|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/prokhorova.htm
Дата изменения: Sun Jul 6 23:32:59 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 13:00:37 2016 Кодировка: UTF-8 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п |
М. Ф. Прохорова планирует провести 4 занятия.
Все физики и многие математики любят говорить о ?бесконечно малых приращениях параметра?, ?бесконечно больших значениях функции? и так далее. Однако математики при этом обычно подразумевают возможность формализовать свои рассуждения, рассматривая сходящуюся к нулю последовательность или неограниченно возрастающую функцию (?для любого $\varepsilon\gt0$ существует $\delta\gt0$? и так далее). Перевод интуитивно понятных ?бесконечно малых? на язык ?$\varepsilon$–$\delta$? зачастую бывает очень утомителен. Нестандартный анализ, придуманный в 1960 году Абрахамом Робинсоном, позволяет обращаться с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами как с обычными числами (и это лишь малая часть того, что он позволяет делать).
С тех пор возникли разные подходы к построению нестандартного анализа. Я расскажу про один из них: теорию внутренних множеств (IST = Internal Set Theory) Эдварда Нельсона. В этой теории к обычной теории множеств добавляется новое свойство (предикат) ?стандартности?, то есть про объект мы теперь можем сказать, является ли он стандартным.
Например: 100500, $\pi$, $e$, $2\pi/e$ и так далее — стандартные числа, а вот бесконечно большие и бесконечно маленькие числа стандартными не являются (но существуют!). Логарифм и синус — стандартные функции, но существуют и нестандартные.
Взаимоотношения этого нового свойства ?стандартности? с обычной теорией множеств регулируются тремя дополнительными аксиомами: идеализации (I), стандартизации (S) и переноса (T). При этом все теоремы ?обычной? математики остаются верными (а неверных теорем не возникает), но у нас появляется дополнительный инструмент для их доказательства, а также расширяются выразительные возможности языка.
Я покажу, как использовать этот новый язык, на конкретных простых примерах. В частности, мы обсудим понятия предела, непрерывности, производной, интеграла, компактности и т.д., а также научимся решать ?стандартные? задачи, используя ?нестандартные? методы.
От слушателей требуется владение понятиями предела, непрерывности, производной. Желательно знакомство с элементарной теорией множеств.