Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2008/courses/Moshchevitin-08.pdf Дата изменения: Sat Jun 14 21:32:42 2008 Дата индексирования: Sat Sep 6 22:21:21 2008 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

Аннотация курса

"Ряды Фарея"
лектор - проф. Н.Г. Мощевитин Дубна 2008

Предполагается, что курс из четырех лекций познакомит слушателей с некоторыми классическими и новыми разделами теории чисел. В основном, он будет доступен для старшеклассинков и студентов 1-2 курсов. 1. Дерево Фарея и цепные дроби. Рациональные числа из отрезка [0, 1] можно "склаc +c дывать" по правилу a d = a+d . C помощью этой процедуры, связанной с разложением рациb b онального числа в цепную дробь, можно получить все рациональные числа. Будет рассказано о получающемся таким образом дереве Фарея, последовательностях Фарея и Штерна-Броко и их многомерных обобщениях - сетях Фарея и многомерных цепных дробях. 2. Теоретико-числовые функции. Одним из классических объектов теории чисел являются мультипликативные функции, такие как функция Эйлера (n) и функция Мебиуса ч(n). Будет рассказано об их простейших свойствах, в том числе и о связи с дзета-функцией Римана 1 (s) = ns . n=1 3. Ряды Фарея. Основной проблемой математики по праву считается знаменитая гипотеза Римана о нулях дзета-функции. Будет рассказано о теореме Франеля, которая утверждает, что гипотеза Римана эквивалентна некоторому утверждению о распределении последовательностей Фарея. 4. Вопрос-функция Мниковского. Асимптотической функцией распределения для последовательностей Штерна-Броко является известная функция Минковского ?(x). Эта монотонная функция отображает отрезок [0, 1] в себя, она непрерывна. Так как, согласно теореме Лебега, монотонная функция дифференцируема почти всюду, у функции Минковского производная существует почти всюду, но ее производная почти всюду равна нулю. Более того, ее производная может принимать всего лишь два значения - 0 и +.

1