|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/dubna/2015/courses/psemenov.html
Дата изменения: Tue Jul 28 18:35:30 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 12:31:15 2016 Кодировка: UTF-8 Поисковые слова: п п п п п п п |
П. В. Семенов планирует провести 3-4 занятия.
Любая функция, непрерывная на отрезке I, ограничена на нем и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения. На какое подмножество К числовой прямой можно заменить I так, чтобы приведенное утверждение (теорема Вейерштрасса) осталось верным? Ответ: на компакт и только на компакт. Компакты на прямой, на плоскости, в пространстве и, вообще, в метрических пространствах, образуют один из самых хороших классов пространств, используемых в математическом и в функциональном анализе, топологии, математической экономике и других приложениях классической математики.
Оказывается, среди компактов есть ?самый большой? компакт, гильбертов куб. Он является (иньективно) универсальным. Эти слова означают, что гильбертов куб содержит в себе копии всех других компактов.
Есть среди компактов объект, универсальный в несколько противоположном (проективном) смысле. Любой другой компакт может быть получен из этого единственного компакта с помощью непрерывного отображения. Этот универсальный объект ? канторовское множество, или, как принято говорить в описательной теории фракталов, пыль Кантора.
Если будет возможность, то планируется рассказать и о нескольких других замечательных компактах: ковер (салфетка) Серпинского, кривая Менгера и их универсальности в классе всех плоских кривых и кривых в метрических пространствах, соответственно.