Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2010/notes/fedorov/list_01.pdf Дата изменения: Wed Jul 21 18:17:06 2010 Дата индексирования: Sun Sep 12 17:01:47 2010 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п

Теория инвариантов. Листок 1

В этом листке K обозначает поле характеристики нуль. Задача. Пусть = 2 Id скалярная матрица. Докажите, что не существует непостоянного многочлена, инвариантного относительно . Задача. Пусть G = {-Id, Id}. (а) Докажите, что многочлен инвариантен относительно G тогда и только тогда, когда у него отсутствуют однородные компоненты нечетных степеней. (б) Докажите, что все инвариантные многочлены выражаются через многочлены x2, xy, y2 и константы при помощи операций сложения и умножения. (в) Не существует двух инвариантных многочленов таких, что все инвариантные многочлены выражаются через них и константы. (Указание: рассмотрите вторые частные производные.) Задача. Найдите все идеалы (а) в поле; (б) в кольце многочленов от одной переменной. Задача. Рациональная функция с коэффициентами в поле K это функция, являющаяся отношением двух многочленов. Пусть A кольцо рациональных функций, определенных в нуле, то есть функций вида f /g, где f и g многочлены, причем g(0) = 0. Докажите, что: (a) A кольцо; (б) кольцо A не является конечно порожденным над K ; (в) кольцо A нетерово. Задача. (а) Докажите, что многочлен xn K [x1 , . . . , xn ] не содержится в идеале, порожденном многочленами x1, . . . , xn-1. (Указание: предположите противное, и подставьте x1 = . . . = xn-1 = 0, xn = 1 в соответствующее равенство.) (б) Докажите, что кольцо многочленов от бесконечного числа переменных не является нетеровым. Задача. Теорема: если A нетерово кольцо, то A[x] (кольцо многочленов с коэффициентами из A) тоже нетерово. Цель этой задачи доказать теорему. Итак, пусть a идеал в A[x]. (a) Обозначим через b множество всех старших коэффициентов многочленов (всех степеней) из a. Тогда b идеал. (б) Пусть b = (b1, . . . , bn) и пусть fi a многочлен со старшим коэффициентом bi. Пусть N максимальная из степеней многочленов fi. Докажите, что для любого g a найдется h такой, что g - h (f1, . . . , fn) и deg h < N . (в) Пусть ai множество старших членов многочленов степени не больше i. Докажите, что ai идеал. (г) Докажите теорему.
1