|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/dubna/2012/courses/kleptsyn-0.htm
Дата изменения: Fri Jul 13 22:49:24 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 13:55:53 2013 Кодировка: UTF-8 Поисковые слова: второй ъблпо лерметб |
| На главную страницу ЛШСМ-2012 | К списку курсов ЛШСМ-2012 |
Виктор Алексеевич Клепцын Ренормализация и универсальность:
|
 |
Как ведут себя итерации ?шапочного? отображения f?(x)= ? x(1-x) отрезка [0, 1] в себя? При 0<?<1 из любой начальной точки мы довольно быстро сваливаемся в ноль. При ?=4 динамика совершенно хаотична: замена x=cos2? превращает ее в удвоение угла ?:
T(?)=2? mod 2?. А как происходит переход от порядка к хаосу? И как он будет происходить, если взять какое-нибудь другое семейство, например, g?(x)=? sin (?x)?
Более 30 лет назад, исследование таких переходов привело к открытию универсальности Фейгенбаума-Кулле-Трессера. Оказывается, что при увеличении параметра происходит каскад бифуркаций (перестроек отображения). И хотя отдельные значения параметров, при которых происходят перестройки, конечно, зависят от семейства, такие значения накапливаются к предельному как геометрическая прогрессия с универсальным — не зависящим от выбора семейства! — знаменателем.
Объяснением этого явления (или, точнее, первым шагом такого объяснения) оказывается возможность ренормализации: отображение f?2 после ограничения на подотрезок и перемасштабирования координат оказываются отображениями другого, но похожего семейства. В результате, можно перейти от исследования бифуркаций удвоения периода в произвольном семействе h? к исследованию отображения ренормализации R, сопоставляющего отображению f перемасштабированное отображение f2. И константа Фейгенбаума ? — асимптотический знаменатель в каскаде бифуркаций — оказывается просто неустойчивым собственным значением линеаризации отображения R в его неподвижной точке.
Разобрав эту тему, мы обратимся к другому классу задач, где тоже возникает эффект универсальности, зачастую также (хотя и гораздо менее строго) объясняемый ренормализацией — к решеточным моделям.
