Алексей Антонович Глуцюк

Бильярды встречаются в разных областях, например, в классической механике, геометрической оптике, модели Больцмана идеального газа, в динамических системах и классическом анализе (спектральная теория). В частности, движение системы механических тел с упругими столкновениями и распространение света в замкнутой комнате с идеально отражающими стенками описываются бильярдными траекториями.

Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о бильярдах. Например, не известно, в каждом ли треугольном бильярде есть периодическая траектория. Выпуклый бильярд называется интегрируемым, если существует непрерывное семейство непересекающихся замкнутых кривых (называемых каустиками), таких что всякая касательная к каждой кривой продолжается до бильярдной траектории, касающейся ее всеми своими ребрами. Эллиптические бильярды интегрируемы. Знаменитая открытая гипотеза Бирхгофа утверждает, что интегрируемы только они. Не известно, существуют ли строго выпуклые плоские бильярды с гладкой границей и хаотической динамикой. Хаотичность означала бы, в частности, что число периодических орбит данного периода растет, как минимум, экспоненциально как функция периода.

В курсе будут обсуждены известные классические результаты и текущее состояние дел по вышеупомянутым открытым проблемам. В частности, мы обсудим

• существование периодических орбит в каждом остроугольном треугольном бильярде и в каждом бильярде, углы которого рационально кратны π, результаты Р. Шварца о тупоугольных треугольных бильярдах;
• интегрируемость эллиптических бильярдов и теорема Понселе;
• хаотичность вогнутых бильярдов;
• простейшие примеры выпуклых хаотических бильярдов, в первую очередь, стадион Бунимовича;
• существование бесконечного семейства каустик, заполняющих множество положительной меры, в достаточно гладком строго выпуклом бильярде (результат В. Ф. Лазуткина, применение теории КАМ);
• решение частных случаев гипотезы Бирхгофа (вкл. результат М. Л. Бялого и совместный результат А. Авилы, Ж. Де Симои и В. Ю. Калошина) и результат Д. В. Трещева о существовании так называемых «локально интегрируемых» экзотических бильярдов.

Курс будет рассчитан на школьников, начиная с 10 класса, и студентов. Предварительных знаний не требуется. Материал, выходящий за рамки школьной программы (кривизна кривой и т. д.), будет коротко представлен.

Материалы

• задачи