|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/dubna/2012/courses/bufetov.htm
Дата изменения: Wed Jul 18 18:02:09 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 10:38:42 2013 Кодировка: UTF-8 Поисковые слова: п п п |
| На главную страницу ЛШСМ-2012 | К списку курсов ЛШСМ-2012 |
|
Александр Игоревич Буфетов
|
|
Рассмотрим конечный связный граф. Сколько в нем остовных деревьев — деревьев, содержащих все вершины графа? А какая их доля содержит данный набор ребер?
Число остовных деревьев в графе нашел еще Кирхгоф в работе 1847 г. об электрических цепях, а в 1993 г. Burton и Pemantle нолучили замечательную формулу для доли остовных деревьев, содержащих данный набор ребер. Эта формула имеет вид детерминанта матрицы, размер которой равен числу ребер в интересующем нас наборе.
Оказывается, аналогичные детерминантные формулы возникают в самых разных задачах теории вероятностей, теории представлений, анализа, математической физики. Например, рассмотрим квадратную матрицу, элементы которой задаются случаем. Тогда распределение собственных чисел случайной матрицы имеет детерминантный вид.
Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию детерминантных процессов. Первые две лекции, посвященные комбинаторным задачам, будут совершенно элементарны и полностью доступны десятиклассникам. Для понимания двух заключительных лекций желательно знакомство с началами анализа, а также с понятием определителя, которое, впрочем, мы напомним на первом занятии.
Теория детерминантных процессов молода: большинство результатов относится уже к XXI веку.
Мы планируем обсудить недавние достижения и сформулировать нерешенные проблемы.Программа занятий
- Детерминанты и пфаффианы
- Остовные деревья
- Случайные матрицы
- Мультипликативные функционалы
