникают плоские разбиения.
Примерный план занятий
- Разбиения и диаграммы Юнга. Производящая функция для разбиений. Формула Якоби для тройного произведения. Гауссовы биномиальные коэффициенты и q-комбинаторика.
- Плоские разбиения (трёхмерные диаграммы Юнга). Подсчёт числа плоских разбиений внутри параллелепипеда: сведение к задаче о непересекающимся путям, трюк Линдстрема-Гесселя-Виенно, формула Макмагона. Циклически-симметричные плоские разбиения, формула Макдональда.
- Определитель Вандермонда и формула Краттенталера. Многочлены Шура, их вычисление при помощи полустандартных таблиц Юнга. Производящие функции для плоских разбиений как специализации многочленов Шура. Конденсация определителей по Доджсону.
- Знакочередующиеся матрицы (alternating sign matrices) и «квадратный лёд». Вполне симметричные самодвойственные плоские разбиения. Гипотеза о знакочередующихся матрицах и её уточнения (Zeilberger, Kuperberg).
Курс рассчитан на младшекурсников, а также на школьников, которые знают, что такое определитель. Также полезно иметь опыт обращения с производящими функциями и не бояться комбинаторики.
Материалы