Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/dubna/2011/courses/bufetov.htm
Дата изменения: Mon Jul 18 10:52:13 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 10:37:39 2013 Кодировка: UTF-8 Поисковые слова: arp 220 |
На главную страницу ЛШСМ-2011 | К списку курсов ЛШСМ-2011 |
Александр Игоревич Буфетов
|
Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1, такой что величина
maxx?[–1,1]|Pn(x)|принимает наименьшее возможное значение.
Эту задачу решил Чебышев, доказавший, что искомые полиномы даются формулой
Последовательность полиномов Чебышева — классический пример семейства ортогональных полиномов. Общее определение таково.
P0(x) =1 Pn(x) =21-ncos(n arccos x), n>1. Рассмотрим на отрезке [a,b] положительную непрерывную функцию ?(x). Семейство полиномов Pn, n???{0}, называется семейством ортогональных полиномов с весом, если
- полином Pn имеет степень n;
- при n1?n2 выполнено
?ab Pn1(x)Pn2(x)?(x) dx=0.Такое семейство {Pn} единственно с точностью до умножения каждого Pn на ненулевую константу. Упражнение для читателя: с каким весом ортогональны на отрезке [–1,1] полиномы Чебышева?
Если [a,b]=[–1,1] а ?(x)?1, то возникают так называемые полиномы Лежандра, впервые возникшие в работе Лежандра о движении планет в Солнечной системе и возникающие в самых разных областях математики.
Например, рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные числа этой матрицы? Мы увидим, что ключевую роль в этой задаче играют как раз полиномы Лежандра.
Для понимания курса достаточно уметь интегрировать элементарные функции в объеме программы средней школы; таким образом, курс доступен школьникам.