Алексей Брониславович Сосинский Узлы: инварианты и нормальные формы А.Б.Сосинский планирует провести 3–4 занятия.

Теория узлов и зацеплений — наука с более чем 200-летней историей; ее первые значительные результаты принадлежат великому Гауссу; теория узлов достигла своего апогея в девяностые годы прошлого столетия в работах В.А.Васильева и четырех филдсовских лауреатов В.Джонса, Э.Виттена, В.Дринфельда и М.Концевича. Удивительно, что отдельные достаточно свежие достижения этой теории, например знаменитый полином Джонса, могут быть изложены в форме доступной (умному) девятикласснику. На летней школе этого года, кроме моего миникурса, теории узлов будут посвящены курсы Ивана Лосева и Дениса Миронова.

Узел — это гладкая кривая в пространстве. Два узла считаются эквивалентными, если один можно гладко продеформировать в другой. Например, узел называется тривиальным, если его можно продеформировать в круглую окружность, иными словами — распутать. Основные проблемы теории узлов: проблема классификации или сравнения (два узла даны своими изображениями — эквивалентны ли они?) и проблема Гордиева узла или проблема распутывания (дано изображение узла — тривиален ли он?). Эти проблемы помогают решить инварианты и приведение (с помощью компьютерных анимаций) к т.н. нормальным формам; об этом и будет рассказаны в курсе.

Лекция и первые два занятия будут доступны школьникам, а неповерхностное понимание последнего занятия потребует более серьезных знаний, например, полезно знать про необходимое условие минимума функционала и градиентный спуск (но зато будут показаны мультфильмы).

Программа

1. Диаграмма узла, изотопия, геометрия и арифметика узлов, движения Рейдемейстера, вычисление полинома Александера-Конвея.
2. Скобка Кауфмана и полином Джонса.
3. Свойства полинома Джонса и его применения.
4. Энергия плоских кривых и узлов.