Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2007/notes/kirillov-preprint.pdf Дата изменения: Mon Jul 23 14:46:14 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:10:38 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: hst

Повесть о двух фракталах
А.А.Кириллов
Department of Mathematics, The University of Pennsylvania, Philadelphia, PA 19104-6395, USA, Институт Проблем Передачи Информации РАН, Б.Каретный, д.19, Москва 101 477, ГСП-4, Россия. E-mail address: kiril lov@math.upenn.edu

Посвящается Бену@КолеA и Лизе


Автор благодарен Институту Эрвина Шр?дингера @isA в ВенеD где эта работа была начатаD Институту Макса Планка @wsA в Бонне и Институту Высших Научных Исследований @sriA во ФранцииD где она была завершенаF Я также благодарен моим студентам и аспирантамD настоящим и бывшимD за многочисленные замечания и ТеХническую помощьF


Оглавление

Введение

S W II II IR IV PR PU PU QQ QT QU QW QW RI RS RU RW SQ ST SU SW TR TS TU TV TW TW UU VS VS

Часть IF Ков?рСерпинского
Глава IFIF snfo IFPF snfo Глава snfo PFIF PFPF PFQF Глава QFIF QFPF QFQF snfo QFRF QFSF QFTF QFUF snfo QFVF QFWF IF Определениеиосновныесвойства Возникновениеинаивноеопределение eF Метрическиепространства Самоподобныефракталы fF Хаусдорфовамераихаусдорфоваразмерность PF ОператорЛапласанаковреСерпинского gF ОператорЛапласаигармоническиефункции ОператорЛапласанаSN Сравнениеспектровn иn-1 СпектроператорЛапласанаSn QF ГармоническиефункциинаковреСерпинского Основныесвойствагармоническихфункций Базисныефункции, , , Продолжениеивычислениефункций(t) и (t) hF Производныеиинтегралыдробногопорядка Некоторыеарифметическиесвойстваосновныхфункций Функцииx(t), y (t) иy (x) ГармоническийобразковраS МногомерныеаналогиковраS iF Числовыесистемы Примененияобобщ?нныхчисловыхсистем Применениекфункции4Вопросительныйзнак4

Часть PF Ков?рАполлония
Введение Глава RF Кругинасферах RFIF ТеоремаДекарта snfo pF Конформнаягруппаистереографическаяпроекция Глава SF СтрогоеопределениековраАполлония pF Основныефакты
Q


R

Оглавление

snfo SFPF SFQF SFRF Глава TFIF snfo TFPF TFQF TFRF TFSF snfo Глава snfo UFIF UFPF

qF ЧислаФибоначчи Коврыснеограниченнымиразмерамикругов ТриинтерпретациимножестваD Обобщ?ннаятеоремаДекарта

VW WP WT IHH

TF АрифметическиесвойстваковровАполлония IHS ЦелочисленныерешенияуравненияДекарта IHS rF СтруктуранекоторыхгруппD порожд?нныхотражениями IHU IIH СтруктурамножестваQ Рациональнаяпараметризацияокружности IIR СовершенныепараметризциикруговD касающихсяданногокруга IPP ЦелочисленныековрыАполлония IPS sF ФормулаобращенияМ?биуса IPT UF ГеометрическийитеоретикоEгрупповойподход tF ПлоскостьЛобачевского@гиперболическаяплоскостьA ДействиегруппыG иковрыАполлония Действиегруппы наковреАполлония IQI IQI IQV IRP IRU IRU ISH ISS ISS ISS ISS IST

Глава VF МногомерныековрыАполлония VFIF Общиесоображения VFPF QEмерныйков?рАполлония Литература eF ПопулярныекнигиD лекциииобзоры fF Книги gF Научныестатьи hF Материалынасети


ВВЕДЕнИЕ

S

Введение
Эта книга посвящена обсуждению фрактальных множествD или проE сто фракталовF Такие множества известны уже больше ста лет и появE лялись в разных областях наукиF Но только недавно @около QH лет тому назадA они стали предметом математического исследованияF Пионером теории фракталов был БF МандельбротF Его книга wnVP впервые появилась в IWUU годуD а второеD расширенное издание вышло в IWVP годуF После этого серь?зные работыD обзорыD популярные статьи и книги о фракталах стали появляться десятками @если не сотнямиAF С IWWQ года в издательстве orld ienti( выходит специальный периоE дический журнал 4Фракталы4F Так чтоD зачем писать ещ? одну книгу о фракталахc ВоEпервыхD несмотря на обширную литературуD многие людиD вклюE чая студентовD аспирантов и значительную часть работающих матемаE тиковD имеют довольно смутное представление о фракталахF ВоEвторыхD во многих популярных книгах читатель увидит массу цветных картинок и любопытных примеровD но не найд?т ни точных определенийD ни строго доказанных результатовF С другой стороныD раE боты профессиональных математиковD как правилоD слишком трудны для начинающихF Они обычно посвящены довольно специальным вопроE сам и часто предполагают заранее известными все связи и мотивировкиF Последняя иD может бытьD самая важная причина состоит в томD что самостоятельное изучение геометрииD анализа и арифметики фракталовD на мой взгляд является одним из лучших способов для молодого матемаE тика активно и прочно овладеть основными математическими знаниямиF Мне кажется такжеD что это ! прекрасная возможность проверить свою способность к творческой работе в математикеFI Я имею в виду не только решение точно сформулированных задачD но и распознание скрытых закономерностей и постановку новых плодотворных вопросовF Мой личный интерес к фракталам возникD когда я читал специальE ный курс о фракталах в IWWS году по просьбе нескольких студентов разE ных специальностейF Я повторял этот курс в IWWWD PHHQ и PHHS ггF В PHHR году я имел возможность изложить часть этого материала в лекциях для участников Летней Математической школы в Дубне под МосквойD оргаE низованной для школьников и первокурсников отличившихся на РоссийE ской Математической ОлимпиадеF Я был приятно удивл?н активностью аудитории и темD как быстро слушатели воспринимали новую длю них информациюF
IПо определению ЮFИFМанинаD творить в математике ! это вычислятьD волнуясьF


T

Оглавление

В этой книге я намеренно ограничиваюсь только двумя примерами фрактальных множествX коврами Серпинского и АполлонияF Мы расE сматриваем и точно формулируем серию задачD возникающих при изуE чении этих фракталовF Большинство из них можно ставить и решать независимо от остальныхD но только вся их совокупность дает реальное представление о мире фракталовF Некоторые из этих задач являются просто упражнениями на понимаE ние терминов и логики изложенияD другие представляют сравнительно недавние результатыD а несколько наиболее интересных являются нереE ш?нными проблемами неизвестной степени трудностиF Решение @и даже понимание формулировкиA этих задач требует некоторых предварительE ных знанийF В частностиD мы предполагаем известнымиX

ћ Элементы анализаX функции одной вещественной переменнойD дифференциальное и интегральное исчислениеD числовые ряды и ряды функцийF ћ Элементы линейной алгебрыX вещественные и комплексные лиE нейные пространстваD размерностьD линейные операторыD квадE ратичные формыD собственные значения и собственные вектоE рыD координаты и скалярное произведениеF ћ Элементы геометрииX прямые линииD плоскостиD окружностиD круги и сферы в R3 D основные тригонометрические формулыD начала сферической и гиперболической геометрииF ћ Элементы арифметикиX простые числаD взаимно простые чисE лаD нFоFдF@наибольший общий делительAD рациональные числаD понятие об алгебраических числахF ћ Элементы теории группX подгруппыD нормальные подгруппыD однородные пространстваD классы смежностиD матричные групE пыF
Все это обычно входит в программу первых двух или тр?х лет униE верситетаF Разнообразие этих сведений и их взаимосвязь я рассматриваю как большое преимущество теории фракталов и как характерную черту современной математикиF Несколько слов о стиле изложенияF Я старался избежать двух главE ных опасностейX сделать книгу скучнойD объясняя слишком подробно простые детали и сделать ее непонятнойD используя наиболее эффективE ную современную техникуD которая порой слишком абстрактнаF ЧитатеE лю судитьD насколько это мне удалосьF Я также старался довести до читателей неформальное понимание математических методовD которое отличает @почти любогоA профессиоE нала от начинающего любителяF Иногда одна фраза объясняет большеD чем длинная статья или толстая книгаF В моей практике это случалосьD когда я пытался понятьD что такое индуцирование в теории представE ленийD спектральная последовательность в алгебраической топологииD


ВВЕДЕнИЕ

U

язык схем в алгебраической геометрииF Поэтому я иногда использую 4высоконаучные4термины и понятияD объясняя всякий разD что они знаE чатD если отбросить незабудки P Дополнительная информация включена в текст в виде кратких 4ИнE фо4@или 4схолий4AF Конец каждой схолии отмечен знаком F Я также использую 4Замечания4как форму дополнительной инфорE мацииF Конец замечания отмечается знаком F Конец доказательстваD или его отсутствие отмечено знаком F

доты и притчи Семинара ИFМFГельфанда4@планируемая статьяAF

PСмF Козьма ПрутковD Незабудки и запяткиD БасняF А также 4Избранные анекE



Часть 1

Ков?р Серпинского



Глава I
Определение и основные свойства

IFIF Возникновение и наивное определение
Я не буду описывать первоначальные появления фракталов в естеE ственных науках @такие как исследования длины береговой линии или границ немецких княжеств Хss векаD строения цветной капусты или формы снежинокD и тFдFAY по этому поводу есть достаточно примеров в популярных изложениях теории фракталов @смF например wnVP или очень забавную недавнюю книжку vqiHHAF Для математиковD простейшим и наиболее известным примером фракE тала является знаменитое канторово множествоF Из него трудно сделать красивую картинкуD но зато знакомство с канторовым множеством ! очень хороший тест чтобы отличить техD кто действительно понимает анализ от техD кто формально сдал экзаменF Мы не будем вдаваться в детали здесьD но в разделе IFP мы верн?мся к этому примеру и покажемD что он является частью общей теории самоподобных фракталовF Гораздо более интересные примеры фракталов существуют на плосE кости R2 F Мы начнем с подробного рассмотрения одного примераF Многие слышали о так называемом треугольнике Паскаля состоE ящем из биномиальных коэффициентов n F Он выглядит такX k

1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 7 ... 6 21 ... 5 15 35 ... 4 10 20 35 ... 3 6 10 15 21 ... 2 3 4 5 6 7 ... 1 1 1 1 1 1 1 ...

Очень легко продолжить этот треугольникD заметивD что каждое число в н?м является суммой двухD стоящих над нимF
II


IP

IF прЕДЕЛЕнИЕ И осноВныЕ сВоЙстВА

Теперь давайте заменим эти числа их вычетами по модулю 2F ДругиE ми словамиD поставим вместо каждого ч?тного числа 0D а вместо неч?тE ного числа 1F Мы получим следующую таблицуX

1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 ... 0 1 ... 1 1 1 ... 0 0 0 1 ... 1 0 0 1 1 ... 0 1 0 1 0 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 ...

Как можно описать эту картинуc ЗаметимD что весь наш треугольник со стороной V состоит из тр?х одинаковых треугольников со стороной R @левогоD правого и верхнегоAY каждый из них содержит три одинаковых треугольника со стороной PD состоящих из тр?х единицF Все остальные места заняты нулямиF Попробуем вообразитьD что получитсяD если мы продолжим наш треE угольник до 2N Eого рядаD где N ! большое числоF Если мы сожм?м наш треугольник до размера книжной страницы и заменим единицы ч?рныE ми точкамиD а нули ! белымиD то мы получим такую картинуX

Рис. 1.1.

Треугольник Паскаля mod P

Здесь целый треугольник состоит из тр?х треугольников половинE ного размераD которые выглядят подобно целой картинеF ПространствоD ограниченное этими треугольникамиD заполнено белыми точкамиF Довольно ясноD что когда N стремится к бесконечностиD наша картиE на стремится к некоторому пределуFI Этот предел ! так называемый коE в?р СерпинскогоD открытый в IWIT году польским математиком ВацE лавом СерпинскимF
IСмF ниже Инфо А по поводу строгого определения предела в этой ситуацииF


IFIF ВоЗнИКноВЕнИЕ И нАИВноЕ опрЕДЕЛЕнИЕ

IQ

Другой пример появления того же множества связан со следующей задачей линейной алгебрыF Пусть EN ! матрица размером N Ч N с элеE ментами из простейшего конечного поля F2 = Z/2ZD заданная условияE миX 1 если i < j (EN )i,j = 0 в противном случае. Согласно общей теорииD эта матрица приводится к жордановой норE мальной формеD представляющей собой один блок JN где 1 если j = i + 1 (JN )i,j = 0 в противном случае. Попробуем найти матрицу AN D которая устанавливает эквивалентE ность EN AN = AN JN F ОказываетсяD что такая матрица может быть выбрана в виде

Рис. 1.2.

Треугольная матрица Паскаля

Мы оставляем читателю объяснить этот факт и найти связь между треугольником Паскаля и матрицей AN F ПреждеD чем идти дальшеD мы должны обобщить понятие пределаD! основное понятие анализаD! так чтобы оно было применимо не только к числовым последовательностямD но к последовательностям объектов любой природыF В частностиD мы хотим придать точный смысл выраE жениюX 4последовательность множеств {Xn } стремится к предельному множеству X 4F


IR

IF прЕДЕЛЕнИЕ И осноВныЕ сВоЙстВА

Соответствующий раздел математики называется теорией метричеE ских пространствF Используя эту теориюD мы можем определить фрактаE лы @которые являются довольно сложными множествамиA как пределы последовательностей более простых множествF

snfo eF Метрические пространства
Мы начн?м с довольно общих и абстрактных определенийD которые позже будут проиллюстрированы и объяснены на многих конкретных примерахF ВозможноD для некоторых читателей наше изложение покаE жется слишком абстрактным и трудным для понимания и запоминанияF Но вы вскоре убедитесьD что новые понятия очень полезны во многих случаяхF Они позволяют рассматривать с единой точки зрения много задачD которые выглядят совершенно различноF

eFIF
Definition eFI. Метрическое пространство ! это пара (M , d)D где M ! множествоD а d : M Ч M - R ! функцияD которая каждой паре точек x и y из M ставит в соответствие число d(x, y ) ! расстояние между x и y F При этом требуетсяD чтобы следующие аксиомы были выполненыX

ћ ПоложительностьX Для всех x, y M величина d(x, y ) ! неотриE цательное вещественное числоD которое равно нулю тогда и только тогдаD когда x = y F ћ СимметричностьX d(x, y ) = d(y , x) для всех x, y M F ћ Неравенство треугольникаX d(x, y ) d(x, z ) + d(z , y ) для всех x, y , z M F
Модельными примерами метрических пространств являютсяX IF Вещественная прямая (R, d)D где расстояние определено обычной формулой @eFIA

d(x, y ) = |x - y |.

PF Плоскость (R2 , d) с обычным расстоянием между x = (x1 , x2 ) и y = (y1 , y2 )X @eFPA @eFQA F eFP. Мы говоримD что последовательность {xn } точек M сходится к точке a M D или имеет предел aD если d(xn , a) 0 когда n F
Definition

d(x, y ) =

(x1 - y1 )2 + (x2 - y2 )2 .

QF Тр?хмерное пространство с обычным расстоянием

d(x, y ) =

(x1 - y1 )2 + (x2 - y2 )2 + (x3 - y3 )2 .


sxpy eF МЕтрИчЕсКИЕ прострАнстВА

IS

Definition eFQ. Последовательность {xn } называется фундаменE тальнойD или последовательностью КошиD если она обладает свойE

ствомX @eFRA

m,n

lim d(xm , xn ) = 0.

Легко показать @попробуйте самиAD что любая сходящаяся последоE вательность является фундаментальнойF Обратное не всегда верноF НаE примерD если наше метрическое пространство ! это луч R>0 D состоящий из всех положительных чиселD с обычным расстоянием @eFIAD то послеE 1 довательность xn = n фундаментальнаD но не имеет пределаF
Definition eFR. Метрическое пространство (M , d) называется полE ным если каждая фундаментальная последовательность в н?м имеет

пределF

В нашей книге мы рассматриваемD как правилоD полные метрические пространстваF НапримерD пространства@eFIEQA полны согласно известной теореме анализаF eFS. Подмножество X в метрическом пространстве (M , d) называется замкнутым в M D если оно содержит все свои предельные точки @тоEестьD пределы последовательностей {xn } X F
Definition Exercise I. Пусть (M , d) ! полное метрическое пространство и X ! подмножество в M F Тогда (X, d) само является метрическим пространE ствомF ДокажитеD что это пространство полно тогда и только тогдаD когда X замкнуто в M F

Это ! просто упражнение на знание и понимание определенийF Сформулируйте аккуратноD что дано и что требуется доказатьD и вы получите доказательствоF
Hint.

ПредупреждениеF Если это упражнение кажется вам труднымD поE пробуйте ещ? раз и посоветуйтесь со своим преподавателемF Следующее определение и задача полезны во многих случаяхF
Definition eFT. ГоворятD что последовательность {xn } в метричеE ском пространстве (M , d) имеет конечную длинуD если ряд d(xn , xn+1 ) n=1 сходитсяF

P. ДокажитеD что аA каждая последовательность конечной длины фундаментальнаY бA каждая фундаментальная последовательность содержит подпоE следовательность конечной длиныF
Exercise

eFPF


IT

IF прЕДЕЛЕнИЕ И осноВныЕ сВоЙстВА

Definition eFU. Отображение f из метрического пространства (M , d) в себя называется сжимающимD если для некоторого числа (0, 1) выполнено неравенство

@eFSA

d f (x), f (y ) ћ d(x, y )

для всех x, y M .

Нам понадобится следующая
Theorem

ное метрическое пространство и себя. Тогда в отображения

@Теорема о сжимающих отображенияхA. Пусть M полf сжимающее отображение M в M существует единственная неподвижная точка для f , то-есть такая точка, что f (x) = x.

Доказательство этой теоремы очень коротко и поучительноF Кроме тогоD оно да?т простой метод для нахождения неподвижной точкиF ПоE этому мы привед?м доказательство здесьF
Доказательство. Пусть x0 ! произвольная точка из M F РассмотE рим последовательность {xn }n0 D определяемую индуктивно формулой xn = f (xn-1 ) для n 1F ОказываетсяD эта последовательность всегда сходитсяF А именноD мы покажемD что она является последовательностью КошиF В самом делеD пусть d(x0 , x1 ) = dF Тогда из eFS мы заключаемD что

d(x1 , x2 ) ћ d,

d(x2 , x3 ) 2 ћ d,

...

d(xn , xn+1 ) n ћ d.
n-1 k =m

ПоэтомуD для любых m < n мы имеем d(xm , xn ) ЗначитD lim d(xm , xn ) 0
m,n

k ћ d

m 1-

ћ dF

и фундаментальность {xn } доказанаF Поскольку M полноD наша последовательность Коши имеет пределD который мы обозначим x F ДалееD функция f D как всякое сжимающее отображениеD непрерывнаF Поэтому f (x ) = limn f (xn ) = limn xn+1 = x D тFеF x являE ется неподвижной точкойF НаконецD если бы существовали две неподвижные точки x и y D то было бы справедливо неравенство d(x, y ) = d f (x), f (y ) ћ d(x, y )F Но это возможно лишь при d(x, y ) = 0D следовательноD x = y . Доказанная теоремаD решаетD в частностиD следующую шуточную заE дачуD предлагавшуюся на некоторых математических олимпиадах для школьниковF
Problem I. Мальчик Петя вышел из своего дома и пош?л в школуF На полпути к школе он решил прогулять школу и пойти на катокF На полпути к каткуD он подумалD что лучше пойти в киноF ОднакоD на полE пути к кинотеатру он снова передумал и свернул к школеF Куда придет мальчик ПетяD если он будет продолжать двигаться таким образомc


sxpy eF МЕтрИчЕсКИЕ прострАнстВА

IU

Playground

Home School

Cinema
Рис. A.3.

Ленивый Петя

eFQF
Definition eFV. Метрическое пространство (M , d) называется комE пактным если каждая последовательность {xn } точек в M содержит

сходящуюся подпоследовательностьF
Definition

eFW. Подмножество S M называется Eсетью в M D если для любой точки m M найд?тся точка s S D для которой d(m, s) < F
Theorem

@Теорема об EсетиA.
-сеть.

Метрическое пространство

компактно тогда и только тогда, когда оно полно и для в

(M , d) каждого > 0

M

существует конечная

Q. ДокажитеD что подмножество X в RD в R2 или в R компактно тогда и только тогдаD когда оно замкнуто и ограниченоF
Exercise

3

Hint. Если подмножество X не замкнуто или не ограниченоD легE ко построить последовательность {xn } точек в X D которая не содержит сходящихся подпоследовательностейF Если X ограниченоD то оно содержится в какомEнибудь отрезке @квадE ратеD или кубеA размера R для достаточно большого RF Из теоремы об Eсети можно вывестиD что каждое замкнутое подмножество отрезE ка @квадратаD кубаA компактноF




IV

IF прЕДЕЛЕнИЕ И осноВныЕ сВоЙстВА

IFPF Самоподобные фракталы
Теперь мы можем ввести главное техническое средство для работы с фрактальными множествамиF Пусть M ! метрическое пространствоF Обозначим через K(M ) соE вокупность всех непустых компактных подмножеств в M F Мы хотим определить расстояние между двумя подмножествами так чтобы K(M ) было также метрическим пространствомF Для этого мы сначала опредеE лим расстояние d(x, Y ) между точкой x и компактным непустым мноE жеством Y XP @IFPFIA

d(x, Y ) := min d(x, y ).
y Y

Расстояние между двумя компактными непустыми множествами X и Y определяется формулой @IFPFPA

d(X, Y ) := max d(x, Y ) + max d(y , X ).
x X y Y

Более прямое определениеD не использующее промежуточных поняE тийD выглядит более громоздкоX @IFPFQA

d(X, Y ) := max min d(x, y ) + max min d(x, y )
x X y Y y Y x X

ОднакоD если подумать немногоD как определить расстояние между двумя подмножествами такD чтобы выполнялись аксиомы I ! QD вы увиE дитеD что @IFPFPAD или @IFPFQAD является простейшим выборомF На картинке IFR первое и второе слагаемые в @IFPFQA ! это длины отрезков ef и gh соответственноF R. ДокажитеD что минимум в @IFPFIA и максимум в @IFPFPA действительно достигаютсяF
Exercise Hint.

Используйте компактность X и Y F

Exercise S. Подсчитайте расстоянияX A между границей квадраE та со стороной I и его диагональюY A между единичной окружностью и единичным кругомD ограниченным этой окружностьюF Answer. Theorem

A

1+ 2 2

A IF

IFI.

Если метрическое пространство

M

полно (соотв.

компактно), то пространство

K(M )

тоже полно (соотв. компактно).

PЗнак := D который мы используем здесьD читается 4равно по определению4F Он означаетD что правая часть уравнения является определением левой частиF Аналогичный смысл имеет знак =: F


IFPF АМопоДоБныЕ фрАКтАЛы

IW

Рис. 1.4.

Хаусдорфово расстояние

rintF Пусть {Xn } ! последовательность компактных непустых подE множеств в M которая образует фундаментальную последовательность точек в K(M )F Рассмотрим совокупность X таких точек x M для которых существует последовательность {xn }D обладающая свойствамиX xn Xn и lim xn = xF n Докажите последовательноD что X непустоD компактно и является пределом последовательности {Xn } в K(M )F В доказательстве первого и третьего утверждений полезна задача P бAD а в доказательстве второго ! теорема об EсетиF ПредположимD что задано семейство сжимающих отображений {f1 , f2 , . . . , fk } из M в себяF Определим отображение F : K(M ) - K(M ) с помощью формулы
@IFPFRA
Theorem

F (X ) = f1 (X ) f2 (X ) ћ ћ ћ fk (X )
IFP.
Отображение

F
.

сжимающее. Следовательно, су-

ществует единственное непустое компактное множество обладающее свойством

XM

,

F (X ) = X

Definition IFIH. Множество X из теоремы P называется однородE ным самоподобным фрактальным множеством илиD корочеD саE моподобным фракталомF Семейство функций f1 , . . . , fk обычно наE зывают порождающей системой функций @пFсFфF для краткостиAD

определяющей фрактал X F

Иногда используется более общее определениеF А именноD вместо @IFPFRA зададим отображение F формулой @IFPFSA

F (X ) = f1 (X )

f2 (X )

ћћћ

fk (X )

Y


PH

IF прЕДЕЛЕнИЕ И осноВныЕ сВоЙстВА

где Y ! фиксированное компактное подмножество в M F Новое отобраE жение F будет также сжимающимF Это легко вывести из следующего факта
Exercise T. ПокажитеD что постоянное отображение fY D которое переводит любое множество X K(M ) в Y K(M )D является сжимаюE щимF

ЗначитD для любого X K(M ) последовательность {Xn }n1 D где

Xn := F n (X ) := F (F (ћ ћ ћ F (X0 ) ћ ћ ћ )
сходится в K(M ) и е? предел X преобразования F в K(M )F
Definition



является неподвижной точкой для

IFII. Множество X D определ?нное вышеD называется неоднородным самоподобным фракталомF Теперь пора от общих слов перейти к конкретным примерамF IF Канторово множество C [0, 1]F В этом случае M = [0, 1], f1 (x) = 1 x, f2 (x) = x+2 F ПоучительноD как множество C D которое является 3 3 неподвижной точкой для отображения F D приближается последовательE ностью множеств {Cn }D определ?нных рекуррентным соотношением Cn+1 = F (Cn )F Положим сначала C1 = [0, 1]Y тогда

C2 = [0, 1/3] [2/3, 1],

C3 = [0, 1/9] [2/9, 1/3] [2/3, 7/9] [8/9, 1]...

Последовательность {Cn } ! убывающаяX Cn+1 Cn и предельное мноE жество в этом случае ! это просто пересечение C = n1 Cn F @НапомнимD что пересечение любого семейства непустых компактных множеств комE пактно и непустоFA Теперь положим C1 = {0, 1}F Тогда

C2 = {0, 1/3, 2/3, 1},

C3 = {0, 1/9, 2/9, 1/3, 2/3, 7/9, 8/9, 1}, . . .

Последовательность {Cn } ! возрастающаяX Cn+1 Cn F В этом случае мы могли бы ожидатьD что предел !это объединение C := n1 Cn F ОднакоD это объединение не замкнутоD следовательноD не является точE кой K(M ) и не может быть пределом {Cn }F Но это легко поправитьX оказываетсяD что искомый предел является замыканием C F На этом примере хорошо видно основное свойство самоподобных фракталовX если мы рассматриваем кусок Канторова множества под микроскопомD увеличивающим в 3n разD мы видим в точности ту же картинуD что и невооруж?нным глазомF PF I EфракталF Пусть Y ! отрезок на плоскости R2 заданный услоE 1 виями x = 0, -1 y 1F Выберем вещественное число (0, 2 ) и определим отображения @IFPFTA

f1 (x, y ) = (-y , x + 1);

f2 (x, y ) = (-y , x - 1).


IFPF АМопоДоБныЕ фрАКтАЛы

PI

Неоднородный самоподобный фракталD определяемый этими отображеE ниями и подмножеством Y D показан на иллюстрации IFSF

Рис. 1.5.

I Eфрактал для = 0.5

Название этого фрактала происходит из тогоD что его первое приE ближение Y f1 (Y ) f2 (Y ) для малых выглядит как заглавная лаE тинская буква sF U. Вычислите A Диаметр D множества I как подмножества метрического проE странства R2 @тоEесть наибольшее возможное расстояние между точками I AF
Exercise

A Максимальную возможную длину L несамопересекающегося пути в I F
Answer.

A D = 2



1+2 1- 2

Y

A L =

2 1-

F

QF Ков?р Серпинского S F Пусть M = C ! комплексная плоскость с обычным расстоянием d(z1 , z2 ) = |z1 - z2 |F i Обозначим через := e 3 корень шестой степени из IF Определим

z z+ z+1 , f2 (z ) = , f3 (z ) = . 2 2 2 Definition IFIP. Самоподобный фракталD определ?нный с помощью {f1 , f2 , f3 }D называется ковром СерпинскогоF f1 (z ) =
Это ! один из двух главных примеровD изучаемых в нашей книгеF Есть три наиболее естественных выбора начального множестваD котоE рые мы обозначим соответственно S1 , S1 , S1 , F Как следует из общей теорииD предел аппроксимирующей последовательности не зависит от выбора начального множестваF Но сами последователь ности выглядят поEразномуF


PP

IF прЕДЕЛЕнИЕ И осноВныЕ сВоЙстВА

Сначала выберем в качестве начального множества сплошной треE угольник с вершинами 0, , 1D который мы обозначим S1 F Тогда послеE довательность Sn = F n-1 (S1 ) ! убывающая и ее пределом является пеE ресечение S = limn Sn = Sn D смF РисF IFTF

Рис. 1.6.

Приближение S

6

Следующий кандидат в начальное множество ! обычный @пустойA треугольник S0 с теми же вершинами 0, , 1F Тогда последовательность Sn = F n-1 (S1 ) ! возрастающая и е? пределом является замыкание S объединения S = n0 Sn F
Exercise V. Пусть Vn , En , Fn означают соответственно число верE шинD р?бер и пустых треугольников в Sn F Подсчитайте Vn , En , Fn D доE казав предварительно рекуррентные соотношения

V

n+1

= 3 V n - 3,

En+1 = 3En ,

Fn+1 = 3Fn + 1.

НаконецD примем в качестве начального множества S1 три точки 0, , 1F Тогда последовательность Sn = F n-1 (S1 ) ! возрастающая и соE стоит из конечных множествF В этом случаеD как и в предыдущемD предел S является замыканием объединения S = n0 Sn F ЗаметимD что поE следнее множество сч?тно и состоит из всех вершин во всех множествах S n , n 1F Мы будем называть аппроксимации {Sn }, {Sn } и {Sn } соответственE но PEмернымиD IEмерными и HEмернымиF Двумерные аппроксимации приE ближают наше множество сверхуD а одномерные и нульмерные ! снизуF

snfo fF Хаусдорфова мера и хаусдорфова размерность
Мы оцениваем размер кривой с помощью е? длиныD размер поверхE ности с помощью е? площадиD а размер тр?хмерного тела с помощью его объ?маF А как измерить величину фракталаc


sxpy fF АусДорфоВА МЕрА И хАусДорфоВА рАЗМЕрность

PQ

Рис. 1.7.

Приближение S

6

Рис. 1.8.

Приближение S

6

Решение этой проблемы было найдено в IWIS году немецким матемаE тиком ФFХаусдорфомF Он предложил для каждого вещественного числа p > 0 следующее определение pEмерной мерыF Пусть X ! компактное подмножество в Rn с обычным расстояниемF Тогда для каждого > 0 существует конечная Eсеть для X F Другими словамиD мы можем покрыть X конечным числом шаров радиуса F ОбоE значим через N ( ) наименьшее число шаров радиуса D которыми можно покрыть X F ЯсноD что N ( ) раст?т при уменьшении иD как правилоD стремится к бесконечностиD когда стремится к нулюF


PR

IF прЕДЕЛЕнИЕ И осноВныЕ сВоЙстВА

ВопросX какова скорость этого стремленияc ПредположимD что рост N ( ) имеет степенной характерD а именноD что существует предел @fFIA

c = lim N ( ) ћ
0

p

В этом случае мы пишем N ( ) = c ћ -p F Константа cD возникающая здесьD называется pEмерной мерой Хаусдорфа множества X и обознаE чается чp (X )F Мы не будем обсуждать здесь общее понятие мерыF Для наших целей достаточно знать что мера Хаусдорфа имеет следующие свойстваX IF МонотонностьX если X Y D то чp (X ) чp (Y ). PF ПолуаддитивностьX если X Yk D то k=1


@fFPA

чp (X )
k=1

чp (Yi ).

QF АддитивностьX если Xi , 1 i n, ! компактные множества и чp (Xi Xj ) = для i = j D то
n n

@fFQA

чp
i=1

X

i

=
i=1

чp (Xi ).

RF ОднородностьX если X Rn D то для любого R справедливо равенство @fFRA

чp ( ћ X ) = ||p ћ чp (X ).

Здесь ћ X означает множествоD полученное из X умножением всех его точек на F На самом делеD первое свойство является частным случаем второгоD но мы предпочли формулировать его отдельноD ввиду его простоты и важностиF Если pEмерная мера множества X конечнаD мы говоримD что X имеет хаусдорфову размерность pF Если эта мера положительнаD мы говоримD что X имеет хаусдорфову размерность pF W. ПокажитеD что если X имеет хаусдорфову размерность dD то предел @fFIA равен H для p > d и бесконечности для p < dF
Exercise Remark I. Имеется много вариантов определения pEмерной меры и соответствующей размерностиF НапримерD вместо шаров радиуса можE но использовать любые множества диаметра D илиD в случае M = Rn D nEмерные кубы со стороной F Можно также рассматривать покрытия X подмножествами Xk разE

p ных размеров k и вместо N ( ) исследовать величину p k kF Эти подходы могут на практике приводить к различным значениям pEмерной мерыD но для приличных множествD включая самоподобные


sxpy fF АусДорфоВА МЕрА И хАусДорфоВА рАЗМЕрность

PS

фракталыD дают эквивалентные определения хаусдорфовой размерноE стиF

Во многих случаях нелегко доказатьD что предел @fFIA существует и ещ? труднее вычислить этот пределF Но часто выполняется более слабое условиеD которое легче проверитьX
@fFSA

N ( ) = O (
тоEесть 0 < c ћ
-p

-p

),

N ( ) C ћ

-p

< для достаточно малого

В этом случае мы также будем считатьD что множество X имеет хаусдорE фову размерность pF Константы c и C в fFS дают нижнюю и верхнюю оценку для меры чp (X )D если эта мера определенаF
Exercise IH. ПокажитеD что хаусдорфова размерность множества X D ели она существуетD может быть задана формулой

@fFTA

dH (X ) = - lim

0

log N ( ) . log

Exercise II. ПокажитеD что хаусдорфова размерность отрезка веE щественной оси равна ID размерность квадрата на плоскости равна PD а размерность куба в пространстве равна QF

Таким образомD во всех этих случаях хаусдорфова размерность совE падает с обычнойFQ ПримерыF Вычислим хаусдорфову размерность самоподобных фракE таловD определ?нных вышеF Во всех этих случаях мы предположимD что не только хаусдорфова размерность существуетD но и соответствующая хаусдорфова мера определенаF Этот факт не очевиденD но настойчивый читатель может попытаться доказать его самостоятельноF После этого мы используем простое соображениеD которое проиллюE стрируем на примерахF IF Канторово множество C F ПредположимD что C имеет хаусдорфову размерность d и имеет конечную ненулевую dEмеру чd (C )F ДалееD C состоит из двух частейD подобных самому множеству C 1 с коэффициентом 3 F Из однородности dEмеры следуетD что каждая из этих частей имеет dEмеру 31d чd (C )F Теперь из аддитивности меры мы
QЧтобы читатель оценил это с виду простое замечание по достоинствуD я замечуD

что так называемая обычная размерность строго определяется только в специальE ных курсах топологии или @для очень специальных множествA в курсах линейной алгебрыF Так что подход Хаусдорфа полезен не только для изучения фракталовD но и в обычной математикеF


PT

IF прЕДЕЛЕнИЕ И осноВныЕ сВоЙстВА
1d 3

получаем уравнение 2 ћ

= 1D из которого следуетD что 3d = 2D или

log 2 0.63093.... log 3 ЗаметьтеD что в этом рассуждении точное значение хаусдорфовой меры не участвуетF Вы можете попытаться найти это значениеD но его геометE рическая интерпретация не так наглядна @и не так важнаAD как обычE ная длинаD площадь или объ?мD потому что нет естественного эталона dEмерного множестваD такогоD как единичный отрезокD квадрат или кубF PF sEфрактал I F Чтобы вычислить имеет хаусдорфову размерность I D мы используем ту же схемуF ПредположимD что для некоторого числа d мы имеем 0 < чd (I ) < F Напомним разложение d = log3 2 = I = f1 (I ) f2 (I ) Y.
Поскольку множества f1 (I ) и f2 (I ) подобны I с коэффициентом D мы приходим к уравнению чd (I ) = 2d чd (I ) + чd (Y )F ЗаметимD что 1 d 2D поскольку I содержит отрезок Y хаусдорE фовой размерности I и содержится в квадрате хаусдорфовой размерE ности PF Предположим сначалаD что d > 1F ТогдаD согласно задаче WD чd (Y ) = 0Y поэтому мы приходим к уравнению 2 ћ d = 1 и получаем @fFUA

log 2 1 =- 2 log Правая часть fFU удовлетворяет неравенству 1 d 2 в точности 1 когда [ 1 , 2 ] @срF определение I AF 2 d = log

Exercise IP. ДокажитеD что @fFUA да?т правильное значение хауE 1 1 сдорфовой размерности I D когда ( 2 , 2 )F

1 2

Мы оставляем читателю разобрать самостоятельно случаи = 1 , = 2 и [ 1 , 2 ]F /2 1


Глава P
Оператор Лапласа на ковре Серпинского

Мощным математическим методом изучения данного множества X является рассмотрение пространств функций на этом множествеF НапримерD если X ! конечное множествоD полезно ввести линейное пространство всех вещественных или комплексных функций на X Y если X ! топологическое пространствоD можно изучать пространство непреE рывных функций на X D если X ! область в Rn илиD более общоD гладE кое многообразиеD то уместно рассмотрение всех гладких функций на X Y если X ! многообразиеD на котором действует группа GD то особый интерес представляют функцииD которые инвариантны относительно G или преобразуются известным образомF Этот последний случай подробE но изучается в теории представленийF Если M ! гладкое многообразиеD то на нем часто определены естеE ственные дифференциальные операторы и тогда представляет интерес изучение собственных функций таких операторовF Результаты такого изучения широко используются в прикладных задачахF В последние полEстолетия возникло новое обширное математическое направлениеX так называемая спектральная геометрияF Главный объE ект этого направления ! изучение спектров естественных @тоEесть геоE метрически определ?нныхA дифференциальных операторовF Самой известной публикацией спектральной геометрии стала статья Марка Каца 4Можно ли услышать форму барабана4c Этот вопрос на строгий математический язык переводится такX
можно ли восстановить форму плоской области, если известен спектр оператора Лапласа на ней?

В последние QH лет спектральная геометрия включает в себя анализ на фрактальных множествахF Мы отсылаем читателя к прекрасным обE зорам trWWD eHH и оригинальным статьям trHHD wWSD mVR по поводу деталейF В этой книге мы только кратко коснемся этой теории и сосредоточимся на изучении гармонических функцийD тоEесть собственE ных функций оператора ЛапласаD отвечающих нулевому собственному значениюF

snfo gF Оператор Лапласа и гармонические функции gFIF В этом разделе мы предполагаем от читателя знакомство с элементами дифференциальной геометрии на римановых многообразиях
PU


PV

PF пЕрАтор ЛАпЛАсА нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

@достаточноD напримерD знание теории двумерных поверхностей в трехE мерном пространствеFA ФормальноD содержание этого раздела не испольE зуется в дальнейшемD но оно да?т мотивировку для изучения оператора Лапласа и гармонических функций на фракталахF Один из самых известныхD если не самый известныйD дифференциE альный оператор ! это оператор Лапласа на Rn D определ?нный форE мулой
n

@gFIA

f =
k=1

xk

2

f.

Замечательным свойством этого оператора является его инвариантE ность относительно группы En всех движений Rn FI ператор второго порядка с такими свойствами можно определить на любом римановом многообразии M F Пусть x1 , x2 , . . . , xn ! локальная система координат на M Y для краткости через k мы обозначим оператор взятия частной производнойP по переменной xk F xk Касательный вектор к многообразию M в какойEнибудь точке x M D покрываемой выбранной системой координатD имеет вид
n

@gFPA
k

v=
k=1

v k k

где {v } ! координаты вектор v F Векторное поле в областиD покрываемой системойD имеет тот же вид @gFPAD но теперь {vk } уже не числаD а функции от координат x1 , x2 , . . . , xn точки xF Пусть g = gi,j (x) ! координаты метрического тензора на M D образуE ющие вещественную симметрическую положительно определ?нную матE рицу порядка n = dim M F Длина касательного вектор v = {v k } в точке x0 M с координатами x1 , x2 , . . . , xn определяется формулой 0 0 0

|v |2 =
i,j

gi,j (x0 )v i v j .

Как известноD это выражение да?т одно и то же значение для |v | при любом выборе локальной системы координатF Рассмотрим теперь матрицуD обратную к ||gi,j || и обозначим е? ||g i,j ||F Геометрический смысл этой матрицы ! это квадратичная форма в так называемом кокасательном пространствеD двойственном к касательE ному пространствуF Можно также интерпретировать ||g i,j || как матрицу
отраженияF PПо традицииD в дифференциальной геометрии координаты обычно снабжаются верхнимиD а дифференцирования ! нижними индексамиF Подробнее о томD почему это удобно и важноD будет сказано нижеF
IИ даже относительно группы всех изометрий Rn D включающей движения и


sxpy gF пЕрАтор ЛАпЛАсА И ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ

PW

симметричногоQ линейного оператора g из кокасательного в касательное пространствоF Дифференциал гладкой функции f на M является гладким ковекE торным полемF В каждой локальной системе координат он имеет вид
n

@gFQA

df (x) =
k=1

k f dxk .

Используя оператор g мы можем поднять индекс4и преобразовать коE векторное поле df в векторное поле v с координатами
n

@gFRA

v k (x) :=
j =1

g

k,j

(x) (j f ) (x)

Это векторное поле называется градиентом функции f и обозначается grad f F Таким образомD
n n

grad f =
k=1

(grad f )k k =
j =1

g

k,j

j f k .

С другой стороныD на пространстве векторных полей на римановом мноE гообразии M определена естественная операция дивергенцияD которая ставит в соответствие векторному полю v функцию div v F Эта операция выглядит особенно простоD если выбрать локальную систему координат такD что det ||gi,j (x)|| 1 @такие системы называют унимодулярныE миY известноD что любую систему можно сделать унимодулярнойD измеE нив одну координатуFA В унимодулярной системе координат дивергенция определяется формулой @gFSA

div v =
k

k v k .

НаконецD мы формулируем главное в этом разделе
Definition gFI. Оператор ЛапласаEБельтрами на римановом многообразии M зада?тся формулойX

@gFTA

f = div grad f .

В каждой точке многообразия оператор ЛапласаEБельтрами может быть записан в простейшем виде gFI за сч?т выбора подходящей локальE ной системы координатF ОднакоD такое выражение в целой окрестности данной точкиD вообще говоряD невозможноF Препятствием служит криE визна метрики на M F
QТоEесть совпадающего со своим двойственнымY для понимания этого утверждеE

ния освежите свои знания линейной алгебрыD или просто читайте дальшеF


QH

PF пЕрАтор ЛАпЛАсА нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Существует другоеD более геометрическое определение оператора ЛапласаE БельтрамиF Рассмотрим Eокрестность U (x0 ) точки x0 F Интеграл функE ции f по этой окрестности при 0 допускает следующее асимптотиE ческое выражение @gFUA
U ( x0 ) где n ! размерность многообразияD an = (1+ n ) ! объ?м единичного шара 2 n в Rn D а bn = n+2 an F Таким образомD мы можем определить значение ( f )(x0 ) как предел
n/2

f (x)dn x = an

n

ћ f (x0 ) + b

n

n+2

ћ ( f )(x0 ) + o(

n+2

)

@gFVA

( f )(x0 ) = lim

1
U ( x0 )

0 bn n+2

f (x) - f (x0 ) dn x

который заведомо существует для любой функции с непрерывными втоE рыми частными производнымиF
Definition gFP. Функция f на римановом многообразииD удовлетвоE ряющая уравнению f = 0 называется гармоническойF

ИзвестноD что на каждом римановом многообразии постоянной криE визны @напримерD на евклидовом пространстве Rn D на сфере S n или на пространстве Лобачевского H n A гармонические функции характеризуE ются свойствомX

1 v ol(U (x0 ))

f (x)dn x = f (x0 ),
U ( x0 )

тоEестьD среднее по любой сферической окрестности равно значению в центреF Это свойство имеет очень важное следствиеF
Theorem

gFI @Принцип максимумаA.

Предположим, что

M

связ-

ное риманово многообразие с границей. Тогда любая непостоянная гармоническая функция на границе

M

может достигать максимума только на

M

.

Известно такжеD что если M компактноD имеет гладкую границу M и ! любая непрерывная функция на M D то существует единственная гармоническая функция f на M D для которой f | M = F Более тогоD для каждой точки m M существует вероятностная мера чm на M такаяD что f (m) = M (x)dч(x)F Эта мера называется мерой Пуассона и зада?тся гладкой плотностью на многообразии M F Имеется красивая и простая физическая интерпретация гармоничеE ских функций @как равновесных распределений теплаA и вероятностная интерпретация меры Пуассона чm (A) @как вероятности выхода на граE ницу в данной области A M при случайном блуждании по M с начальной точкой m M F


sxpy gF пЕрАтор ЛАпЛАсА И ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ

QI

gFPF Возможен чисто алгебраический подход к определения операE тора ЛапласаF ПредположимD что на вещественном линейном пространстве V задаE ны две квадратичные формы Q0 и Q1 F Предположим такжеD что Q0 поE ложительнаX Q0 (v ) > 0 для всех v = 0D а Q1 ! неотрицательнаX Q0 (v ) 0 F Тогда мы можем ввести в V скалярное произведение
@gFWA

(v1 , v2 ) :=

Q0 (v1 + v2 ) - Q0 (v1 ) - Q0 (v2 ) 2

Если V бесконечномерноD мы предположим дополнительноD что оно полE но относительно нормы ||v ||2 := (v , v ) = Q0 (v )F Таким образомD V ! веE щественное гильбертово пространствоF На самом делеD условие полноты легко выполнитьX достаточно заменить V его пополнением V относиE тельно введенной нормыF Другая квадратичная форма Q1 определена только на плотном подE пространстве V V F Из теории операторов в гильбертовых пространE ствах мы знаемD что в рассматриваемом случае справедливо
Proposition

gFI.

Существует симметричный неотрицательный

оператор

A

в

V

, такой что для всех

Q1 (v ) = (Av , v )
Remark

v Dom(A) V1 .

P. Иногда A называют отношением квадратичных форм Q1 и Q0 F В самом делеD любая квадратичная форма Q определяет симметE ричную билинейную форму BQ : V Ч V V по формулеX @gFIHA

BQ (v1 , v2 ) :=

Q(v1 + v2 ) - Q(v1 ) - Q(v2 ) 2

Всякая билинейная форма B D в свою очередьD может рассматриватьE ся как отображение B : V V F А именноD вектору v V ставится в соответствие линейный функционал f V по формуле @gFIIA

f (w) = Q(v , w).

Таким образомD из двух квадратичных форм мы получаем два лиE нейных оператора из V в V X BQ0 и BQ1 Мы предоставляем читателю убедитьсяD что рассматриваемый опеE -1 ратор A можно записать как отношение A = BQ0 BQ1 F

В случаеD когда V конечномерноD мы можем применить стандартную теорему анализа об условном экстремуме к задаче отыскания экстреE мумов формы Q1 на множествеD определяемом условием Q0 (v ) = 1F В качестве результата мы получаем


QP

PF пЕрАтор ЛАпЛАсА нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо
Corollary. Собственные значения и собственные векторы опера-

тора

A

являются в точности критическими значениями и критиче-

скими точками функции

Q1 (v )

на сфере

R

Q0 (v ) = 1

.

В случае бесконечномерного V аналогичный результат также имеет место при дополнительном ограниченииX сфера Q0 (v ) = 1 компактна в топологииD определяемой формой Q1 F

gFQF Применим общую схемуD описанную вышеD в следующей ситуаE цииF Пусть M ! гладкое компактное риманово многообразие с границейF Возьм?м в качестве V пространство гладких функции на M D удовлетвоE ряющих некоторому граничному условию ! смF нижеF На V имеются две квадратичные формыX
@gFIPA

Q0 (v ) =
M

v 2 (m) dm

и

Q1 (v ) =
M

|grad v |2 dm

где мера m на M и скалярный квадрат |grad v |2 определяются метричеE ским тензоромF Согласно общей схемеD существует оператор A на V = L2 (M , dm) такойD что @gFIQA
M

(grad v1 , grad v2 )dm =
M

Av1 (m) ћ v2 (m) dm.

С другой стороныD прямое вычисление с помощью формулы Стокса да?т для интеграла в левой части выражение @gFIRA
M

v1 v2 dn -
M

v1 (m) ћ v2 (m) dm

где ! производная в направлении внутренней нормали к границеD а dn ! мера на границе M D рассматриваемой как риманово многообразие с метрическим тензоромD наследуемым от M F ПредположимD что граничные условия выбраны такD что интеграл по -1 границе обращается в нульF Тогда оператор A = BQ0 BQ1 совпадает с оператором -F Два частных случая этой ситуации хорошо известныX задача ДиE рихле когда граничное условие имеет вид @gFISA @gFITA

v v

M

=0 =0

и задача Неймана с граничным условием
M

В обоих случаях интеграл по границе обращается в нуль и оператор - является неотрицательным самосопряж?нным оператором в L2 (M , dm)F
оператора A ! это в точности критические значения и критические точки функции Q(v ) := Q1 (v) на V \{0}. Q0 (v )
RЭквивалентная формулировкаX Собственные значения и собственные векторы


PFIF пЕрАтор ЛАпЛАсА нА S

N

QQ

Область определения Dom() состоит из непрерывно дифференцируеE мых функций v на M D удовлетворяющих граничному условию и такихD что v L2 (M , dm) в смысле обобщ?нных функцийF Описанная здесь связь оператора с вариационными задачами даE ?т замечательное физическое истолкование собственных значений и собE ственных функций оператора ЛапласаEБельтрамиF А именноD многообE разие M рассматривается как упругая мембрана в Rn+1 F Собственные значения определяют частоту малых колебаний этой мембраныD а собE ственные функции ! форму этих колебанийF ВопросX каким может быть спектр оператора Лапласа-Бельтрами на компактном гладком римановом многообразии? является одним из основных в спектральной геометрииF Поскольку фракталы играют вс? б? oльшую рoль в современных исследованияхD в последние годы стало популярным изучение аналогов оператора ЛапласаEБельтрами на фракE талах Мы отсылаем читателя к обзорам eHHD trWW и оригинальным статьямD которые там указаныF

PFIF Оператор Лапласа на SN
В первоначальном варианте этой книги я попытался привести точE ное определение оператор Лапласа на Sn и S D а также описать подробE но их спектрF Потом я обнаружилD что эта программа уже реализоваE на независимо несколькими физиками и математиками @смFD напримерD mVRD pWPD vwrgWUAF По этой причине я решил не повторять ещ? раз одни и те же результатыD а сосредоточиться на другихD менее известных задачахF Таким образомD здесь я ограничиваюсь кратким описанием доE вольно интересной техникиD используемой при изучении спектраF Чтобы определить аналог оператора ЛапласаEБельтрами на ковре Серпинского S D мы рассмотрим сначала его конечное приближение SN F Попробуем следовать описанной выше схемеF Пусть Sn означает nEое нульмерное приближение к S F Обозначим через Vn линейное пространE n +3 ство всех вещественных функций на Sn F Поскольку Sn состоит из 3 2 n +3 точекD размерность Vn равна dn = 3 2 F Определим на Vn две квадратичные формыX @PFIFIA

Q0 (v ) =
sS
n

v (s)2 ;

Q1 (v ) =
s s

(v (s ) - v (s )

2

где первая сумма распространяется на все точки Sn D а вторая ! на все пары соседних точекF ЯсноD что эти квадратичные формы являются прямыми аналогами формD определ?нных в @gPAD Инфо СF Как и в случае обычного операE тора ЛапласаD мы используем форму Q0 для определения скалярного произведения в Vn X (f1 , f2 ) = f1 (s)f2 (s).
sS
n


QR

PF пЕрАтор ЛАпЛАсА нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Тогда вторая форма может быть записана как @PFIFPA

Q1 (f ) = (n f , f ) где

n f (s) = k (s)f (s) -
s s

f (s ).

Здесь k (s) означает внутренних точек и граница Sn в этом приближение S1 F Введ?м два типа @PFIFQA

число точекD соседних с sD тоEестьD k (s) = 4 для k (s) = 2 для точек границыF Стоит отметитьD что случае состоит из тр?х точекD образующих первое граничных условийF

Условие Дирихле да?тся формулой
f (s) = 0 для s Sn .

Пространство функцийD удовлетворяющих этому условиюD обозначается n- (D ) (D ) Vn F Его размерность равна dn - 3 = 3 2 3 F Оператор n действует в

V

(D ) n

по формуле

@PFIFRA



(D ) n

f (s) = 4f (s) -
s s

f (s ), s Sn \ Sn .

Условие Неймана да?тся формулой
@PFIFSA

2f (s) = f (s ) + f (s ),

s Sn ,

s, s

-

соседи s.

Пространство функцийD удовлетворяющих условию НейманаD обозначаE n- (N ) (N ) ется Vn F Его размерность также равна dn - 3 = 3 2 3 F Оператор n действует в Vn по той же формуле @PFIFRAF (D ) (N ) Оба оператора n и n самосопряжены и их спектры хорошо известны @смFD напримерD pWPAF Чтобы дать читателю представление об этих результатахD мы расE смотрим более подробно случай n = 2F (D ) Пусть сначала V = V2 F Это ! QEмерное пространство функций на S2 D значения которых показаны на РисF PFIF
(N )

0

x

y

0
Рис. 2.1.

z

0

Функции на S2 с условием Дирихле


PFIF пЕрАтор ЛАпЛАсА нА S
(D )

N

QS

Оператор 2 переводит тройку значений (x, y , z ) в новую тройку (4x - y - z , 4y - x - z , 4z - x - y )F Относительно естественного базиса этот оператор имеет матрицу матрицы легко сосчитать используя следующий полезный фактF
Lemma

4 -1 -1 -1 4 -1 -1 -1 4

F Собственные значения этой

PFI.

Пусть матрица

A

размера

nЧn

имеет элементы

aij =
Тогда спектр

a b

если если

i=j i = j. a-b a + (n - 1)b.
с кратностью

A

состоит из собственного значения

n-1

и ещ? одного собственного значения

В нашем случае мы получаем двукратное собственное значение S и простое собственное значение PF Двумерное собственное подпространE ство состоит из векторов (x, y , z ) с x + y + z = 0D а простое собственное подпространство ! из векторов (x, y , z ) с x = y = z F Это значитD что соответствующая мембрана @с закрепл?нной граниE цейA имеет две частоты колебаний с отношением Пусть теперь V = V показаны на РисF PFP
(N ) 2 5 2

1.581F

F Значения функции из этого пространства
x+y 2

x

y

x+z 2
Рис. 2.2.

z

y +z 2

Функции на S2 с граничным условием Неймана
(N )

Я оставляю читателю проверку тогоD что 2 переводит тройку 3 (x, y , z ) в тройку 3x - 3 (y + z ), 3y - 2 (y + z ), 3z - 3 (y + z ) F Поэтому матE 2 2 рица оператора имеет вид
3 -3 -3 2 2 -3 3 -3 2 2 -3 -3 3 2 2

F Спектр состоит из двукратного

1 собственного значения 4 2 и простого собственного значения HF


QT

PF пЕрАтор ЛАпЛАсА нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Это значитD что мембрана с незакрепл?нной границей имеет одну частоту колебаний @несколько нижеD чем более высокая частота в первом случаеA и одно равновесное состояние x = y = z F

PFPF Сравнение спектров n и

n-1

ВычисленияD которые мы проделываем в этом разделеD довольно скучE ны и громоздкиD но они необходимы для получения в дальнейшем глуE боких и красивых результатов о спектре оператора ЛапласаF Обозначим через Vn пространство функций на Sn D удовлетворяющих условию @PFPFIA

(4 - )f (s) =
ss

f (s )

во всех внутренних точках s Sn F () Выберем функцию f Vn и предположимD что е? значение в некоE торой точке s Sn-1 равно x = 0F Рассмотрим подробнее часть Sn D окружающую точку sF На прилагаемом рисунке надписаны значения f в точке s и в близких точкахF ЗначенияD не используемые в наших выE численияхD помечены знаком 9 c9F ? ? ? y ? z u q r v b p x s c
Поскольку f Vn D мы имеем систему уравнений

(4 - )x = p + q + r + s;
@PFPFPA

(4 - )u = b + y + p + q ; (4 - )p = b + u + q + x; (4 - )r = z + v + s + x;

(4 - )v = c + z + r + s; (4 - )q = y + u + p + x; (4 - )s = c + v + r + x

Сложив последние R равенстваD мы получаем @PFPFQA (4 - )(p + q + r + s) = (p + q + r + s) + (b + y + z + c) + 2(u + v ) + 4x а сложив два предыдущихD получаем @PFPFRA

(4 - )(u + v ) = (p + q + r + s) + (b + y + z + c).

Из @PFPFQAD @PFPFRA Мы можем выразить (p + q + r + s) и (u + v ) через (b + y + z + c) и xF Тогда первое уравнение @PFPFPA да?т @PFPFSA

( - 6)(b + y + z + c) = ( - 6)(4 - )(1 - )x.

Мы приходим к альтернативеX или = 6D или ограничение функции f на ч Sn-1 принадлежит подпространству Vn-1 D где ч находится из равенства @PFPFTA

4 - ч = (4 - )(1 - ),

или

ч = (5 - ).


PFQF пЕКтр опЕрАтор ЛАпЛАсА нА S

n

QU

Первым важным следствием этой альтернативы является
Theorem

ничение на

PFP. Sn-1

Если

f

гармоническая функция на

Sn

, то е? огра-

тоже гармоническая функция.

В самом делеD для гармонических функций = 0D следовательноD ч = (5 - ) также равно нулюFF Этот факт приводит к естественному определению гармонических функций на S F
Definition PFQ. Функция на S называется гармоническойD если таково е? ограничение на каждое подмножество Sn S F

PFQF Спектр оператор Лапласа на S

n (D )

Здесь мы рассмотрим кратко природу спектров операторов n D имея в виду построение оператора Лапласа (D) на S F СначалаD исследуем динамику преобразования комплексной плоскоE стиD заданного квадратным многочленом P () = (5 - )F Для каждого вещественного числа ч мы назов?м чEорбитой любую последовательE ность чk , k = 0, 1, 2...D для которой ч0 = чD а остальные члены связаны соотношениямиX P (чk ) = чk-1 для k 1. ч Если мы хотим продолжить ненулевую функцию f Vn n на Sn+1 чn+1 такDчтобы продолженная функция принадлежала Vn+1 D то из @PFPFTA мы видимD что это возможно лишь если чn и чn+1 лежат на одной чEорбитеF ОбратноD для любой чEорбиты {чk } мы можем построить функцию f на S такуюD что е? ограничение на Sn @которое может тождественно ч обращаться в нуль3AD принадлежало Vn n для всех nF Если мы хотим теперь продолжить построенную таким образом функE цию f с S до непрерывной функции на S D мы должны убедитьсяD что f равномерно непрерывна на S F В случаеD когда это такD мы называем продолженную функцию f собственной функцией оператора Лапласа на вс?м S F Соответствующее собственное значение является пределом ренормализованной подходящим образом последовательности {чn }F В этой книге мы рассматриваем только очень частный случай чn = 0 @тоEестьD гармонические функции на S AF Зато мы делаем это подробно используя весь математический аппаратX геометриюD анализD арифметиE ку и теорию вероятностейF



Глава Q
Гармонические функции на ковре Серпинского

В этой главе мы изучим подробнее гармонические функции на ковре СерпинскогоF ЗаметимD что гармонические функции удовлетворяющие условию ДирихлеD обращаются в нульD а гармонические функции удовлеE творяющие условию НейманаD должны быть константыF Поэтому здесь мы рассматриваем гармонические функцииD на которые не налагается никаких граничных условийF НапомнимD что граничными точками ковра S являются три точки i 0, 1, = 1+2 3 F Отрезок [0, 1] вещественной оси принадлежит S и мы можем рассматривать ограничения гармонических функций на этот отE резок как обычные вещественные функции на [0, 1]F ОказываетсяD что эти функции имеют весьма нетривиальные аналитические и арифметиE ческие свойстваF

QFIF Основные свойства гармонических функций
Начн?м с рассмотрения гармонических функций на подмножествах Sn и S F Мы видели вышеD что каждая гармоническая функция на Sn продолжается единственным образом до гармонической функции на S и удовлетворяет принципу максимума на каждой треугольной части ковE ра СерпинскогоD подобной самому ковруF
Lemma QFI. Множество H(S ) всех гармонических функций на S является 3-мерным векторным пространством (вещественным или ком-

плексным в зависимости от вида рассматриваемых функций). Естественными тремя координатами функции ются е? значения в тр?х граничных точках.

f H(S )

явля-

Из линейной алгебры мы знаемD что если одноE родная система N линейных уравнений с N неизвестными имеет только тривиальное решениеD то соответствующая неоднородная система разE решима при любой правой части и имеет единственное решениеF В наE m+1 шем случае условие гармоничности функции f на Sm ! это N = 3 2 -3 линейных уравнений @по одному для каждой внутренней точкиA с N неизвестными @значениями f во внутренних точкахAF Из принципа макE симума следуетD что однородная система имеет только нулевое решениеD поэтому для любых граничных значений существует единственная гарE моническая функция на Sm с такими граничными значениямиF
Доказательство.

QW


RH

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Нам понадобится также следующее простое наблюдение
Рис. 3.1.

Отношение IXPXP

три соседние точки на Sm , образующие y +z x+ y x+ z правильный треугольник. Положим = 2 , = 2 , = 2 . Тогда , , также образуют правильный треугольник и являются соседниLemma

QFP.

Пусть

x, y , z

ми точками на

f

на

Sm+1

Sm+1 (см. Рис. 3.1). Для любой гармонической функции мы имеем

2f (x) + f (y ) + 2f (z ) f (x) + 2f (y ) + 2f (z ) , f ( ) = , 5 5 @QFIFIA 2f (z ) + 2f (y ) + f (x) f ( ) = . 5 Неформальный смысл этого результатаX соседняя точка оказывает вдвое большее влияниеD чем противоположнаяF Теперь мы можем доказать следующий важный фактF f () =
Theorem

QFI.

Каждая гармоническая функция на

S

равномер-

но непрерывна, следовательно, имеет единственное продолжение по непрерывности на

S

.

Доказательство.

на S

c Обозначим через fab гармоническую функцию с граничными значениями

f (0) = a,

f (1) = b,

f ( ) = c.

Назов?м вариацией функции f на множестве X величину vrX f = sup |f (x) - f (y )|.
x,y X

Из принципа максимума мы заключаемD что
c vrS fab = max {|a - b|, |b - c|, |c - a|}.

Из QFP с помощью индукции по n легко выводитсяD что для любых соседних точек x, y из Sn мы имеемX
c |fab

(x) -

c fab

(y )| vr f ћ

3 5

n

const ћ d(x, y ) ,

= log

2

5 . 3

c ЗначитD функция fab принадлежит классу Г?льдера H F СледовательноD она равномерно непрерывна и продолжается по непрерывности на S F Мы c сохраним то же обозначение fab для продолженной функцииF

Теперь мы обсудим вопросX что значит вычислить гармоническую функциюc Для этого нужно какимEто образом параметризовать точки ковра СерпинскогоF Пример канторова множества подсказывает естеE ственный способ нумерации точек S бесконечными троичными дробямиF


QFPF БАЗИсныЕ фунКцИИ , , ,

RI

А именноD пусть x S Y тогда соответствующая дробь строится таким обE разомF Первый знак этой дроби ! HD I или PD указывает в какой трети ковра находится точка x ! в левойD правой или верхнейF Затем эта треть делится опять на три части и следующий знак дроби указывает в какой из них лежит точка x и тF дF ОбратноD если задана бесконечная троичная дробьD мы можем последовательно выбрать одну из тр?х частей S сообE разно с первым знаком дробиD затем третью часть этой трети сообразно со вторым знаком и тF дF Мы получим последовательность вложенных компактных подмножеств S D которые имеют единственную общую точE куF Она и соответствует данной троичной дробиF На самом делеD построенное соответствие не будет взаимноEоднозначнымF В то время как бесконечная троичная дробь определяет точку x S однозначноD обратное соответствие нарушает это свойствоD когда наша точка является вершиной одного из треугольников в S F В этом слуE чае мы имеем выборX какому из двух треугольников с данной вершиной отнести нашу точкуF IQ. ПокажитеD что две троичные дробиD соответствующие одной точке S D получаются друг из друга заменой 4хвоста4вида xy y y y ... на 4хвост4вида y xxxx...F
Exercise Exercise IR. ПокажитеD что точка xD соответствующая дроби 0.a1 a2 a3 ...D вычисляется по формуле 0 если ak = 0 bk , где bk = 1 если ak = 1 x= 2k k=1 если ak = 2

Отметим специальный случайD когда троичная дробь содержит тольE ко цифры H и IF Тогда соответствующая точка x лежит на отрезке [0, 1] и наша троичная дробь фактически является двоичной и совпадает с двоичным представлением xF

QFPF Базисные функции , , ,
c Обозначим uc ограничение гармонической функции fab на отрезок ab [0, 1]D который составляет горизонтальную сторону S F Следующие соотношения довольно очевидны и выводятся из дейE ствия группы перестановок S3 на S и на H(S )X

@QFPFIA

uc (t) = uc (1 - t); ab ba

uc (t) + ua (t) + ub (t) a + b + c. ca ab bc

Отсюда следуетD что значения любой гармонической функции в люE бой точке Sm легко находитсяD если известна единственная функция := u0 на [0, 1]F 01
Exercise

IS. Выведите из QFPFID что

@QFPFPA

uc (t) = c + (b - c)(t) + (a - c)(1 - t). ab


RP

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Поэтому важно получить как можно больше информации о природе функции F ОднакоD как мы вскоре увидимD удобнее ввести наряду с три других функцииX

(t) := u
@QFPFQA

(t) := (t) :=

-1 01 (t) = -1 u1 (t) = 1 - 01 2 u01 (t) = 2 -

+ 2(t) + (1 - t), (1 - t), (t) - 2(1 - t).

Мы будем называть эти функции базиснымиF ПричинаD по котоE рой вводится четыре функции вместо однойD заключается в следующемF Пусть H означает пространство всех вещественных функций на отрезE ке [0, 1]D состоящее из ограничений гармонических функций на S F Оно имеет размерность QY в качестве базиса можно взять константу и любые две функции из четв?рки , , , F Рассмотрим три отображения отE t резка [0, 1] в себяX 0 (t) = 2 D 1 (t) = 1+t и (t) = 1 - tF Они порождают 2 линейные операторы в пространстве C ([0, 1]) непрерывных функций на отрезкеX @QFPFRA t 1+t A0 f (t) = f , A1 f (t) = f и T f (t) = f (1 - t) . 2 2 ОказываетсяD все три оператора A0 D A1 и T переводят в себя QEмерное подпространство H C ([0, 1])F Более тогоD операторы A0 и A1 имеют в H одинаковый спектрD состоящий из тр?х собственных значенийX 1, 3 , 1 F 55 Соответствующими собственными функциями являются 1, , для A0 и 1, 1 - , 1 - для A1 F Другими словамиD если мы введем векторEфункции (x) (x) @QFPFSA f (x) = (x) и g (x) = (x) , 1 1 то справедливы равенства @QFPFTA где @QFPFUA

f

t 2

= A0 f (t),

g

1+t 2

= A1 g (t),

f (1 - t) = T g (t)

3/5 0 0 A0 = 0 1/5 0 , 0 01

3/5 0 2/5 A1 = 0 1/5 4/5 , 0 0 1



-1 0 1 T = 0 -1 1 . 0 01



Exercise IT. С помощью равенств @QFPFTAD @QFPFUAD заполните пустые места в таблице значений базисных функций , , , в точках k /8, k = 0, 1, . . . , 7, 8F


QFPF БАЗИсныЕ фунКцИИ , , ,

RQ
3 4 7 8

Функция\Аргумент 0

1 8 1 125

1 4 1 25

3 8

1 2 1 5 2 5

5 8

1 1



0 0 0 0

98 125 24 25

1 1 1

27 125

9 25

3 5 4 5

Из @QFPFTA мы выведем несколько удивительных свойств введенных выше функцийF НапримерD мы исследуем поведение этих функций в окрестности любой двоичноEрациональной точки r = 2k F n
Lemma

растают от

QFQ. 0

Все четыре функции до

, ,

и



строго монотонно воз-

1

на отрезке

[0, 1].

Поскольку (t) = (t)+2(t) D а (t) = 2(t)+(t) D 3 3 достаточно проверитьD что (t) и (t) строго монотонно возрастаютF Пусть 0 t < s 1. Мы должны показатьD что (t) < (s) и (t) < (s)F ВвеE (t) д?м векторEфункцию h(t) := (t)F 1 Из @QFPFTA вытекают следующие правила преобразования hX
Доказательство.

@QFPFVA где @QFPFWA

h

t 2

= B0 h(t);

h

1+t 2

= B1 h(t)

3/5 1/5 0 B0 = 0 1/5 0 ; 0 01

1/5 0 4/5 B1 = 1/5 3/5 1/5 . 0 0 1



Рассмотрим двоичную запись чисел t и sX

t = 0.t1 t2 . . . tk . . . ,

s = 0.s1 s2 . . . sk . . . .

Мы можем предположитьD что для некоторого m справедливы соотноE шенияX ti = si для i < m, tm = 0, sm = 1F Применяя несколько раз @QFPFVAD получаемX

h(t) = Bt1 ћ ћ ћ Btk-1 A0 f (z ),

h(s) = Bt1 ћ ћ ћ Btk-1 B1 f (w)

для некоторых z [0, 1), w (0, 1]F Поскольку матрица Bi имеет неотрицательные коэффициентыD достаточно проверитьD что B1 h(w) > B0 f (z )F @Здесь мы придерживаемся соглашенияX a > bD если первые две координаты вектора a большеD чем соответствующие координаты вектоE ра bFA


RR

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

1/5 0 4/5 (t) 0.8 B1 h(w) = 1/5 3/5 1/5 (t) > 0.2 0 0 1 1 1 в то времяD как 0.8 3/5 1/5 0 (z ) B0 f (z ) = 0 1/5 0 (z ) < 0.2 . 0 01 1 1
QFP.

Но



Theorem

Для всех

x [0, 1]

имеют место равенства

A
@QFPFIHA

-1

x (x) Ax , B 5 5 = log2 , где A = , 3 3

-1

x (x) B x B = 5, = log2 5.
1 2

Поскольку 3 (x) 1 для 5 заключаем из первого равенстваD что
Доказательство.

x 1D мы 1 . 2n

3 5

n+1

(x)

3 5

n

для

1 2
n+1

x

Для данного значения мы также имеем

3 5

n+1

x

3 5

n

для

1 2
n+1

x

1 . 2n

Отсюда следует первое утверждение теоремыF Второе доказывается тем же образомF В качестве следствия теоремы QD мы получаем Следствие Если u ! одна из четыр?х базисных функций , , , и если r = 2k ! любое двоичноEрациональное число из отрезка [0, 1]D то n @QFPFIIA

u (r) = +,

за исключением ровно двух случаевX (0) = (1) = 0 @смF РисFQFPAF Довольно трудно представить себе @и ещ? труднее нарисоватьA граE фик функцииD которая во всех двоичноEрациональных точках имеет бесE конечную производнуюF С другой стороныD из теории функций известноD что любая монотонE ная функция на отрезке [0, 1] имеет почти всюду конечную производнуюF Как недавно показала студентка второго курса Университета ПеннсильE 1 вании Талия ШамашD справедливо равенство ( 3 ) = 0F ВозможноD е? метод подсч?та работает для всех рациональных точекF
Problem P. Вычислить производную u (t) во всех случаяхD когда это можно сделать @напримерD во всех рациональных точкахAF


QFQF ПроДоЛЖЕнИЕ И ВычИсЛЕнИЕ фунКцИЙ (t) И (t)

RS

1

0.8



0.6

0.4



0.2

0 0
Рис. 3.2.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Базисные функции , , , F c3 Фактически есть только , c3

Следующее интересное свойство функций u(t) ! это тоD что можно явно вычислить интеграл от этих функций по отрезку [0, 1]F
Lemma

QFR.
1

@QFPFIPA
0

u

c a,b

(t)dt =

3a + 3b + c . 7

Я оставляю доказательство читателю в качестве нетривиального упражE нения на понимание природы гармонических функций @в частностиD соE отношений @QFPFTAD @QFPFUAAF

QFQF Продолжение и вычисление функций (t) и (t)
Существует метод быстрого подсч?та значений функции (t) в двоичноE рациональных точкахF Он основан на соотношенияхX @QFQFIA

(2t) = 5(t),



1+t 2

+

1-t 2

=

2 + 3(t) , 5

которые следуют из @QFPFTAD @QFPFUAF Ещ? более простой вывод этих соотE ношений состоит в проверке совпадения граничных условий для гармоE нических функцийD стоящих в левой и правой частях искомого равенE стваF НапримерD для доказательства первого соотношения достаточно сравнить функцию u-1 и е? ограничение на левую нижнюю часть ковра 01 Серпинского с функцией u
- 0
1 5 1 5

F


RT

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Мы можем использовать первое равенство для продолжения функE ции (t) на всю положительную полуосьD полагая @QFQFPA (t) := 5N (2-N |t|), где N достаточно великоD чтобы |t| 2N . Геометрически настроенный читатель легко интерпретирует продолE женную функцию как граничное значение гармонической функции на 4бесконечном ковре Серпинского4F Аналитическим следствием первого равенства является тот фактD что отношение R(t) := t(t) D где = log2 5 = 2.3219281...D обладает свойE ством R(2t) = R(t) и поэтому достаточно знать егоD скажемD на отрезке [ 1 , 1] или [1, 2]F После некоторых вычислений возникает 2 Гипотеза IF Отношение R(t) достигает максимального значения 8 IFHRRFFF в точке tmax 15 и минимального значения HFWIPFFF в точке 93 tmin 127 F ДалееD второе равенство для t = 2k можно переписать в виде n @QFQFQA

(2n + k ) + (2n - k ) - 2(2n ) = 3(k )

для

0 k 2n .

Напомним операцию второй разностной производной для функций целого аргументаX

2 f (n) = k
Тогда мы можем написать @QFQFRA

f (n + k ) - 2f (n) + f (n - k ) . 2

2 (2n ) = 3(k ) для 0 k 2n . k
QFQ.

Из @QFQFRA легко выводится следующее утверждениеF
Theorem

Для любого натурального

также натуральным числом. Более того,

k значение (k ) (k ) k mod 3.

является

Значение этого наблюдения состоит в томD что мы теперь имеем дело с целочисленной функцией целого аргументаX продолженная функция принимает целые значения во всех целых точкахF Таким образом мы автоматически попадаем в царство теории чиселF Аналогичный подход возможен и в случае других основных функE цийF НапримерD для продолжения и изучения функции можно испольE зовать равенстваX

1 2 (2n ) = - (k ) для 0 k 2n . k 3 В таблицеD приведенной ниже для сведения читателюD мы указываем значения (k ) и значения (k ) @умноженные на 36 = 729D чтобы сделать их целымиAF Мы также приводим значения первой разностной производE ной (k ) := (k ) - (k - 1) для функции (k ) и второй разностной производной 2 (k ) для функции (k )F 1
@QFQFSA


sxpy hF ПроИЗВоДныЕ И ИнтЕГрАЛы ДроБноГо поряДКА

RU

ЗаметимD что первая разностная производная (k ) демонстрирует симметрию значений на отрезках [2l , 2l+1 ]F Аналитическое выражение этой симметрии таковоX @QFQFTA

(3 + t) + (3 - t) = 2 (3) =
k 16

НапримерD полагая t =

40 для |t| 1 3 , 0 k 16D мы получаемX 25000 . 729
для

(48 + k ) + (48 - k ) =
Такая же симметрия наблюдается для X @QFQFUA



1 4

+t +

1 4

+ t = 2

1 4

|t| 1 . 4

Вс? это подводит к задаче о минимальных 4волнушках4I такихD что графики всех основных функций могут быть составлены из аффинных образов этих волнушекF Кандидатами в волнушки являются куски графика функции на 3 [ 1 , 1] и графика на [ 4 , 1]F 2 Я горячо рекомендую читателю поискать другие закономерности в этой таблице и доказать соответствующие общие утвержденияF НаприE мерD посмотрите на значения функции в точках 2n , 2n + 1, 2n + 2n-1 и 2n + 2n-1 + 1F Очень интересно также исследовать pEадическое поведение функции (n) и возможное продолжение (n) до функции из Q2 в Q5 F НаконецD я советую нарисовать график функции k (k ) на отE резке [2n + 1, 2n+1 ] и подуматьD что происходит при n F

snfo hF Производные и интегралы дробного порядка
Производная порядка n определяется обычно как nEая итерация перE x вой производнойF Иногда определ?нный интеграл 0 f (t)dt с переменным верхним пределом называют антипроизводнойD или производной порядE ка -1F Можно также определить производную порядка -n как nEую итерацию антипроизводнойF Явная форма этой операции таковаX

f

(-n)

x

t1

tn-1

(x) =
0

dt

1 0

dt2 ћ ћ ћ
0

f (tn )dtn .

Этот повторный интеграл может быть записан в виде nEмерного интеE грала

f (tn )dt1 dt2 ћ ћ ћ dtn ,

x

где x ! симплекс в Rn с координатами t1 , t2 , . . . tn подчин?нными нераE венствам 0 t1 t2 ћ ћ ћ tn x.
IПеревод ВFИFАрнольда термина wvelets F


RV

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо
Таблица 3.1.

Таблица значений функций (k ), 26 (k ) и их разностных производных
1 3

k
I P Q R S T U V W IH II IP IQ IR IS IT IU IV IW PH PI PP PQ PR PS PT PU PV PW QH QI QP QQ

(k )
I S IP PS RI TH VS IPS ITV PHS PRS QHH QTI RPS SHR TPS URW VRH WPS IHPS IIPV IPPS IQQU ISHH ITTW IVHS IWRR PIPS PQPI PSPH PUTI QIPS QRWP

2 36 (k ) 36
I I P I I P S I EP I S P I S IR I EII EP S I EP S IU P EII I IR S I IR RI I EQV UPW IPIS ITPH PHPS PRHQ PUHH PWWU QQUS QURR URHHS RPQW RSHH RUTI RWWS SPST STPS SWWI TPRH TRSQ TTUS TVVV UHTS UPSI USHH UURW UWQS VIIP VQPS VSRU VUTH WHHW WQUS WURH UPW RVT RHS RHS QUV PWU PWU QUV QTW PTI PQR PTI PTI PQR PTI QTW QTT PRW PIQ PPP PIQ IUU IVT PRW PRW IVT IUU PIQ PPP PIQ PRW QTT QTS

k
QR QS QT QU QV QW RH RI RP RQ RR RS RT RU RV RW SH SI SP SQ SR SS ST SU SV SW TH TI TP TQ TR TS TT

(k )
QURS QWTS RPHH RRPW RTPS RVQT SIPS SRIU STRH SVSU TIPS TRHV TTVS UHIQ USHH UWWQ VQRS VTTR WHPS WQVW WUPH IHHWQ IHTPS IIIUP IITHS IPHRI IPTHH IQPHI IQVHS IRSQP ISTPS ITUPI IURTH

1 3

2 36 (k ) 36 ћ
WWVS IHIWI IHRHH IHSWU IHUSS IHWIT IIIPS IIQQI IIRVH IITIU IIUUS IIWQT IPHVS IPPSS IPSHH IPURS IPWIS IQHTR IQPPS IQQVQ IQSPH IQTTW IQVUS IRHVR IRPRS IRRHQ IRTHH IRVHW ISHIS ISPTH ISTPS 2 15989 3 1 16233 3 PRS PHT PHW IWU ISV ITI PHW PHT IRW IQU ISV ITI IRW IUH PRS PRS IUH IRW ITI ISV IQU IRW PHT PHW ITI ISV IWU PHW PHT PRS QTS 364 2 3 243 2 3

EII S EP EII S PT I EPQ EP IU S EP IU SQ P ERU EII IR I EII IR SQ S EQQ I RI IR I RI IPP I EIIW EQV


QFRF НЕКоторыЕ АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА осноВных фунКцИЙ

RW

Изменяя порядок интегрированияD можно свести этот интеграл к другому одномерному интегралу @hFIA

x

x

x

f (tn )dt1 dt2 ћ ћ ћ dtn =
0

v olx (t)f (t)dt =
0

(x - t)n-1 f (t)dt. (n - 1)!

Здесь x (t) ! (n - 1)Eмерный симплексD который получается пересеE чением симплекса x с гиперплоскостью tn = tF t)n-1 Теперь заметимD что выражение (x--1)! имеет смысл не только для (n n ND но и для любого вещественного nF Поэтому мы заменим обозначеE ние n на и определим антипроизводную порядка D или производную порядка -D формулой @hFPA

f

(- )

x

(x) =
0

(x - t) ()

-1

x

f (t)dt =
0

t - 1 f (x - t)dt. ()

РазумеетсяD мы должны уточнитьD какой класс функций мы будем расE сматривать и как понимать интеграл для этого класса функцийF Для начала будет достаточно предположитьD что наши функции определены и гладки на (0, )D а также обращаются в нуль с достаточно большой кратностью в начале координатF
Exercise

что @hFQA
Hint.

IU. IWF Обозначим через (x) функцию

x -1 ( )

F ПокажитеD



(- )

(x) =

-

(x).

Используйте B Eфункцию ЭйлераD задаваемую формулой
1

B (, ) =
0

t

-1

(1 - t)

-1

dt

и е? свойствоX

B (, ) =

()( ) . ( + )

Отметим связь дробного дифференцирования с операцией св?ртки на группе R+ для функций с носителем на положительной полуосиX
x

(f1 f2 )(x) =
0

f1 (t)f2 (x - t)dt.
-

А именноD производная порядка ! это св?ртка с рядка ! это св?ртка с F

D а интеграл поE

QFRF Некоторые арифметические свойства основных функций
Как показано в QFQD функция (t) принимает целые значения в цеE лых точкахF Такие функции часто имеют интересные арифметические свойстваF


SH

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Мы также продолжим остальные основные функции , , на поE ложительную полуось по формулам 5 (t) + (t) 3 (t) - (t) @QFRFIA (2t) = (t), (t) = , (t) = 3 2 2 Можно рассматривать эти функции как граничные значения гармониE ческих функций на бесконечном овре СерпинскогоD ограниченном к x3 лучами x 0, y = 0 и x 0, y = 2 F

Рис. 3.3.

Бесконечный ков?р Серпинского ? F

Изучим локальное поведение гармонических функций в окрестности некоторой двоичноEрациональной точки r = 2k F n Мы начн?м с функции F Ввиду соотношений @QFQFIAD достаточно расE сматривать только случай n = 0 и неч?тные положительные k = 2m + 1F
Theorem

QFR.

Для любого неч?тного положительного

k

и любого

[0, 1]
@QFRFPA

мы имеем:

(k + ) = (k ) + 2 ћ ( ) + 1 ћ 2( ) + 3 ( )
где

2 =

(k-1)+(k+1)-2(k) 2

,

1 = k

(

k+1 2

)-( 2

k-1 2

)

.

Corollary. Для любого

тельного

l<2

n мы имеемP

n

, любого

любого неч?тного положи-

@QFRFQA и @QFRFRA

(2n k + l) (2n k - l)

mod 2(l) + 3

n+1

(l)

(2n k + l) + (2n k - l) - 2(2n k ) 0

mod (l)

Некоторые частные случаи полученных сравненийX A n = 1, k = 2m + 1, l = 1 : (4m + 3) (4m + 1) mod 11 A n = 2, k = 2m + 1, l = 3 : (8m + 7) (8m + 1) mod 84
PЗаметимD что 3n+1 (l) ! целое числоD когда l < 2n F


QFRF НЕКоторыЕ АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА осноВных фунКцИЙ

SI

A k = 1 : (2n + l) (2n - l) mod 2(l) + 3n+1 (l) @на самом делеD это не только сравнениеD но даже равенствоDпоскольку в этом случае 21 = 1FA
Доказательство теоремы. Рассмотрим треугольный кусок бесE конечного ковраD опирающийся на отрезок [k - 1, k + 1]F Он показан на РисF QFRF

c

b

-

b

+

a-
k-1
Рис. 3.4.

a0
k

a+
k+1

Фрагмент бесконечного ковра Серпинского 33 ПоправитьX - , b- , k - 1 33

Обозначим значения функции в точках k -1, k , k +1 через a- , a, a+ соответственноF Тогда значения b+ , b- , cD принимаемые в остальных вершинахD как показано на РисF QFQD могут быть вычислены из равенствX

5a = 2a- + 2a+ + c,

5b+ = 2a+ + 2c + a .

В результате этого вычисленияD получаемX

3a- + 2a+ 2a+ + 3a- , b- = 2a - . 5 5 Введ?м в рассмотрение функции g+ : (k + )F Зная граничные значения соответствующих гармонических функций на выбранном куске S D мы можем написатьX c = 5a - 2a- - 2a+ , b+ = 2a - a+ - b+ a+ + b+ - 2a ћ ( ) + ћ ( ). 2 2 Для доказательства теоремы оста?тся заметитьD что g+ ( ) = a + a+ + b+ - 2a 3 = + (a+ - a- ) = +3 ћ 2 10 a+ - b 2
+ 1

и

=

a- + a+ - 2a 1 + (a+ - a- ) = 2 + 21 . 2 5


SP

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо
Доказательство следствия.

мы получаем

Положим =
l 2n

l 2n

в @QFRFPAF Тогда

(2n k + l) - (2n k - l) = 5n (k + 2 ћ 5n 1 2(
l 2n

) - (k -

) + 3 (

l 2n

) = 2 ћ 1 ћ 2(l) + 3

l 2n n+1

)=

(l) .

Поскольку 21 ZD мы доказали @QFRFQAF Сравнение @QFRFRA доказывается так жеF В заключение этого раздела мы введ?м и начн?м изучение ещ? одной целочисленной функции натурального аргументаF А именно положим @QFRFSA

(k - 1) - 2(k ) + (k + 1) 3 По существу ! это вторая разностная производная функции D подеE л?нная на 3F Значения D(k ) для малых k приведены в таблице D(k ) :=
Таблица значений D(k )F

k H
I P Q R S T U V W IH II IP IQ

(k ) H
I S IP PS RI TH VS IPS ITV PHS PRS QHH QTI

(k ) 2 (k ) D(k )
I R U IQ IT IW PS RH RQ QU RH SS TI Q Q T Q Q T IS Q ET Q IS T I I P I I P S I EP I S P


QFSF унКцИИ x(t), y (t) И y (x)

SQ

Эта таблица да?т ещ? больше поводов для наблюдений и открытийD чем таблица IFIF НапримерD уже имеющиеся данные позволяют предпоE ложитьD что функция D обладает свойством @QFRFTA

D(2k ) = D(k ).

Это заметно сокращает е? вычислениеX достаточно вычислить значеE ния в неч?тных точкахF ДалееD более тонкое наблюдение позволяет решить и эту задачуX функция D удовлетворяет соотношению @QFRFUA

D(2k - 1) + D(2k + 1) = 3D(k ).

Мы оставляем читателю доказать свойства @QFRFTA и @QFRFUA функции D(k )F Пользуясь этими свойствамиD легко продолжить таблицу значений D(k ) как угодно далекоF ОказываетсяD в отличие от функции (k )D функция D(k ) раст?т заE метно медленнееD примерно как k D = log2 3D и большие значения соE средоточены 4кластерами4вблизи степеней двойкиF Я очень советую чиE тателю поразмышлять и поэкспериментировать на эту темуF НапримерD интересно описать прообраз D-1 (n) для разных nD начиE ная с n = 1F

QFSF Функции x(t), y (t) и y (x)
Теорема QFR и приведенное выше е? следствие и заставляют задуматьE ся над темD чтоD возможноD координата t является не лучшим выбором аргумента для функций uc F Более естественный выбор аргумента x и ab функции y (x) таковX @QFSFIA

x = + - 1 = + - 1;

y = - = - = - .

Когда t меняется от H до ID x возрастает от -1 до ID в то времяD как y раст?т от значения 0 до максимума 1 при x = 0D а потом убывает опять 5 до 0F Альтернативное определениеX x = u0 1,1 , y = u1,0 . - 0
является дифференцируемой функцией dy y = dx существует и является непрерывной строго убывающей функцией x.
Theorem

QFS.

Величина

y

от

x.

Более точно, производная

Мы верн?мся к этому вопросу в Части ssF Следующие три проблемы открытыX
Problem

Q. Подсчитать моменты
1

@QFSFPA
Problem

mn : =
-1

xn y dx.

R. Подсчитать коэффициенты Фурье
1

@QFSFQA

cn : =
-1

e-

inx

y dx.


SR

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Problem S. Исследовать дробные производные основных функцийF НапримерD интересно найти производную порядка = log2 5 от функE ции (t) и производную порядка = log2 5 от функции (t) в окрестноE 3 сти нуляF

Все базисные функции легко выражаются в терминах x и y X @QFSFRA x+1-y x+1+y x + 1 + 3y x + 1 - 3y , = , = , = = 2 2 2 2 Другое преимущество величин x и y заключается в их простом поE ведении относительно оператора T : T x = -x, T y = y . Недостатком является более сложное поведение относительно операE торов A0 и A1 F ИменноD если мы введ?м векторEфункцию h(t) = (x(t), y (t), 1)t D то законы преобразования базисных функций @QFPFUA переходят в нескольE ко более сложные формулыX 1+t t = C0 h(t), h = C1 h(t) @QFSFSA h 2 2 где 5 3 -5 5 -3 5 1 1 1 3 1 , -1 3 1 @QFSFTA C0 = C1 = 10 0 0 10 10 0 0 10 Обе величины x и y первоначально были функциями от t [0, 1]F Поскольку x зада?т биекцию [0, 1] [-1, 1]D мы можем рассматривать отображение y := y x-1 : [-1, 1] [0, 1]. Часто мы не будем делать различия между y и y и писать просто y (x)F УтверждениеD что x ! лучший параметрD чем t подтверждается сформуE лированной выше теоремой QFSF На мой взглядD лучший способ доказаE тельства этой теоремы ! показатьD что y является вогнутой функцией от xD то есть обладает свойством x1 + x2 y (x1 ) + y (x2 ) @QFSFUA y > 2 2
Exercise

IV. ДокажитеD что y (x) удовлетворяет уравнениямX
1+t 2

@QFSFVA
Hint.

3y (x(t)) + 1 , y (x( 3y (x(t)) + 5 Докажите и используйте равенства
t y (x( 2 )) =

)) =

3y (x(t)) - 1 5 - 3y (x(t))

@QFSFWA t 1 3 x = x(t) + y (t) - 2 2 10 1+t 1 3 x = x(t) - y (t 2 2 10

1 ; 2 1 )+ ; 2

y y

t 1 3 1 = x(t) + y (t) + 2 10 10 10 1+t 1 3 1 = - x(t) + y (t) - . 2 10 10 10

которые следуют из @QFSFSA и @QFSFTAF


QFSF унКцИИ x(t), y (t) И y (x)

SS

Соотношения @QFSFVA позволяют явно найти производную y (x) в некоE торых точках @зная заранееD что производная существуетAF НапримерD если мы положим t = 0 в первом соотношенииD мы полуE чим уравнение для производной в точке HX y (0) = 3y (0)+1 D или 3y (0)2 + 3y (0)+5 2y (0) - 1 = 0F Это квадратное уравнение имеет два корняX 1 и -1F Поскольку y (-1) = 3 0 и y (-1 + ) > 0D только первый корень да?т правильное значение для производнойF Таким образомD мы получаем y (-1) = 1 . 3 АналогичноD полагая t = 1 во втором соотношенииD мы получаем 1 y (1) = - 3 F Графики функций y (x) и y (x) показаны на РисF QFS

y
1 3 1 5

y (x) x y (x) 1

-1
-
1 3

Рис. 3.5.

Графики функций y (x) и y (x)

Использованный здесь метод нахождения производной применим для вычисления y (x) для любой точки x вида x(t) с рациональным tF В самом делеD любое рациональное число r может быть записано в виде смешанноEпериодической двоичной дробиF Тогда r = 2m (2k -1) где n ! n длина периода двоичной дробиD представляющей rD а m ! число цифр до начала периодаF 5 НапримерD для 5 = 0.11010101... = 0.1(10) = 2(22 -1) F 6 Число r = 2nk 1 является неподвижной точкой одного из преобразоE - ваний вида := i1 i2 ћ ћ ћ in @смF setion QFPAF А само число r является образом r относительно другого преобразования := j1 j2 ћ ћ ћ jm того же видаF ГеометрическиD преобразование ! это сжатие в 2n раз к точке 2-n F Отсюда следуетD что функции x - x(r ) и y - y (r ) преобразуются линейно с помощью некоторой матрицы формата 2 Ч 2 с рациональными коэфE фициентамиF Это да?т квадратное уравнение для производной y (x) в точке x(r ). Значение y (x(r)) может быть найдено из @QFSFTAF
Exercise

IW. Найти x

5 6

,y

5 6

и значениеy (x) в точке x

5 6

F

Следующая проблема открытаF


ST

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо
Problem

T. Пусть R2 ! график функции y (x)F Он содержит большое множество X точек с рациональными координатамиF НапримерD таковы все точкиD соответствующие рациональным значениям параметE ра tF Очень интересно найти замыкание X p в pEадической топологии @смF Инфо q нижеAF

QFTF Гармонический образ ковра S
Заканчивая первую часть книгиD я хочу показатьD что ков?р СерпинE ского связан с другим замечательным фракталом ! ковром АполлонияD который станет главным сюжетом второй частиF c Рассмотрим комплексную гармоническую функцию fab на S F Она зада?т отображение S в комплексную плоскостьD при котором три граE ничные точки переходят в точки a, b, c. Легко видетьD что для разE ных троек a, b, cD не лежащих на одной прямойD образы S отличаютE ся лишь аффинным преобразованиемF Рассмотрим простейшее из таких отображенийD при котором граничные точки остаются на местеD то есть a = 0, b = 1, c = . Образ S в этом случае показан на РисFQFTF Мы обозначим его S F

Рис. 3.6.

Гармонический образ S ковра СерпинскогоF

Мы видимD что этот образ похож на кусок так называемого ковра Аполлония ! смF часть ssF ПравдаD кривыеD составляющие S D не являютE ся окружностямиF НапримерD нижняя граница ! это криваяD заданная параметрическими уравнениями
3 (t) - (t) (t) + (t) @QFTFIA x = u0 1 = y = u0 20 = 3 ћ 2 2 Вспоминая определение функций x(t)и y (t)D мы видимD что эта криE вая ! аффинный образ графика функции y (x)F Как мы видели вышеD 1 2


QFUF МноГоМЕрныЕ АнАЛоГИ КоВрА S

SU

функция y (x) имеет лишь две производныеD так что наша кривая заведоE мо не является окружностьюF Все остальные дуги кривыхD образующие S D являются аффинными образами граничной кривой иD следовательноD тоже не являются окружностямиF Тем не менееD S очень близок к ковру Аполлония A иD возможноD имеет ту же хаусдорфову размерностьF Мы рассмотрим ков?р Аполлония более подробно во второй частиF Здесь я только сформулирую общую проблему
Problem U. Использовать близость фракталов S и AD чтобы лучше понять каждый из нихF

QFUF Многомерные аналоги ковра S
Ков?р Серпинского имеет естественные аналоги в высших размерE ностяхF Это ! самоподобные фракталы S (n) в Rn D задаваемые системой сжатий @QFUFIA

fi (x) =

x + pi , 2

где точки pi Rn , 1 i n + 1, не лежат в одной гиперплоскостиF

Рис. 3.7.

QEмерный ков?р Серпинского

Контрольный вопросX что такое одномерный ков?р Серпинскогоc Нетрудно вычислитьD что nEмерный ков?р Серпинского имеет хауE сдорфову размерность log2 (n + 1)F


SV

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо
Exercise

PH. Построить проекцию (2n - 1)Eмерного ковра СерпинE ского на nEмерную плоскость такD что образом является nEмерный выE пуклый многогранник и почти все точки его имеют единственный проE n образ в S (2 -1) Теория гармонических функций на многомерных коврах СерпинскоE го вполне аналогична теорииD описанной вышеF Обсудим некоторые факE ты этой теорииF Мы выбираем одно из одномерных р?бер первоначальE ного nEсимплекса {p1 , p2 , . . . , pn+1 }D скажемD p1 p2 D отождествляем его с отрезком [0, 1] и ограничиваем все гармонические функции на это реброF
Lemma

QFS.

Ограничение гармонической функции

f

зависит только от значений

f (p1 ), f (p2 )

и от суммы

на ребро p1 p2 n+1 k=3 f (pk ).

Hint. Используйте инвариантность ограничения относительно групE пы перестановок вершин p3 , . . . , pn+1 F

на ребро pi pj образуют QEмерное векторное пространствоF c Пусть fa,b означает любую гармоническую функцию на S (n) n+1 ничными значениями f (p1 ) = a, f (p2 ) = b и k=3 f (pk ) = c.F ограничение этой функции на отрезок [p1 , p2 ] [0, 1] однозначно делено числами a, b, cF Мы обозначим это ограничение uc (t)F a,b Определим базисные функции формулами
(n)

СледствиеF Ограничения гармонических функций на S

любое с граE Тогда опреE

@QFUFPA (t) = u @QFUFQA Тогда

-1 0 ,1

(t),

(t) = u
0 - 1 ,1

0 0 ,1

(t),

(t) = u y (t) = u

n-1 0 ,1

(t),

(t) = u

n 0 ,1

(t),

а также функции x, y с помощью

x(t) = u

(t),

1 0 ,0

(t). - . n-1

x = + - 1 = + - 1,

y =-=- =

ОтметимD в частностиD что un,-1 (t) 1F 11 Основные соотношения между базисными функциями выводятся как в двумерном случаеF Они имеют видX @QFUFRA

(2t) = (n + 3) ћ (t),

(2t) =

n+3 ћ (t); n+1

(1 + ) + (1 - ) = 2 + (n + 1)( )
@QFUFSA

(1 + ) - (1 - ) = 2

n+1 (n - 1)(n + 2) ( ) + ( ); n n

@QFUFTA

n-1 ( ) n+1 2 (n - 1)(n + 2) (1 + ) - (1 - ) = ( ) + ( ). n n(n + 1) (1 + ) + (1 - ) = 2 -


sxpy iF ИсЛоВыЕ сИстЕМы

SW

Эти соотношения позволяют развить арифметическую теорию баE зисных функций для любогоQ целочисленного значения nD параллельно случаю n = 2F В частностиD функция (t) всегда принимает целые значения в целых точкахF Некоторые значения n представляют особый интересF При n = 1 мы получаем (t) = t2 , (t) = (t) = t, (t) = 2t - t2 . При n = 0 мы получаем y = 0D поэтому (t) = (t) = (t) = (t) и эта функция удовлетворяет равенствам @QFUFUA

(2t) = 3(t),

(2m + k ) + (2m - k ) = 2 ћ 3m + (k ).

ЗдесьD как и в двумерном случаеD полезно ввести новую функцию D по формуле @QFUFVA D(k ) := (k + 1) - 2(k ) + (k - 1) для любого целого
Theorem QFT. @QFUFWA f (2k ) = f (k ),

k > 0.

Функция

D(k )

обладает свойствами: для

f (2n + k ) + f (2n - k ) = f (k )

0 < k < 2n .

Детальное изучение функции D(k ) очень интересно и может быть предметом самостоятельного исследованияF При n = -1 мы получаем (t) = t и неясноD как определить остальE ные базисные функцииF 1 если k 0 mod 3 НаконецD при n = -2 мы получаем (k ) = 0 если k 0 mod 3. Аналогичные формулы справедливы для остальных базисных функE цийF Мы оставляем читателю исследовать остальные значения n и поисE кать интересные примерыF

snfo iF Числовые системы
иррациональныD то есть не могут быть записаны как отношение двух целых чиселF Более тогоD вещественные числа образуют несч?тное мноE жество и поэтому не могут быть занумерованы словамиD содержащими конечное число букв из конечного или сч?тного алфавитаF С другой стороныD есть много числовых системD позволяющих запиE сывать все вещественные числаD используя бесконечные @сч?тныеA слова с буквами из конечного или сч?тного алфавитаF Самые известные систеE мы ! это обычная десятичная система и е? двоичный аналогF Для построения системы S такого типа нужны следующие начальE ные данныеX ћ Вещественное или комплексное число b, |b| > 1,D называемое базойF
QЯ не знаю геометрической интерпретации этих функций для n 0F

iFIF Стандартные системыF Большинство вещественных чисел


TH

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

ћ Множество D = {d1 , d2 , . . . } используемых цифрD которые могут быть любыми вещественными или комплексными числамиD но обычно выбираются из натурального рядаD включая 0F Каждой полубесконечной последовательности вида a = an an-1 ћ ћ ћ a1 a0 .a-1 a-2 ћ ћ ћ a-n ћ ћ ћ ,
числовая система S ставит в соответствие число
k =n

ak Z+ ,

@iFIA

v al(a) =
-

d

a

k

ћ bk .

В стандартных числовых системах базой является натуральное чисE ло mD а цифрами ! элементы множества Xm = {0, 1, . . . , m - 1}. Хорошо известноD что любое неотрицательное вещественное число x записываетE ся в форме
n

@iFPA

x = v al(a) =
-

aj ћ bj .

Более точноD каждое неотрицательное целое число записывается в виде @iFPA однозначно и имеет дополнительное свойствоX ak = 0 для k < 0. В то же времяD каждое вещественное число из отрезка [0, 1] почти однозначно записывается в виде @iFPA и имеет дополнительное свойствоX ak = 0 для k 0. Неединственность возникает из тождества

(m - 1) ћ m
k 1

-k

= 1.

Общепринятый способ избежать этой неединственности ! запретить использование бесконечной последовательности цифр m - 1F Руководствуясь этим примеромD мы определим для любой числовой системы S такого типа множество Ц@S A целых чиселD которые обладают свойством ak = 0 для k < 0D и множество Д@S A дробных чиселD которые обладают свойством ak = 0 для k 0. Для стандартных систем S мы имеем Ц(S ) = Z+ D Д(S ) = [0, 1]F зуются редкоD но их свойства более интересныF
Exercise

iFPF Нестандартные системыF Нестандартные системы испольE

PI. Рассмотрим числовую систему S с базой b = -2 и цифрами {0, 1}F 2 ПроверьтеD что для этой системы Ц(S ) = ZD а Д(S ) = [- 3 , 1 ]F ПокаE 3 житеD что любое вещественное число ! положительное или отрицательE ное ! записывается в виде @iFPA почти однозначноF
Exercise PP. Рассмотрим систему S с базой b = 1 + i и цифрами {0, 1}F ПокажитеD что Ц(S ) = Z[i] ! множество целых гауссовских чисел вида a + ib, a, b ZF


sxpy iF ИсЛоВыЕ сИстЕМы

TI

Что касается Д(S )D то это ! компактное фрактальное множество разE мерности PD определяемое свойствомX 1-i @iFQA Д= ћ Д (1 + Д) 2 ЗдесьD как обычноD когда арифметические операции применяются к некоторому множеству чиселD это значитD что они применяются к кажE дому элементу множестваF Изображение этого множества можно найти во многих книгах о фракталах @смF напримерD idgWHA или построить самомуD пользуясь равенством @iFQAF Оно показано на РисF iFVF
Рис. E.8.
2 i

Множество Д(S )

PQ. Пусть = e 3 ! кубический корень из IF СуществуE ет ли нестандартная числовая система с базой и цифрами из Z[ ]D для которой Ц(S ) = Z[ ]c Каково множество Д(S ) для такой системыc
Exercise

iFQF Непрерывные дробиF Существует ещ? более нестандартная числовая системаD связанная с понятием непрерывной дробиF Пусть k = {k1 , k2 , . . . } ! конечная или сч?тная последовательность натуральE ных чиселF Мы поставим в соответствие этой последовательности число @iFRA 1 v al(k ) = если последовательность k конечна, 1 k1 + 1 k2 + 1 k3 + ћ ћ ћ + kn или предел выражения @iFRA при n D если последовательность k бесконечнаF Хорошо известноD что предел в данном случае всегда существуетF Более тогоD любое иррациональное число x из интервала (0, 1) соответE ствует единственной бесконечной последовательности k F ГоворятD что x является значением бесконечной непрерывной дробиD задаваемой послеE довательностью k F Что касается рациональных чисел r (0, 1)D то каждое из них являE ется значением ровно двух конечных непрерывных дробейX
k = {k1 , . . . , kn-1 , 1} и k = {k1 , . . . , kn-1 + 1}.
Существует простой алгоритмD как восстановить последовательность k по значению v al(k )F ИменноD пусть [x] означает так называемую целую часть числа xD то есть наибольшее целое числоD не превосходящее xF Через {x} обозначается дробная часть xD равная x - [x]F Для каждого числа x (0, 1) мы определяем последовательно 1 1 1 , k2 = [x2 ], . . . , xn = , kn = [xn ], ... x1 = , k1 = [x1 ]; x2 = x {x1 } {xn-1 }


TP

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

Для рационального x этот процесс останавливаетсяD когда для некотоE рого n мы получаем {xn+1 } = 0F Тогда непрерывная дробьD соответствуE ющая последовательности k = {k1 , . . . , kn } имеет значение xF Для иррационального x процесс продолжается бесконечно и опредеE ляет бесконечную непрерывную дробь со значением xF ПримерF Пусть kn = 2 для всех nF Тогда x = v al(k)D очевидноD 1 удовлетворяет уравнению x = 2+xF Поэтому x2 +2x-1 = 0 и x = -1+ 2F Поскольку x (0, 1)D мы заключаемD что x = 2 - 1F Таким образомD квадратный корень из P зада?тся выражением 1 , 2 = 1+ 2 + 2+ 1 1
1 2+ 2+...

следовательноD не является рациональным числомF Этот результатR был известен ещ? во времена Пифагора и держался в секретеD поскольку он мог подорвать веру в могущество @рациональныхA чиселF Есть несколько случаевD когда значение бесконечной непрерывной дроби выражается через известные функции одной переменнойF Я знаю два таких случаяF IF Первый случайX исходная дробь k периодична или хотя бы смеE шанно периодичнаF В этом случае число v al(k ) удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами и может быть вычислено явноF Обратное также верноX любой вещественный корень квадратного уравE нения с целыми коэффициентамиS может быть записан в виде смешанно периодической непрерывной дробиF PF Второй случайX последовательность {kn } является арифметичеE ской прогрессией или е? модификациейF Здесь я ограничусь тремя приE мерамиX

tanh 1 =

e2 - 1 = e2 + 1 1 +

1
1 3+
1 5+ 1 1 7+ 9+...

;

tanh

1 e-1 = = 2 e+1 2+

1
1 6+
1 10+ 1 1 14+ 18+...

;

e=2+

1 1+
1 2+
1 1+ 1 1+ 4+ 1+ 1 1 1 1+ 6+... 1

квадрата несоизмерима с его сторонойF SВсе такие числа имеют вид a+ b , a, b, c Z, и называются квадратными c иррациональностямиF

RБолее точноD его геометрическая интерпретацияD показывающаяD что диагональ


sxpy iF ИсЛоВыЕ сИстЕМы

TQ

iFRF Обобщ?нные числовые системыF ОказываетсяD все числоE вые системыD пассмотренные нами до сих пор являются частными слуE чаями следующей общей схемыF Выберем множество D Z возможных цифрF Каждой цифре d D соответствует вещественная или комплексE ная матрица Ad формата n Ч nF Выберем также n Ч nEматрицу F Каждой полубесконечной последовательности цифр a = {a0 , a1 . . . } мы поставим в соответствие число
@iFSA

v al(a) = tr( ћ Aa0 ћ Aa1 ћ ћ ћ )

в случаеD когда бесконечное произведение имеет смыслF ПокажемD как эта конструкция связана с предыдущими числовыми системамиF m0 , 0 a m - 1F Тогда Пусть Aa = a1 mn+1 0 . Aan ћ ћ ћ Aa1 Aa0 = n j1 j =0 aj m Таким образомD если мы положим =

01 D мы получимX 00

@iFTA v al(a0 , a1 . . . , an ) = tr(ћAa0 ћ ћ ћ Aan ) = tr(Aa0 ћAa1 ћ ћ ћ Aan ћ) = a0 +a1 m+ћ ћ ћ+an mn . Пусть теперь Ak =

k1 F Рассмотрим матрицы 10 kl + 1 k , l 1 l ; kl + 1 Ak Al Am = k lm + m + k k l + 1 lm + 1 l

Ak =

k1 , 10 1 ; k

Ak Al =

и сравним их с непрерывными дробямиX

1 k+

1 l

=

1 k+
1 1+
1 m

=

lm + 1 . k lm + m + k

Это сравнение подсказывает общее тождествоX
Lemma

iFT

. Значение непрерывной дроби

k = {k1 , . . . , kn }

можно

вычислить по формуле:

@iFUA

v al(k ) = k1 + k2 +

1 1 1 k3 +
.. .

=

tr( ћ Ak1 ћ Ak2 ћ ћ ћ Akn ) tr(0 ћ Ak1 ћ Ak2 ћ ћ ћ Akn )

+

1 kn 10 00

где матрица



определена выше и

0 =


TR

QF ГАрМонИчЕсКИЕ фунКцИИ нА КоВрЕ ЕрпИнсКоГо

QFVF Применения обобщ?нных числовых систем QFVFIF Применение к ковру СерпинскогоF Мы начн?м с параE метризации точек S D несколько отличной от тойD которую мы ввели в начале этой главыF Рассмотрим алфавит из тр?х буквX -1, 0, 1F Каждому конечному слову a = a1 a2 . . . an мы поставим в соответствие комплексное число
@QFVFIA где = e2 2 4 2 Пустой последовательности соответствует число HF
a
1

a

2

a

n

v al(a) =

+

+ ћћћ +

i/3

n

.

ПодумаемD какое множество заполняют значения v al(a) когда a проE бегает множество всех бесконечных последовательностейF Пусть сначала все члены последовательности a одинаковы и равны mF Тогда значения v al(a) = m ! это три кубических корня из IF Если последовательность a содержит только цифры I и -1D то вещественная часть ряда @QFVFIA имеет вид - 2k1 = 1 F ЗначитD величины v al(a) в этом случае леE +1 k=1 2 жат на прямой x = 1 F Более внимательное рассмотрение показываетD 2 что значения v al(a) пробегают отрезокD соединяющий кубические корни и -1 = ?F Соображения симметрии @относительно умножения на A показываютD что наше множество лежит внутри выпуклой оболочки тоE чек ID и ?F Я оставляю читателю доказатьD что на самом деле искомое множество ! это ков?р Серпинского S с вершинами в тр?х кубических корнях из IF PR. ПокажитеD что v al(a) для 3n последовательностей длиE ны n расположены в центрах треугольников ранга n - 1D дополнительных к SF
Exercise Exercise PS. ПокажитеD что значения v al (a) и v al (a ) для бесконечE ных последовательностей a и a совпадаютD только если a получается из a заменой хвоста вида xy y y y . . . на хвост y xxxx . . . F Exercise

A граничным точкамc A точкам р?берD соединяющих граничные точкиc A вершинам Sn c dA точкам р?берD соединяющихD вершины Sn c Теперь поставим следующую основную задачуX
Вычислить значение гармонической функции на граничными значениями

ют

PT. Какие бесконечные последовательности a соответствуE

S

с данными

-1 , b0 , b1 в точке, соответствующей данной бесконечной последовательности aF

b

Ответ да?тся в следующей формеX
Существует обобщ?нная числовая система матрицами

S

, заданная тремя

-1 , A0 , A1 и матрицей = (b-1 , b0 , b1 ) формата такая, что искомое значение равно v al(a) в системе S .

A

3Ч3


QFWF ПрИМЕнЕнИЕ К фунКцИИ 4ВопросИтЕЛьныЙ ЗнАК4

TS

QFWF Применение к функции 4Вопросительный знак4
Так называемая функция Вопросительный знак была определена Минковским в IWHR году для нумерации всех квадратичных иррациоE нальностей на интервале (0, 1) с помощью рациональных чисел на том же интервале с сохранением непрерывности и порядкаF ПозжеD в IWQV годуD АF Данжуа дал определение этой функции на всей вещественной прямойF Согласно одному из возможных определений @смF нижеAD функция c(ћ) переводит число aD заданное бесконечной непрерывной дробью

a= a1 + a2 +

1 1 1 a3 + ћ ћ ћ +
a

1 + ... ak в числоD записываемое в двоичной системе как

c(a) :=
k

(-1)k 2

-1

1

a

2

a

3

a1 +ћћћ+ak -1

= 0.0 . . . 0 1 . . . 1 0 . . . 0 ...
2 2

e -1 НапримерD c 22 = 0.11001100... = 4 , c e2 +1 = k0 2-k . 5 Мы сможем сказать больше об этой функции во второй части книгиF Здесь мы только заметимD что это ! ещ? одна функцияD которая наиболее просто выглядит при использовании обобщ?нных числовых системF



Часть 2

Ков?р Аполлония


Введение
В этой части книги мы рассмотрим другой замечательный фракталX так называемый ков?р Аполлония AF Он выглядит совсем поEдругомуD чем ков?р Серпинского S F НапримерD A не является самоподобным фракE таломD хотя для любого k 0 он может быть представлен как объедиE нение 3k + 2 подмножествD гомеоморфных S F Тем не менееD существует глубокая и красивая связь между обоими фракталами и наша цельD только частично достигнутая здесьD состоит в томD чтобы понять и объяснить эту связьF Многие фактыD обсуждаемые нижеD относятся к элементарной геоE метрииF ОднакоD в современном математическом образовании евклидова геометрия занимает неоправданно малое местоD так что мы не можем полагаться на информациюD полученную в школеF Поэтому иногда нам приходится использовать более сложные средства для вывода нужных нам результатовF Как и в первой частиD мы изучаем наш фрактал с разных точек зреE нияX геометрическойD теоретикоEгрупповойD и теоретикоEчисловойF ИменE но взаимодействие этих подходов делает нашу задачу очень интересной и обещающейF


Глава R
Круги на сферах

RFIF Теорема Декарта
Мы начн?м с простого геометрического вопросаX
Описать все конфигурации четыр?х попарно касающихся окружностей на плоскости.

Примеры таких конфигураций показаны ниже на РисF RFIF Мы вклюE чили сюда и те случаиD когда одна или две из наших окружностей выE рождаются в прямую линию @которую можно рассматривать как окружE ность бесконечного радиусаA а также случаиD когда все окружности каE саются одной изнутриF Впоследствии мы покажемD что в этом случае удобно рассматривать внешнюю окружность как окружность с отрицаE тельным радиусомF

Рис. 4.1.

Четв?рки касающихся окружностей

Наряду с этимD существуют конфигурацииD которые нам хотелось бы исключитьD поскольку без них теория становится более простой и стройнойF Несколько таких нежелательных конфигураций показано на РисFRFPF Во всех этих конфигурациях все четыре окружности имеют общую точкуD конечную или бесконечно удал?ннуюF ПричинаD по котоE рой нужно исключить эти конфигурации станет яснееD когда мы точнее сформулируем задачу и перейд?м от окружностей к кругамF ОказываетсяD что полное и ясное решение нашей задачи использует сведения из разных областей математикиF Более тогоD задача имеет естеE ственное многомерное обобщение и требует более точной формулировкиF Мы начн?м с тогоD что на вполне элементарном уровне покажем необE ходимость изменения и уточнения формулировкиF Для этого сделаем
TW


UH

RF КруГИ нА сфЕрАх

шаг назад и рассмотрим вместо четв?рки тройку попарно касающихся окружностейF Имеются три типа таких троек ! смF ниже РисF @RFQAD @RFRAD @RFSAF Эти три типа различаются по виду треугольникаD образуемого точE ками касанияF А именноD этот треугольник остроугольный в случае AD прямоугольный в случае A и тупоугольный в случае AF В случае A довольно ясноD что наши три окружности могут иметь произвольные положительные радиусы r1 , r2 , r3 F В самом делеD пусть O1 , O2 , O3 ! центры искомых окружностейF Мы всегда можем построить треугольник O1 O2 O3 D поскольку длины его сторон известныX |Oi Oj | = ri + rj и удовлетворяют неравенству треугольникаX @RFIFIA

|Oi Oj | + |Oj Ok | = (ri + rj ) + (rj + rk ) > ri + rk = |Oi Ok |.

В случае A мы имеем |O1 O2 | = r1 + r2 , |O2 O3 | = r3 - r2 , |O3 O1 | = r3 - r1 и r1 + r2 < r3 F ОказываетсяD если заменить в наших формулах r3 на -r3 D то можно объединить случаи A и A в одной общей формулеX @RFIFPA

|Oi Oj | = |ri + rj |.

В случае A центр O3 расположен в бесконечно удал?нной точкеF Мы полагаем в этом случае r3 = и равенство @RFIFPAD при естественной его интерпретации также выполняетсяF В случаеD когда четыре окружности попарно касаютсяD их радиусы не произвольныD а удовлетворяют некоторому уравнениюF Это уравнеE ние иGили некоторые его следствия были известны уже математикам древней Греции более чем две тысячи лет тому назадF В более близкое для нас время это уравнение было явно выписано Рене ДекартомD знаменитым французским математиком и философом первой половины IUEго столетияF Уравнение Декарта выглядит намного прощеD если вместо радиусов ri рассматривать обратные величины

ci := r

-1 i

,

1 i 4.

Рис. 4.2.

Неправильные четв?рки


RFIF ЕорЕМА ДЕКАртА

UI

r r

r
3

3

r
1

2

r

1

r

2

Рис. 4.3.

Тройка касательных окружностей типа A

r r
1

1

r

2

r

2

Рис. 4.4.

Тройка касательных окружностей типа A

Геометрический смысл величины ci ! это кривизна окружности с радиE усом ri FI УравнениеD о котором так долго шла речьD выглядит довольно проE стоX @RFIFQA

(c1 + c2 + c3 + c4 )2 - 2(c2 + c2 + c2 + c2 ) = 0. 1 2 3 4

Мы оставляем любителям геометрии дать доказательство формулы ДекартаD используя сведенияD ещ? недавно входившие в обычную школьE ную программуF Следующее упражнениеD а также РисFRFT будут для этоE го полезнымиF PU. Найти общую формулуD пригодную для вычисления площади треугольника O1 O2 O3 D введ?нного вышеD в случаях A и AF
Exercise

позжеD когда мы введ?м теоретикоEгрупповой подход к нашей задачеF

IПричинаD по которой кривизны ведут себя прощеD чем радиусыD будет объяснена


UP
Hint.

RF КруГИ нА сфЕрАх

Используйте формулу Герона S =

p(p - a)(p - b)(p - c)F

S = r1 r2 r3 (r1 + r2 + r3 )F ЗаметимD что выражение под знаком корня всегда положительноF
Answer.

Существует частный случай теоремы ДекартаD который гораздо легE че доказатьD чем общий случайF А именноD предположимD что одна из четыр?х окружностей вырождается в прямую линиюF ПустьD напримерD c4 = 0 так что зависимость между оставшимися кривизнами имеет видX @RFIFRA

(c1 + c2 + c3 )2 - 2(c2 + c2 + c2 ) = 0. 1 2 3

По счастьюD левая часть @RFIFRA разлагается на простые множителиD которые являются линейными функциями кривизнF Чтобы увидеть этоD рассмотрим левую часть как квадратичный многочлен от c1 X

-c2 + 2c1 (c2 + c3 ) - c2 1 2 Этот квадратичный многочлен имеет c1 = c2 + c3 + 2 c2 c3 =
ПоэтомуD он может быть записан как

+ 2c2 c3 - c2 3 корни ( c2 + c3 )2 .

- c1 - ( c2 + c3 )2 c1 - ( c2 - c3 )2 = ( c1 + c2 + c3 )(- c1 + c2 + c3 )( c1 - c2 + c3 )( c1 + c2 - c3 ).
Отсюда следуетD что @RFIFRA справедливо тогда и только тогдаD когда при подходящем выборе знаков выполнены следующие равенстваX @RFIFSA



c1 +



c2 +



c3 = 0,

или



r2 r3 +



r1 r2 +



r1 r3 = 0.

O r O
3 3

2 2

r r
1

r

3

O

1

Рис. 4.5.

Тройка касательных окружностей типа A


RFIF ЕорЕМА ДЕКАртА

UQ

O3

O4

O1

O2

Рис. 4.6.

К доказательству формулы Декарта

R
2 R

r
2 r

Рис. 4.7.

Вырожденное уравнение Декарта

Правильный выбор знаков зависит от относительных размеров радиE усовF ЕслиD напримерD мы занумеруем радиусы такD что r1 r2 r3 > 0D то правильное равенство имеет вид r1 r2 = r2 r3 + r3 r1 F Вы можете сами доказать это равенствоD используя РисF RFU и RFVF В следующем разделе мы докажем более общее утверждениеD исE пользуя матричную алгебру и геометрию пространства МинковскогоF Но перед этим мы должны исправить неаккуратности в нашем первонаE чальном изложении и дать точную постановку задачиF Все наши беды происходят оттогоD что мы не учитывали знак криE визныD а это может привести к ошибочному истолкованию формулы ДеE картаF РассмотримD напримерD четыре окружностиD показанные ниже на РисF RFWF

{
2 Rr


UR

RF КруГИ нА сфЕрАх

r2 r1 r2 - r1

r1 d
Рис. 4.8.

Вырожденная тройка с d = 2 r1 r

2

Если мы здесь положим c1 = 1, c2 = c3 = 2, c4 = 3D то прид?м к неверному равенству

64 = (1 + 2 + 2 + 3)2 = 2(1 + 4 + 4 + 9) = 36.
Но если мы будем считать кривизну внешней окружности равной -1D то получим верное равенство

36 = (-1 + 2 + 2 + 3)2 = 2(1 + 4 + 4 + 9) = 36.
Ещ? раз взглянув на рисунок RFWD мы видимD что внешняя окружE ность находится в особом положенииX остальные окружности касаются е? изнутриF А мы уже говорилиD что в этом случае удобно считать криE визну отрицательной величинойF Чтобы сделать изложение строгимD есть две возможностиX либо ввеE сти ориентацию окружностейD либо рассматривать вместо окружностей двумерные кругиD ограниченные этими окружностямиF Оба подхода на самом деле эквивалентныF В самом делеD каждый круг наследует ориенE тацию у двумерной плоскости @или сферыA на которой он находитсяD а граница ориентированного круга сама имеет выделенную ориентациюF В нашем случае она определяется известным 4правилом левой руки4X коE гда мы обходим границу в положительном направленииD область должна оставаться слеваF В частностиD внешняя окружность на РисFRFW является границей обE ластиD дополнительной к единичному кругуF Поэтому е? ориентация проE тивоположна ориентациям других окружностейD которые ограничивают обычные кругиF


RFIF ЕорЕМА ДЕКАртА

US

r1 =1

r2 =

1 2

r2 =

1 2

r3 =

1 3

Рис. 4.9.

4Нарушение4уравнения Декарта

Возникает вопросD нужно ли вообще рассматривать неограниченные области и их границы и нельзя ли обойтись обычными кругамиF Ответ здесь ! тв?рдое 4нет4F Дело в томD что после перехода от плоскости R2 к 2 расширенной плоскости R D разница между ограниченными и неограниE ченными областями стирается @потому что бесконечно удал?нная точка теряет сво? привилегированное положение и уравнивается в правах со всеми остальными точкамиAFP Таким образомD мы окончательно установилиD что является основE ным предметом наших исследованийX это ! множество D кругов на двуE 2 мерной сфере S 2 D или на расширенной плоскости R D или на расшиE ренной комплексной плоскости CF Каждому такому кругу соответствует ориентированная окружность на сфере @окружность или прямая линия 2 на R или CAF
PРазумеетсяD можно держаться старых убеждений и настаивать на 4особом поE ложении4бесконечно удал?нной точкиF При этом тоже получается непротиворечивая теорияF Но формулы этой теории сильно проигрывают в простоте и ясности ! как сложная теория циклов Птолемея уступает простой и понятной теории КоперникаF


UT

RF КруГИ нА сфЕрАх

Будем говоритьD что два круга касаютсяD если они имеют ровно одну общую точкуF В терминах ориентированных окружностей или пряE мых это означает 4отрицательное4касаниеX в общей точке ориентации двух границ противоположныF Теперь становится понятноD почему мы исключили конфигурацииD показанные на РисF RFPX они дают примеры 4положительного4касания и не соответствуют конфигурациям четыр?х попарно касающихся круговF Теперь разбер?мся с понятием кривизныF Пусть C ! ориентированная окружность с @обычнымA радиусом r на CF Мы приписываем окружности C положительную кривизну c = r-1 D если C ограничиваетD по правилу левой рукиD обычный дискF Если же C ! граница дополнения к обычному дискуD то мы считаемD что кривизна окружности C отрицательна и равна c = -r-1 Кривизна прямой линии считается равной нулюF ОказываетсяD при таком понимании касания и кривизныD формула Декарта верна без всяких исключенийF
Remark Q. Посмотрим более внимательно на знаки чисел {ci }1i4 D составляющих решение уравнения @RFIFQAF ЗаметимD что если четв?рE ка (c1 , c2 , c3 , c4 ) является решениемD то противоположная ей четв?рка (-c1 , -c2 , -c3 , -c4 ) ! тоже решениеF ОднакоD мы увидим вскореD что из двух противоположных четв?рок только одна реализуется как набор кривизн для четв?рки границ попарно касающихся круговF Уравнение @RFIFQA может быть переписано в форме

@RFIFTA

2(c1 + c2 )(c3 + c4 ) = (c1 - c2 )2 + (c3 - c4 )2 .

Отсюда мы видимD что либо c1 + c2 0 и c3 + c4 0D или же c1 + c2 0 и c3 + c4 0F ПредположимD что нумерация чисел {ci } выбрана такD что c1 c2 c3 c4 F Тогда в первом случае мы имеем |c4 | c3 c2 c1 D а во втором c4 c3 c2 -|c1 |F Читатель убедится самD что только первый случай соответствует четE в?рке кривизн границ попарно касающихся круговF Поэтому только таE кие решения мы будем рассматривать в дальнейшемF При этом мы не теряем информации об остальных решениях уравнения ДекартаX они соE стоят из противоположных четв?рокF Таким образомD начиная с этого места мы предположимD что имеет место одна из следующих возможностейX A все числа ci положительныD или A три числа положительныD а четв?ртое отрицательно и по абсолютE ной величине меньше каждого из остальныхD или A три числа положительныD а четв?ртое равно нулюD илиD наконецD dA два числа положительны и равны друг другуD а остальные два равны нулюF Этот результат отражает очевидный геометрический фактX из чеE тыр?х попарно касающихся обобщ?нных кругов по крайней мере два являются обыкновенными ограниченными кругамиF


sxpy pF КонфорМнАя ГруппА И стЕрЕоГрАфИчЕсКАя проЕКцИя

UU



snfo pF Конформная группа и стереографическая проекция pFIF В этом разделе мы рассматриваем общий nEмерный случайF ОдE накоD все рассуждения и вычисления практически одинаковы во всех размерностяхF ПоэтомуD читательD незнакомый с предметомD может для начала полагатьD что n = 1 или PF Пусть Rn ! множествоD получаемое из Rn добавлением бесконечно удал?нной точки F Топология в Rn определяется такD что
xk в топологии R
n

xk в смысле обычного анализа

Существует замечательное взаимноEоднозначное и взаимноEнепрерывное соответствие между nEмерной сферой S n и Rn F Оно называется стереоE грфической проекциейF Здесь мы дадим определение этого соответE ствия и укажем его основные свойстваF Пусть Rn+1 ! евклидово пространство с координатами (0 , 1 , . . . , n )F 2 2 2 Единичная сфера S n Rn+1 зада?тся уравнением 0 + 1 + . . . n = 1F n мы будем называть Северным полюсомF Точку P = (1, 0, 0, . . . , 0) S Пусть Rn ! другое евклидово пространство с координатами (x1 , x2 , . . . , xn )F Удобно считатьD что Rn ! подпространство в Rn+1 D состоящее из точек с координатами (0, x1 , . . . , xn )F Определим отображение s из S n \{P } на Rn по формулеX @pFIA

s() =

0,

1 , 1 - 0

2 , 1 - 0

...,

n 1 - 0

.

Обратное отображение имеет видX @pFPA

s-1 (x) =

|x|2 - 1 , |x|2 + 1

2x1 , 1 + |x|2

2x2 , 1 + |x|2

...,

2xn 1 + |x|2

где |x|2 = x2 + x2 + ћ ћ ћ + x2 . n 1 2
Exercise PV. ПроверьтеD что точки P , = (0 , 1 , . . . , n ) и s() = 0, x1 (), x2 (), . . . , xn () лежат на одной прямой в Rn+1 F

Таким образомD геометрическиD отображение s является проекцией S n \{P } из Северного полюса на координатную плоскость Rn Rn+1 D определяемую уравнением 0 = 0F Как аналитическоеD так и геометрическое определение неприменимы к самому Северному полюсуF Мы постановим отдельноD что s(P ) = Rn F Так определ?нное отображение s будетD очевидноD биекцией S n на Rn F Эта биекция непрерывна по определению топологии на Rn F Одно из замечательных свойств стереографической проекции ! е? конформностьF Это значитD что углы между пересекающимися кривыми сохраняютсяF Второе замечательное свойство состоит в томD что все окружности на S n переходят при стереографической проекции в окружности или


UV

RF КруГИ нА сфЕрАх

прямые на Rn F Более тогоD все k Eмерные сферы на S n переходят в k E мерные сферы или k Eмерные плоскости на Rn F При этом k Eмерные шары на S n переходят в обобщ?нные k Eмерные шары на Rn F Мы дадим здесь доказательство последнего свойства для nEмерных шаров на S n F Любой такой шар D S n можно рассматривать как пересечение S n с полупространством в Rn+1 D заданным в координатах 0 , 1 , . . . , n линейным неравенством @pFQA

p0 0 + p1 1 + ћ ћ ћ + pn n + p

n+1

0.

ЗаметимD что гиперплоскость p0 0 + p1 1 + ћ ћ ћ + pn n + pn+1 = 0 пересекает единичную сферу S n по нетривиальной (n - 1)Eмерной сфере тогда и только тогдаD когда @pFRA

p

2 n+1

- p2 - p2 - ћ ћ ћ - p 0 1

2 n

< 0.

Мы видимD что естественно рассматривать вектор p как элемент проE странства R1,n+1 и писать левую часть неравенства pFR как |p|2 F ПоE скольку умножение p на положительный множитель не меняет смысла неравенства pFQD мы можем нормализовать p условиемQ |p|2 = -1F Выражая {i } через координаты {xj } точки s()D мы перепишем неравенствоD задающее s(D) в виде

p0 (|x|2 - 1) + 2p1 x1 + ћ ћ ћ + 2pn xn + p

n+1

(|x|2 + 1) 0.

В терминах скалярного произведения в Rn это значит @pFSA

a + (p, x) + c|x|2 0.

где a = pn+1 - p0 , c = pn+1 + p0 , p = (p1 , . . . , pn ) и x = (x1 , . . . , xn )F Теперь мы используем равенство |p|2 = ac - |p|2 и нормализацию |p|2 = -1D чтобы придать нашему неравенству окончательную форму @pFTA

cћ x+

p c

2

c-1 .

Это неравенствоD при c > 0 зада?т замкнутый шар в Rn с центром в точке - p и с кривизной cF В этом случае исходный диск D не содержит c Северного полюсаF Если же c < 0D то pFT зада?т дополнение к открытому шару с центром в точке - p и радиусом - 1 F Мы условились считать кривизной граниE c c цы этого обобщ?нного шара отрицательную величину cF В этом случае исходный шар D содержит Северный полюс внутриF НаконецD если c = 0D то pFT не имеет смыслаD а pFS зада?т замкнутое полупространство в Rn В этом случае Северный полюс лежит на границе исходного шара DF
QНе спутайте вектор p R
1,n+1

нижеF

с вектором p Rn D который будет определ?н


sxpy pF КонфорМнАя ГруппА И стЕрЕоГрАфИчЕсКАя проЕКцИя

UW

pFPF Существует большая группа C onfn @илиD корочеD Cn A так назыE ваемых конформных преобразованийD действующая на S n и на Rn такD что стереографическая проекция s является gn Eковариантным отображениемF Это значитD что для любого g Cn следующая диаграмE ма коммутативнаX
S n - - Rn -- gћ gћ , S
n s

@pFUA

-- R --
s

n

где g ћ означает действие g Cn D на S n и на Rn F НапомнимD что диаграммаD состоящая из множеств и отображенийD называется коммутативнойD если для любого путиD составленного из стрелок диаграммыD произведение соответствующих отображений завиE сит только от начальной и конечной точек путиF В нашем случае есть два путиD ведущих из левого верхнего угла в правый нижний угол диаE граммы и коммутативность значитD что s g = g sF Группа Cn может быть определена многими способамиF Мы дадим здесь три эквивалентных определенияF Геометрическое определение @только для n > 1AF НапомнимD что гладкое отображение g : Rn Rn имеет в каждой точке x Rn произE водную g (x) которая является линейным оператором g (x) : Rn Rn F Мы говоримD что g конформноD если g (x) в каждой точке x является композицией вращения и подобияF Таким образомD в бесконечно маломD конформные отображения соE храняют форму фигурF Это объясняет происхождение термина конE формныйF В случае n = 1 группа конформных в этом смысле отображений слишком велика @бесконечномернаAF А именноD она совпадает с группой всех гладких отображений S 1 F В случае n = 2 группа всех конформных преобразований плоскости 2 также бесконечномерна и состоит из всех голоморфных @или аналиE R тических преобразований CF ОднакоD для расширенной плоскости C сиE туация другаяX каждое конформное преобразование C является дробноE линейным @смF нижеAF Теперь мы дадим другоеD теоретикоEгрупповое определениеD которое для n > 1 эквивалентно геометрическому и зада?т конечномерную групE пу в любой размерности nF Пусть En (R) ! группа всех движений Rn D тоEесть вращений и паралE лельных переносовF Действие этой группы на Rn естественно продолжаE ется на Rn такD что бесконечно удал?нная точка оста?тся неподвижнойF


VH

RF КруГИ нА сфЕрАх

Назов?м инверсиейD или отражением в единичной сфереD преE образование I nv : Rn Rn задаваемое формулойX

@pFVA

x |x|2 , если x = 0, I nv (x) = , если x = 0 0, если x = .

ТеоретикоEгрупповое определениеF Сначала мы определим так называемую расширенную конформную группу C onf n как группуD порожд?нную En (R) и I nv F Группа C onf n состоит из двух связных компонентF Преобразования из одной компоненты сохраняют ориентацию Rn F Они являются компоE зицией движений и четного числа инверсийX g1 I nv g2 I nv ћ ћ ћg2n I nv F Эта компонента сама является группой иD по определениюD называется конформной группой C onfn Преобразования из другой компоненты обращают ориентацию Rn F Они иногда называются конформными преобразованиями второго рода @в случае n = 2 это ! антианалитические отображенияAF Общий элемент второй компоненты является произведением движеE ний и нечетного числа инверсийX g1 I nv g2 I nv ћ ћ ћ g2n+1 I nv НаконецD наиболее рабочее определение ! это следующееD которое мы назов?м матричным определениемF Пусть R1,n+1 означает вещественное векторное пространство с коорE динатами (x0 , x1 , . . . , xn+1 ) и со скалярным произведением заданным симметричной билинейной формой
B (x, y ) = x0 y0 - x1 y1 - . . . - xn+1 y
n+1

.

Группа линейных преобразованийD сохраняющих эту форму называется псевдоEортогональной группой и обозначается O(1, n + 1; R)F ОтноE сительно выбранного базиса элементы этой группы задаются блочными a bt матрицами вида g = где a ! вещественное числоD b, c ! векторE cD столбцы размера (n + 1)D индекс t означает транспонированиеD а D ! матрица формата (n + 1) Ч (n + 1)F Тот фактD что g O(1, n + 1; R)D выражается уравнениями @pFWA

a2 = 1 + |c |2 ,

Dt D = 1n+1 + b b t ,

Dt c = ba,

где 1n+1 означает единичную матрицу порядка n + 1F Из pFW следуетD что a и D обратимы @проверьте самостоятельноD что bbt -1 = 1 D n+1 - 1+|b|2 AF Поэтому группа O (1, n + 1; R) разбивается на четыE ре части согласно знакам a и det DF На самом делеD эти части являютE ся связными компонентамиF Более точноD наша группа диффеоморфна


sxpy pF КонфорМнАя ГруппА И стЕрЕоГрАфИчЕсКАя проЕКцИя

VI

произведению O(n, R) Ч S n Ч R Ч Z2 X каждой четв?рке (A, v , , +1) соE ответствует элемент @pFIHA

g=+

cosh v t ћ sinh sinh ћ Av cosh ћ A

O(1, n + 1; R)

и обратноD каждая матрица из O(1, n + 1; R) записывается в такой формеF ПсевдоEортогональная группа действует на пространстве R1,n+1 D соE храняя конус C : x2 = x2 + ћ ћ ћ + x2 +1 . 0 1 n Она действует также на проективном пространствеD связанном с R1,n+1 F Поскольку скалярные матрицы действуют тривиальноD мы имеем факE тически действие соответствующей проективной группы P O(1, n+1; R) = O(1, n + 1; R)/{+1}D которая является факторEгруппой O(1, n + 1; R) по е? центру {+1n+2 }F Эта группа имеет только две связные компоненты P O+ (1, n + 1; R)D различаемые знаком величины det (a-1 D)F Проективизация конуса C @с выброшенной вершинойA может быть xi отождествлена со сферой S n с помощью координат i = x0 , 1 i n + 1D xj и с R n с помощью координат wj = x0 -xn+1 , 1 j nF ОбратноD координаты точки конуса могут быть восстановленыD с точE ностью до пропорциональностиD по формуламX @pFIIA 2 2 j wj + 1 j wj - 1 x0 = , xj = wj для 1 j n, xn+1 = . 2 2 Следующий факт хорошо известен и мы используем его для матричного определения конформной группыF
Theorem

на

R

n

pFI

. Группа

P O(1, n + 1; R),

действующая на

), совпадает с

C onf

n , а е? связная подгруппа

S n (или P O+ (1, n + 1; R)

совпадает с

C onfn

.

Exercise PW. Инверсия I nv C on n в последней реализации соE f ответствует некоторому элементу P O(1, n + 1; R)D тоEесть паре матриц +g O(1, n + 1; R)F Найдите эту паруF Hint.

Используйте pFIIF

Answer.

g = diag (1, 1, . . . , 1, -1).

pFQF В основном тексте мы рассмотрим подробнее случай n = 2D а также n = 3, n = 4F Во всех этих случаях конформная группа имеет дополнительные свойстваD которые мы обсудим здесьF Случай n = 2F Группа C onf2 изоморфна P O+ (1, 3; R)D а также групE пе М?биуса P S L(2, C)F Расширенная конформная группа C onf2 изоE морфна P O(1, 3; R)D а также расширенной группе М?биусаF


VP

RF КруГИ нА сфЕрАх

НапомнимD что группа М?биуса действует на расширенной комплексE ной плоскости C так называемыми дробноEлинейными или М?биусоE выми преобразованиямиX @pFIPA

w

w + w+

где



S L(2, C).

Расширенная группа М?биуса содержит также комплексное сопряжение иD следовательноD все преобразования вида @pFIQA

w

w + w+

где



S L(2, C).

Среди этих преобразований выделяются так называемые отражения rD обладающие свойством r2 = 1 и имеющие в качестве множества непоE движных точек окружность или прямую линиюF Обозначим это множеE ство Mr и назов?м его зеркаломD а преобразование r ! отражением в этом зеркалеF ОбратноD для каждой окружности или прямой линии M существует единственное отражение rD для которого Mr = M Y мы обоE значим его rM F Если зеркало M является прямой линией lD преобразование rM явE ляется обычным евклидовым отражением в прямой lF Если M ! единичная окружность C с центром в начале координатD то rM совпадает с инверсией I nv D определ?нной @pFVAF В общем случае отражение в окружности M можно задать формулой rM g = I nv g -1 D где g C onf2 ! любое конформное преобразованиеD переводящее C в M F
Exercise QH. ПокажитеD что все отражения образуют один класс сопряж?нности в группе C onf 2 F Hint.

ПроверьтеD что C onf 2 действует транзитивно на DF QI. ПокажитеD что группа C onf 2 порождается отражениE

Exercise

ямиF

Hint. Используйте хорошо известный фактD что S L(2, C) порождаE ется элементами

@pFIRA
Exercise

g (t) =

1t , t C, 01

и s=

01 . -1 0

QP. ПокажитеD что классы сопряж?нных елементов в C onf2 ! это в точности множества уровня I (g ) = const для функции @pFISA

I (g ) :=

(tr g )2 -4 det g

с единственным исключениемX множество I (g ) = 0 является объединеE нием двух классовX {e} и классаD содержащего Жорданов блок J2 F


sxpy pF КонфорМнАя ГруппА И стЕрЕоГрАфИчЕсКАя проЕКцИя

VQ

Exercise QQ. ПокажитеD что все инволютивные отображения в C on 2 f образуют два класса сопряж?нных элементовX единичный класс и классD состоящий из вращений сферы S 2 на 180 вокруг какойEнибудь осиF

QR. ПокажитеD что все инволюции в P O- (1, 3; R)D которые не являются отражением в окружностиD образуют один класс сопряж?нE ных элементовD содержащий антиподальное отображение S 2 F
Exercise

Мы привед?м здесь два основных свойства группы М?биуса GF
Proposition

pFI

. Для любых троек различных точек

(w1 , w2 , кое, что

w3 ) на C существует g (zi ) = wi , i = 1, 2, 3.

единственное

(z1 , z2 , z3 ) и преобразование g G та-

Доказательство. Сначала проверим это утверждение для случая w1 = 0, w2 = 1, w3 = F Соответствующее преобразование gz1 ,z2 ,z3 моE жет быть выписан явноX

z - z1 z2 - z1 : z - z3 z2 - z3 -1 В общем случае искомое преобразование g равно g = gw1 ,w
@pFITA

gz

1

,z2 ,z

3

(z ) =

2

,w

3

gz

1

,z2 ,z

3

F

Proposition

pFP

. Любая окружность или прямая линия переходит

после преобразования

gG

в окружность или прямую линию. (Или:

любой круг переходит в круг).

Для доказательства нам понадобится
Lemma

pFI

. Пусть

число такие, что

@pFIUA
зада?т круг

a, c вещественные числа ac - |b|2 < 0. Тогда неравенство a + ? + bw + cww 0 bw ? ?

,а

b

комплексное

. Более точно, это b - c и радиусом r b) дополнение к открытому кругу с центром -1 , если c < 0; -c a) замкнутый круг с центром c) замкнутая полуплоскость, если Более того, каждый обобщ?нный круг

DD

= c-1 b -c и

, если

радиусом

c > 0; r=

c = 0. DD

ством вида

@pFIUA

зада?тся неравен-

.

Доказательство.

Это ! частный случай @pFSAF

Предложение pFI следует из леммы pFID поскольку неравенство @pFIUA сохраняет свою форму при преобразованиях вида @pFIRAD следовательноD при всех дробноEлинейных преобразованияхF R. Множество C onf2 \C onf2 конформных преобразований второго рода не образует группыF Оно является двусторонним смежным классом в C onf2 относительно C onf2 F
Remark


VR

RF КруГИ нА сфЕрАх

Стоит отметитьD что это множество преобразований обладает обоиE ми свойствамиD упомянутыми в предложениях pFI и pFPX оно действует просто транзитивно на тройках различных точек в C и сохраняет обобE щ?нные окружности и дискиF

Случай n = 3. Группа C onf3 = P S O0 (1, 4; R) изоморфна группе P U (1, 1; H)D которая является факторEгруппой кватернионной псевдоE унитарной группы U (1, 1; H) по е? центру {+12 }F Группа U (1, 1; H) состоит из кватернионных матриц второго порядE ab ка g = D удовлетворяющих соотношениямX cd |a|2 = |d|2 = 1 + |b|2 = 1 + |c|2 , ab = cd. ? ?
Положим a = u cosh t, d = v cosh tD где t RD а u, v ! кватернионы единичной нормыF Тогда существует такой кватернион единичной нормы wD что b = w sinh t и c = wuv sinh t. ?? Если матрица g не диагональнаD параметры u, v , w и t определены однозначноF Для диагональных матриц мы имеем t = 0 и значение w не влияет на g F Таким образомD наша группа является объединением S 3 Ч S 3 Ч S 3 Ч (R\{0}) и S 3 Ч S 3 F Группа U (1, 1; H) действует на двумерном правом кватернионном q1 с двумя кваE пространстве H2 F Элементы H2 ! векторыEстолбцы q2 тернионными координатамиY умножение на числа @кватернионыA произE водится справаD а действие группы ! умножением слева на матрицу из нашей группыF Это действие сохраняет конус |q1 |2 - |q2 |2 = 0 и переносится на его проективизациюD которая изоморфна сфере S 3 F Явный вид последнего действия да?тся формулойX u (au + b)(cu + d)-1
Exercise

QS. ПроверьтеD что если |u| = 1 и матрица
1

ab cd



U (1, 1)D то (au + b)(cu + d)-

= 1F

Случай n = 4F Группа C onf4 = P O+ (1, 5; R) изоморфна другой проE ективной кватернионной группе P GL(2, H) = GL(2, H)/RЧ ћ 12 F Явная формула действия снова имеет вид дробноEлинейного преобE разования q (aq + b)(cq + d)-1 F Но теперь наша группа действует на кватернионной проективной прямой P1 (H) H R4 S 4 F


Глава S
Строгое определение ковра Аполлония

pF Основные факты
Рассмотрим четыре попарно касающихся круга D1 , D2 , D3 на двуE мерной сфере S 2 F Если мы удалим из сферы внутренние точки всех четыE р?х круговD то останется четыре криволинейных треугольникаF Впишем в каждый из них максимальный возможный круг и удалим его внутE ренние точкиF Вместо каждого криволинейного треугольника останется Q м? еньших треугольникаD а всего ! W треугольниковF Опять впишем в каждый из них максимальный возможный круг и удалим его внутренE ние точкиF Останется PU треугольниковF Продолжая этот процессD мы удалим из сферы сч?тное множество отE крытых круговF Оставшееся непустое компактное подмножество A имеет фрактальную природу и называется ковром Аполлония в честь древE негреческого математика Аполлония ПергскогоD жившего в sssEss столеE тиях до нашей эрыF Согласно сложившейся практикеD термином 4ков?р Аполлония4пользуются также для обозначения множества кругов @открытых и замкнутыхA и множества окружностейD участвующих в построении AF Кроме тогоD аналогичное построение можно было бы провести не на 2 сфереD а на R или на CY получаемое множество также именуется ковром АполлонияF ПосмотримD насколько различные формы может иметь ков?р АполE лония AF На первый взглядD различные выборы начальных четыр?х круE гов приводят к разным и не похожим друг на друга коврамF Тем не менееD все получаемые картины в определ?нном смысле эквивалентныF Чтобы понять этоD рассмотрим группу G = C onf2 конформных преE образований расширенной комплексной плоскости C @смF схолию pD @pFIPAAF
Exercise QT. ПокажитеD что любые две неупорядоченные четв?рки попарно касающихся кругов на сфере могут быть преобразованы одна в другую с помощью конформного отображенияF Hint. ПокажитеD что тройка попарно касающихся кругов на сфеE ре однозначно определяется тройкой точек касанияF Затем используйте предложение pFIF

Таким образомD с точностью до конформного преобразованияD сущеE ствует только один ков?р АполлонияF
VS


VT
Theorem

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

pFI

. Ков?р Аполлония

A

однозначно определяется любой

тройкой попарно касающихся кругов в н?м. (Другими словами, если два ковра Аполлония имеют общую тройку попарно касающихся кругов, то они совпадают.)

Утверждение теоремы выглядит достаточно очевидным и я рекоменE дую моим читателям попробовать придумать сво? собственное доказаE тельствоF ТоD которое придумал я и которое приводится нижеD довольно длинно и основано на специальной нумерации кругов в AF НумерацияD о которой ид?т речьD подсказывается самой процедуE рой построения AF ИменноD обозначим начальные четыре круга через 0 0 0 0 D1 , D2 , D3 , D4 и назов?м их кругами ранга HF ТреугольникиD образуюE щиеся после удаления внутренних точек четыр?х круговD назов?м треE угольниками ранга I и обозначим их T1 , T2 , T3 , T4 такD чтобы Ti не имел 0 общих точек с Di F Удобно представлять всю картину раскрашенной в 0 четыре цвета такD что Di и Ti покрашены в iEый цветF КругD вписанный в Ti D обозначается Di D называется кругом ранга I и раскрашивается в iEый цветF После выбрасывания из Ti всех внутренних точек круга Di D оста?тся Q треугольникаF Мы называем их треугольниE ками ранга PD и обозначаем их Tij , j = i такD чтобы Tij не имел общих точек с Dj F После этого раскрашиваем Tij в j Eый цветF Продолжая эту процедуру до бесконечностиD мы получаем сч?тное множество треугольников Ti1 i2 ...ik и кругов Di1 i2 ...ik D где k означает рангD а ik ! цветF Кроме тогоD выполняется правилоX
в последовательности

{i1 i2 . . . ik }

соседние цифры всегда различныF

Характерная особенность получающейся картины состоит в томD что любая четв?рка попарно касающихся кругов содержит круги всех четыE р?х цветовF Заметим такжеD что два круга одного цвета не имеют общих точек @смF РисF pFIAF Теперь мы верн?мся к доказательству теоремы и начн?м со следуюE щего утвержденияF
Lemma

кругов на

S

pFI. Пусть D, D , D , D четв?рка попарно касающихся 2 . Тогда, если три из них принадлежат какому-нибудь ковру

Аполлония

A

, то четв?ртый круг также принадлежит

A

.

Доказательство. ДопустимD что D , D , D принадлежат A и имеE ют нумерацию Di1 i2 ...ik , Di1 i2 ...ik , Di1 i2 ...ik соответственноF ЗаметимD что круги одного ранга k > 0 не могут касатьсяX они лежат в разных треE угольниках Ti1 i2 ...ik F Поэтому мы можем считатьD что k > k > k > 0D или k > k > k = 0D или k > k = k = 0D или k = k = k = 0F Сначала рассмотрим самый сложный случай k > k > k > 0F По построениюD круг Di1 i2 ...ik вписан в треугольник Ti1 i2 ...ik D который ограE ничен дугами границ тр?х кругов рангов l = k - 1 l l F Кроме тогоD все кругиD касательные к Di1 i2 ...ik D кроме тр?хD участвующих в границе


pF сноВныЕ фАКты

VU

D

+3

D

+

D

+2

D

(2)

D

(3)

D

-3

D

-

D

-2

Рис. F.1.

Нумерация кругов в прямоугольном ковре Аполлония

Ti1 i2 ...ik D имеют ранги больше k F Отсюда следуетD что l = k = k -1, l = k и три кругаD ограничивающие Ti1 i2 ...ik ! это Di1 i2 ...ik , Di1 i2 ...ik и некотоE рый круг Dj1 j2 ...jl A ранга меньше k F Круг D касается Di1 i2 ...ik , Di1 i2 ...ik и Di1 i2 ...ik F Поэтому для него есть две возможностиX либо он совпадает с Dj1 j2 ...jl иD следовательноD принадлежит AD либо он лежит в треугольнике Ti1 i2 ...ik и ограничен Di1 i2 ...ik , Di1 i2 ...ik и Di1 i2 ...ik Y тогда он совпадает с Di1 i2 ...ik i и также должен принадлежать AF Рассмотрение остальных случаев аналогичноD но проще и мы оставE ляем его как упражнениеF НапримерD в последнем случае D, D , D ! 00 0 три круга D1 D2 , D3 из начальной четв?ркиF Поэтому D совпадает лиE 0 бо с четв?ртым начальным кругом D4 D либо с D4 F


VV

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

Доказаельство теоремы. Пусть два ковра A и A имеют общую тройку попарно касательных круговF ПредположимD что их ранги в A равны l m nF Мы покажемD что A A используя индукцию по nF Для n = 0 мы можем считатьD что три общих круга ! это начальные 0 0 0 0 круги D1 , D2 , D3 для AF По лемме PD круг D4 принадлежит AD поскольE ку он касается тр?х кругов из A Таким образомD A содержит все круги ранга H из AF Покажем по индукцииD что он содержит все круги ранга n из AF ДействительноD если для рангов n - 1 это верноD то верно и для кругов ранга n D поскольку каждый такой круг касается тр?х кругов меньшего рангаF Верн?мся к первой индукцииF Допустим мы доказалиD что если три общих круга имеют ранги < n в AD то A AF Пусть теперь D, D , D ! три общих круга рангов k l < nF Из доказательства леммы pFI мы знаемD что среди круговD касающихся D, D , D D есть один ранга n - 1F Пусть это будет D F Тогда D, D , D образуют общую тройку попарно касающихся кругов ранга n - 1 и утверждение доказаноF ИтакD A AF Но условия теоремы симметричны относительно A и AF Поэтому A A иD следовательноD эти ковры совпадаютF

Lemma

ко если

pFP. m n,

Треугольник и ik

= jk

для

Ti1 i2 ...in содержится в T 1 k m.

j1 j2 ...j

m

если и толь-

Доказательство. Предположим противноеX m nF Наш второй треугольник по построению содержится в Tj1 j2 ...jn F ЗаметимD что треE угольники ранга I имеют две общие точкиD а треугольники ранга k > 1 могут иметь не более одной общей точкиF Поэтому первый треугольник содержится только в одном треугольнике ранга nF ЗначитD Ti1 i2 ...in = Tj1 j2 ...jn D то есть ik = jk для 1 k nF Но тогда второй треугольник соE держится в первом иD следовательноD они совпадаютF Мы показалиD что m nF Тогда первый треугольник содержится в Ti1 i2 ...im и в Tj1 j2 ...jm F Поэтому ik = jk для 1 k m и лемма доказанаF

Есть три наиболее симметричных выбора для начальной четв?рки попарно касательных кругов на плоскостиF Соответствующие ковры АполE лония показаны на РисF UD V AD V AF Для дальнейшего использованияD мы указываем для части кругов кривизну их границF Все эти ковры являются стереографическими проекциями наиболее симметричного ковра на сфере S 2 D порожд?нного тремя попарно касаюE щимися кругами одинакового размераF СмF РисF pFSF Есть также несколько других интересных реализаций ковра АполE лонияD из которых мы отметим двеF Их изучение использует некоторые свойства так называемых чисел ФибоначчиF


sxpy qF ИсЛА ИБонАччИ

VW

Рис. F.2.

Ков?рEлента

Рис. F.3.

Прямоугольный ков?р

snfo qF Числа Фибоначчи
Знаменитый итальянский математик Леонардо ПизанскийD известE ный также под именем ФибоначчиD жил в IQEом столетииF Среди прочих вещейD он исследовал последовательность целых чисел {k }D удовлетвоE ряющую рекуррентному уравнению @qFIA



k+1

= k +

k -1

и начальному условию 1 = 2 = 1F Она выглядит следующим образомX nX EU ET ES ER EQ EP EI H I P Q R S T U n X IQ EV S EQ P EI I H I I P Q S V IQ


WH

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

Рис. F.4.

Треугольный ков?р

Рис. F.5.

Сферический ков?р

Позднее эти числа появлялись во многих алгебраических и комбинаE торных задачах и получили имя числа ФибоначчиF Мы коротко опиE шем основные факты из теории таких последовательностейF Рассмотрим совокупность V всех двусторонних последовательностей {vn }nZ D удовлетворяющих рекуррентному уравнению вид @qFIAD то есть vn+1 = vn + vn-1 F Это ! вещественное векторное пространствоD в котором операции сложения и умножения на число определены покомпонентноX

(v + w)n = vn + wn ,

(c ћ v )n = c ћ vn .


sxpy qF ИсЛА ИБонАччИ

WI

Размерность этого пространства равна PD поскольку каждая послеE довательность из V однозначно определяется своими начальными значеE ниями и эти значения можно выбирать произвольноF Мы можемD следоE вательноD рассматривать v1 , v2 последовательности {vn }F НапримерD поE следовательность ФибоначчиD как точка из V D имеет координаты (1, 1)F Другая известная последовательность чисел Люк? имеет координаты (1, 3)F Пусть T означает преобразование пространства V D переводящее поE следовательность {vn } в последовательность {vn+1 } @также принадлеE жащую V D ! проверьте3AF Наглядный смысл T ! сдвиг всей последоваE тельности на один номер влевоF Это ! линейный оператор в пространстве V F Найд?м спектр этого оператораF Если число принадлежит спектруD то для некоторой ненуE левой последовательности {vn } мы имеем vn+1 = ћ vn для всех n ZF Отсюда vn = c ћ n , c = 0, и рекуррентное условие да?т квадратное уравE нение на : 2 = + 1F Мы видимD что спектр состоит из двух чиселX 1- 5 1+ 5 -1 1.618... и - = = 1 - -0.618... = 2 2 Первое из них получило специальное название золотого сеченияD поскольку прямоугольник с таким отношением сторон считается наибоE лее приятным для человеческого глазаF Для использования в дальнейшемD мы введ?м также величины

3+ 5 c= = =+1 и = 2
2

=

1+ 5 . 2

Собственные векторы грессиями vn = n и vn = базис в пространстве V F нейной комбинацией v и быть записано как

оператора T являются геометрическими проE (-)-n F Они линейно независимы и образуют Поэтому каждый вектор v V является лиE v F В частностиD nEое число Фибоначчи может для подходящих и .
1 +-1

n = ћ n + ћ (--1 )n

Из начальных условий 1 = 2 = 1 мы находим = - = Поэтому @qFPA

=

1 5

.

2k - -2k ck - c-k 2k+1 + -2k-1 ck+ 2 + c- 2k = = ; 2k+1 = = 5 5 5 5 ОбратноD @qFQA 2n+1 + 2n-1 + 2n 5 n n n+1 + n-1 - n 5 n = (-1) ; c= . 2 2 Отметим такжеD что -2n = -2n ; -2n-1 = 2n+1 F

1

k-

1 2

.


WP

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

Рис. 5.6.

Четв?рки q1 и c ћ q

1

Отсюда следуетD что @qFRA

n n 5

и

n

lim

n+1 = . n

Числа Люк? даются ещ? более простой формулойX Ln = n + (-)-n F Они выглядят такX

nX EU ET ES ER EQ EP EI H I P Q R S T U F Ln X PW IV EII U ER Q EI P I Q R U II IV PW

SFPF Ковры с неограниченными размерами кругов
Рассмотрим четв?рку q1 попарно касающихся кругов на расширенE ной плоскостиD один из которых является нижней полуплоскостьюD а остальные три имеют кривизны граничных окружностейD образующие геометрическую прогрессиюF Запишем четыре кривизны в форме 0 < x-1 < 1 < xF Из уравнения Декарта следуетD что число x удовлетворяет уравнению @SFPFIA (x + 1 + x-1 )2 = 2(x2 + 1 + x-2 ), или

x2 - 2(x + x-1 ) + x-2 = 1.

Полагая y := x + x-1 D мы получаем квадратное уравнение для y : y 2 - 2y -3 = 0F Оно имеет два корняX I и QF Только второе значение y приводит к вещественному значению xF А именноD x = 3+2 5 = 3-2 5 D что совпадает с величиной cD введенной в схолии qF Ков?р A1 D порожд?нный четв?ркой q1 D имеет следующее свойствоX после растяжения в c раз он переходит в сво? зеркальное отражение в вертикальной прямойF А если его растянуть в c2 разD он переходит в ков?рD получаемый из начального параллельным переносом в горизонE тальном направленииD ! смF РисF SFUF Это легко вывести из тогоD что ков?р A1 инвариантен относительно преобразования w -cwF ПоследE ? нее свойство вытекает из тогоD что A1 и -c ћ A1 имеют три общих попарно касающихся кругаF В частностиD ков?р A1 содержит последовательность кругов Dk с кривизнами границ ck , k Z. Соответствующие круги задаются нераE венствами @SFPFPA

ck w + (-1)k

2 5

+i 1


SFPF КоВры с нЕоГрАнИчЕнныМИ рАЗМЕрАМИ КруГоВ

WQ

c-2 c-1

1 c c2
Рис. 5.7.

Ков?р A

1

Рис. 5.8.

Образ ковра A1 в ковреEленте

а соответствующие эрмитовы матрицы имеют вид

Mk =
@SFPFQA

Каждое из равенств @SFPFPA и @SFPFQA имеет следствием тот фактD что преобразование w -c ћ w переводит Dn в Dn-1 иD следовательноD соE ? храняет ков?р A1 F
Exercise QU. Найти матрицу g S L(2, C)D которая переводит ков?р A1 в ков?рEлентуF Hint. Найдите матрицу g D которая сохраняет вещественную ось и переводит круг D0 в горизонтальную прямуюF ПокажитеD что образы g ћ Dk расположены как на РисF SFVF

qFA

2 - i(-1)k (-)-k 0 (-)k 0 5 ћ ћ k 0 1 0 k где := c 1.618034.. ! знаменитое золотое сечение @смF схолию

4 -k 5c 2 (-1)k 5 + i 4 5 2 + i(-1)k 5

2 (-1)k 5 - i ck

=

Другой интересный ков?р A2 с неограниченными кривизнами можно определить такF Попробуем найти четв?рку попарно касающихся кругов q2 D для которой все четыре кривизны образуют геометрическую прогресE сию (1, , 2 , 3 )D где для определ?нности > 1F Из уравнения Декарта


WR

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

c

-2

c

-2

c

-1

c 1 c
Рис. 5.9.

-1

1
c
2

c
1

Ковры A1 и c ћ A

получаемX @SFPFRA

(1 + + 2 + 3 )2 = 2(1 + 2 + 4 + 6 ).
или
-1

Упрощая это уравнениеD перепишем его в форме

0 = 1-2-2 -43 -4 -25 +6 ,

4+(+

)+2(2 +
-1

-2

) = (3 +

-3

).

Введ?м новую неизвестную величину u = +

и получим

или u3 - 2u2 - 4u = 0. Это уравнение имеет три корняX u = 0, 1 - 5, 1 + 5F Только последний корень да?т вещественное значение для D которое равно

4 + u + 2(u2 - 2) = (u3 - 3u),

= +

= 2 + 2.890054...;



-1

= -

= 2 - 0.346014....

Так жеD как и в предыдущем примереD начальные круги включаются в бесконечную двустороннюю последовательность Dk D образующую спиE ральF Когда k -D спираль стремится к некоторой конечной точке aF Если мы возьм?м a в качестве начала координатD наша спираль будет инвариантна относительно умножения на некоторое комплексное число с || = F Обозначим аргумент через 2F Тогда соответствующие матрицы Mk должны иметь вид @SFPFSA

ak Mk = ? -2ik be



be2ik , c-k

ac - |b|2 = -1.

УсловиеD что круги Dk и Dk+m касаютсяD имеет вид det(Mk + Mk+m ) = 0F Это условие в действительности не зависит от k и равносильно уравнеE нию m + - m + 2 |b|2 = im . ac e + e-im + 2 Положим s = 1 log F Тогда правая часть уравнения будет 2

1 + cosh 2ms = 1 + cos 2m

cosh ms cos m

2

.


SFPF КоВры с нЕоГрАнИчЕнныМИ рАЗМЕрАМИ КруГоВ

WS

Мы знаемD что D0 касается Dm для m = 1, 2, 3. Таким образомD спраE ведливы равенства @SFPFTA

cosh s cosh 2s cosh 3s |b| = = = . | cos | | cos 2| | cos 3| ac

Поскольку cosh 3s = cosh s (2 cosh 2s - 1) и cos 3 = cos (2 cos 2 - 1)D мы заключаемD сравнивая второй и последний члены в @SFPFTAD что 2 cosh 2s - 1 = |2 cos 2 - 1|F Это возможно лишь при 2 cos 2 - 1 < 0. ПоэтомуD мы получаем 2 cosh 2s - 1 = 1 - 2 cos 2D или cosh 2s = 1 - cos 2D что возможно лишь при cos 2 0. Используя соотношение cosh 2s = 1 - cos 2D мы получаемD сравнивая второй и третий членыD

cosh s = +

cos ћ (1 - cos 2) . cos 2
2

Теперь тождество 2 cosh2 s = cosh 2s + 1 приводит к уравнениюX

2

cos ћ (1 - cos 2) cos 2

= 2 - cos 2.

Обозначим cos 2 через x и перепишем уравнение в алгебраической форE меX (x + 1)(1 - x)2 = 2-x, или (x+1)(1-x)2 = 2x2 -x3 , или 2x3 -3x2 -x+1 = 0. x2 Оно имеет корень x = 1/2 и это позволяет нам переписать его в простой форме (2x - 1)(x2 - x - 1) = 0F Таким образомD другие два корня ! это и --1 = 1 - F Только один из тр?х корней отрицателенX x = --1 F Окончательно получаем cos 2 = --1 , cosh 2s = F СледовательE ноD + -1 = 2 и = + 2 - 1 = 2 + F Заодно мы получаем |b| = 2 D поэтому ac @SFPFUA

-2 2 |b|2 = , ac = . 5 5 Таким образомD мы знаем матрицы Mk с точностью до комплексного сопряженияD а также сопряжения диагональной матрицейF ГеометричеE скиD это значитD что мы знаем ков?р A2 с точностью до поворотовD расE тяжений и отражений в прямой линииF В частностиD можно положить
@SFPFVA

1 Mk = 4 5

-1 ћ k ћ e2ik ћ e2ik -1 ћ -k 1+2 5 5

так что @SFPFWA

D0 =

w

1 w+1+ 5

.


WT

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

1

2




Рис. 5.10.

-1

Ков?р A

2

ДалееD найд?м число D определ?нное с точностью до комплексного сопряженияF Мы имеем

2 sin2 = 1 - cos 2 = и 2 cos2 = 1 + cos 2 = 1 - -1 = -2 .
ПоэтомуD sin2 = -1 и sin 2 = +-1 F Таким образомD мы имеем e2 cos 2 + i sin 2 = --1 + i-1 F НаконецD @SFPFIHA
i

=

= e2

i

= -(1 +

-1

)(1

i).

Соответствующая картинка показана на РисF SFIHF

SFQF Три интерпретации множества D
Символом R1,3 обычно обозначают REмерное вещественное векторное пространство с координатами t, x, y , z и с индефинитнымI скалярным произведением @SFQFIA

(p1 , p2 ) = t1 t2 - x1 x2 - y1 y2 - z1 z

2

В физической литературе это пространство называют пространством Минковского в честь замечательного немецкого математика и физика Германа МинковскогоF Вектор p R1,3 называется времениEподобнымD световым или пространственноEподобнымD если его квадрат положителенD равен
вектора может быть и положительным и отрицательнымF
IСкалярное произведение называют индефинитнымD если скалярный квадрат


SFQF рИ ИнтЕрпрЕтАцИИ МноЖЕстВА D

WU

нулю или отрицателенF Световые векторыD кроме тогоD делятся на векE торы будущегоD для которых t > 0 и векторы прошлогоD для которых t < 0F Физический смысл вектора p ! это событиеD которое происходит в момент времени t в точке (x, y , z ) R3 F Физики называют полной группой Лоренца L группу всех линейE ных обратимых преобразований пространства R1,3 D сохраняющих скаE лярное произведение @SFQFIAF Эта группа состоит из четыр?х связных компонентY та из нихD которая содержит единицуD сама является группой и называется собственной группой Лоренца L0 F В математических текстах те же группы обозначаются O(1, 3) и S O+ (1, 3) соответственноF коны инвариантны относительно собственной группы ЛоренцаF

Принцип Относительности утверждаетD что все физические заE

АлгебраическиD элементы g O(1, 3) задаются вещественными матE рицами ||gi,j || формата 4 Ч 4D у которых строки @столбцыA ! попарно ортогональные векторы из R1,3 такиеD что первая строка @первый столE бецA имеет скалярный квадрат ID а остальные строки @столбцыA имеют скалярный квадрат -1F P Мы кратко напомним фактD объясняемый в схолии pX матрица g O(1, 3) принадлежит собственной группе ЛоренцаD если выполнены два дополнительных условияX det g = 1 и g0,0 > 0F Теперь мы покажемD как использовать пространство Минковского для параметризации множества D всех кругов на двумерной сфереF Каждый круг на S 2 можно определить как пересечение S 2 с подхоE дящим полупространством Hu, D задаваемым линейным @неоднороднымA неравенством @SFQFPA H
u,

= {v R

3

(u, v ) + 0} где u S

2

и (-1, 1).

Вместо пары (u, ) S 2 Ч (-1, 1) мы можем использовать один пространственноEподобный вектор p = (t, x, y , z ) R1,3 D задаваемый формулой 1 ћ ( , u). p= 1 + 2 В терминах этого вектора полупространство Hu, принимает вид @SFQFQA

H p = {v R

3

xv 1 + y v 2 + z v 3 + t 0}.

ЯсноD что Hp1 = Hp2 тогда и только тогдаD когда p1 = cћp2 для некоторого c > 0. Поэтому мы можем и будем нормализовать p условием |p|2 = -1F ИтакD множество D кругов на сфере отождествляется с множеством P-1 всех пространственноEподобных векторов p R1,3 с |p|2 = -1F ХоE рошо известноD что P-1 ! однополостный тр?хмерный гиперболоид в R4
ортогональны и имеют длину IF
PСравните со свойством ортогональных матрицX их строки @столбцыA попарно


WV

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

и что группа L0 S O+ (1, 3; R) действует транзитивно на н?мF СтабиE лизатором точки (0, 0, 0, 1) является группа S O+ (1, 2; R)D естественно вложенная в S O+ (1, 3; R)F Это и есть первая интерпретация множества DF QV. ПокажитеD что гиперболоид P уравнением |p|2 = -1D диффеоморфен S 2 Ч RF
Exercise Hint.

-1

R

1 ,3

D определ?нный

Вспомните о параметрах u, введ?нных вышеF

Вторая интерпретация множества D использует комплексные матриE цы второго порядкаF Мы начн?м с неравенства @pFIA и построим из его ab коэффициентов матрицу M = ? F bc НапомнимD что мы наложили на коэффициенты a, b, c условие ac - |b|2 < 0F Поэтому M E эрмитова матрица с отрицательным определиE телемF Снова мы можем и будем нормализовать эту матрицу условием det M = -1F Таким образомD множества D отождествляется с совокупностью H-1 всех эрмитовых матриц M формата 2 Ч 2 с det M = -1F
Exercise QW. заны следующим a матрица M = ? b

ПокажитеD что две построенные интерпретации свяE образомX вектору p = (t, x, y , z ) R1,3 соответствует b с c

@SFQFRA
Hint.

a = t - z,

b = x + iy ,

c = t + z.

Сравните @pFSA и @pFIUAF

Третья интерпретация описывает D как однородное пространствоF Мы уже знаемD что группа G = P S L(2, C) действует на C дробноE линейными преобразованиямиF Более тогоD согласно предложению pFPD G действует на DF С другой стороныD группа S L(2, C) действует на множестве H эрмиE товых матриц второго порядка по правилуX @SFQFSA

g:

M gM g.

Это действие сохраняет определитель матрицы иD следовательноD переE водит в себя множество H-1 эрмитовых матриц с определителем -1F @ФактическиD ! это действие группы GD поскольку центр C группы S L(2, C) действует тривиальноFA
Theorem

SFP.

Существует гомоморфизм

: S L(2, C) L0

S O0 (1, 3; R)

такой, что следующая диаграмма коммутативна:


SFQF рИ ИнтЕрпрЕтАцИИ МноЖЕстВА D

WW

G p S L(2, C) L0
Здесь

Ч

D H P
-1

-- --

D
1

Ч

- - H- -- -- P --

Ч

-1

-1
на

p

означает естественную проекцию

S L(2, C)

P S L(2, C)

G

,

а горизонтальные стрелки означают действие группы на множестве.

Мы оставляем читателю проверку деталейD но привед?м явную форE мулу для гомоморфизма F
Exercise

RH. ПокажитеD что гомоморфизм да?тся формулойX
2



? ab ? e(ac + bd) = ? cd ? sm(ac + bd)
Remark

|a|2 +|b|2 +|c|2 +|d| 2

|c|2 -|a|2 -|b|2 +|d| 2

2

e(a? + b ? e(ad + ? sm(ad + e(cd - ?

? cd) bc) ? bc) ? ab) ?

sm(ab ? sm(ad ? e(ad ? sm(cd ?

+ - - -

cd) ? ?) bc ?) bc ab) ?

|b|2 -|a|2 -|c|2 +|d| 2

2



|a|2 -|b|2 -|c|2 +|d| 2

? e(bd - ac) ? . ? sm(bd - ac) ?
2

S. Обратное отображение S O+ (1, 3; R) P S L(2, C) также определеноD но поднять его до отображения в S L(2, C) можно только с точностью до знакаF Это ! так называемое спинорное представление группы S O+ (1, 3; R)F В частностиD все попарные произведения матричных элементов вида 2aa, 2a? ... и тFдF однозначно определены и приводятся в таблицеX ? b,
2a 2b 2c 2d a ? g00 -g03 -g30 +g33 g01 -g31 +i(g02 -g32 ) g10 -g13 +i(g23 -g20 ) g11 +g22 +i(g12 -g21 ) ? b g01 -g31 +i(g32 -g02 ) g00 +g03 -g30 -g33 g11 -g22 -i(g12 +g21 ) g10 +g13 -i(g20 +g23 ) c ? g10 -g13 +i(g20 -g23 ) g11 -g22 +i(g12 +g21 ) g00 -g03 +g30 -g33 g01 +g31 +i(g02 +g32 ) ? d g11 +g22 +i(g21 -g12 ) g10 +g13 +i(g20 +g23 ) g01 +g31 -i(g02 +g32 ) g00 +g03 +g30 +g33


Exercise RI. Опишите образ при гомоморфизме следующих подE групп группы GX A P GL(2, R)Y A P S U (2, C)Y A P S U (1, 1; C)F rintX Используйте тот фактD что все эти подгруппы являются стаE билизаторами некоторых векторовF ОтветыX A P GL(2, R) = S tab (0, 0, 1, 0) S O+ (1, 2; R)Y A P S U (2, C) = S tab (1, 0, 0, 0) S O(3, R)Y A P S U (1, 1; C) = S tab (0, 0, 0, 1) S O+ (1, 2; R)F

Интересной проблемой является сравнение Eобраза подгруппы S L(2, Z+ iZ) S L(2, C) с подгруппой S O+ (1, 3; Z) S O+ (1, 3)F


IHH

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

SFRF Обобщ?нная теорема Декарта
Пусть Di , 1 i 4, ! четыре попарно касающихся круга на сфеE реF Обозначим через pi соответствующие пространственноEподобные векE торы с |pi |2 = -1D и через Mi соответствующие эрмитовы матрицы с det Mi = -1F
Lemma SFQ. Круги D1 и D2 касаются тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:

a) p1 + p2 световой p2 имеет положительную t tr (M1 + M2 ) > 0.

вектор будущего; -координату; c)

b) (p1 , p2 ) = 1 и p1 + det (M1 + M2 ) = 0 и

Доказательство. Сначала мы покажемD что ориентированные окружE ности Ci = Di , i = 1, 2, отрицательно @соответственноD положительноA касаются тогда и только тогдаD когда |p1 + p2 |2 = 0D илиD что эквивалентE ноD когда det(M1 + M2 ) = 0F Используя подходящее М?биусово преобразованиеD мы можем предE полагатьD что C1 ! это вещественная ось со стандартной ориентациE ейF Соответствующие вектор и матрица имеют вид p1 = (0, 0, -1, 0) 0 -i и M1 = F i0 Пусть C2 ! ориентированная окружностьD касающаяся C1 F ОбознаE c чим точку касания через aF Тогда преобразование w a-w с вещеE ственным параметром c сохраняет C1 и при подходящем c переводит C2 в горизонтальную прямую 2i + R с некоторой ориентациейF СоответствуE 2 -i ющие вектор и матрица будут p2 = +(1, 0, -1, 1) и M2 = + D i0 где знак плюс соответствует стандартной ориентацииD а минус ! протиE воположнойF Мы видимD что условия леммы выполняютсяF ОбратноD если условия леммы выполняютсяD то мы можем сделать такое преобразование М?биусаD что векторы p1 и p2 примут указанную выше формуF Тогда данные окружности касаются нужным образомF Доказательство леммы следует той же схемеF Заметим толькоD что знак координаты t для световых векторов сохраняется под действием группы G и то же самое справедливо для следа trM D если det M = 0F

Верн?мся к теореме ДекартаF Рассмотрим матрицу Грама скалярных произведений векторов pi F Согласно лемме SFQD она да?тся формулойX @SFRFIA

Gij := (pi , pj ) = 1 - 2ij .

Хорошо известноD что определитель матрицы Грама равен квадрату опреE делителя матрицыD составленной из координат этих векторовF То же саE мое верно с точностью до знака и в псевдоEевклидовом пространствеD напримерD в R1,3 F


SFRF БоБщ?ннАя тЕорЕМА ДЕКАртА

IHI

В нашем случае квадрат матрицы G равен 4 ћ 1 и det G = 16F Отсюда следуетD что векторы pi линейно независимы иD следовательноD образуют базис в R1,3 F Для любого вектора v R1,3 мы определим два сорта координатX ћ ковариантные координаты vi D ћ контравариантные координаты v j по формулам
4

@SFRFPA

vi = (v , pi );

v=
j =1

v j ћ pj .

Найд?м соотношения между этими координатамиF Подставляя втоE рое равенство @SFRFPA в первое и учитывая @SFRFIAD мы выводимX
4 4 4

@SFRFQA

vi =
j =1

v j ћ pj , p i =
j =1

Gij v j =
j =1

v j - 2v i .
4 j =1 vi 4 j =1

2

Суммируя последнее равенство по iD мы получаемX 4 4 j j j =1 v = 2 j =1 v иD окончательно

=4

vj -

@SFRFRA

1 v= 2
j

4 j =1

1 vi - vj . 2

Из @SFRFQA мы также выводим выражение для |v |2 в терминах координатX


@SFRFSA


j j

2

|v | =

2

v -2
j

(v )

j2

1 = 4

2

vi
i

-

1 2

2 vi . i

Отсюда следуетD что для любого светового вектора v мы имеем раE венство
2

@SFRFTA
i

vi

-2
i

2 vi = 0.

ПоложимD в частностиD v = (1, 0, 0, -1)F Тогда vi = (v , pi ) = ti + zi = ci и @SFRFTA да?т в точности утверждение теоремы ДекартаF Если же полоE жить v = (1, 0, 0, 1)D то мы получим
4 2 4

ai
i=1

=2
i=1

a2 . i

Тот же подход позволяет доказать большеF


IHP

SF троГоЕ опрЕДЕЛЕнИЕ КоВрА АпоЛЛонИя

Theorem SFQ. (Обобщ?нная теорема Декарта) Матрицы Mi , отвечающие четыр?м попарно касающимся кругам, удовлетворяют соот-

ношению

2

@SFRFUA
i

M

i

-2
i

Mi2 = -8 ћ 1.

Доказательство. Введ?м скалярное произведение в пространстве эрмитовых матриц формата 2 Ч 2D соответствующее квадратичной форме Q(M ) := det M F Явный вид этого произведения такойX

@SFRFVA

(M1 , M2 ) =

det (M1 + M2 ) - det M1 - det M2 . 2

- В частностиD мы имеемX (M , 1) = det (M +1)2 det M -1 = 1 tr M F 2 Напомним также тождество КэлиD справедливое для любых матриц и в случае матриц порядка P имеющее вид

@SFRFWA

M

2

- M ћ tr M + det M ћ 1 = 0.

Пусть теперь M1 , M2 , M3 , M4 ! четыре эрмитовых матрицыD соотE ветствующие четыр?м попарно касающимся кругам и нормализованные условием det Mi = -1F Тогда @SFRFWA принимает вид @SFRFIHA Введ?м обозначенияX
i=4 i=4

Mi2 = Mi ћ tr Mi + 1.

1 :=
i=1

Mi ,

2 :=
i=1

Mi2 .

Мы видели вышеD что (Mi , Mj ) = (pi , pj ) = 1 - 2ij F В частностиD отE сюда следуетD что (1 , Mi ) = 2 и (1 , 1 ) = 8F ДалееD взяв скалярное произведение обоих частей равенства @SFRFIHA с Mj и суммируя по iD мы получаем @SFRFIIA

(2 , Mj ) = tr 1 .

С другой стороныD мы имеем 2 = 1 ћ tr 1 - 8 ћ 1. Взяв опять скаE 1 лярное произведение с Mj D мы получим @SFRFIPA

(2 , Mj ) = 2tr 1 4tr Mj . 1
или

Вычитая из @SFRFIPA удвоенное @SFRFIIAD окончательно получаем

(2 - 22 , Mj ) = -8(1, Mj ), 1

(2 - 22 + 8 ћ 1, Mj ) = 0. 1

Поскольку матрицы Mi образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц второго порядкаD мы получаем искомое равенство @SFRFUAF Соотношение @SFRFUA можно рассматривать как матричную форму теоремы ДекартаF Оно да?т нам информацию не только о радиусах каE сающихся круговD но и об их взаимном расположенииF Отметим одно следствиеD полезное в вычисленияхF


SFRF БоБщ?ннАя тЕорЕМА ДЕКАртА

IHQ

1

1

4
25
Рис. 5.11.

16

9

9

16

25

Квадратичные последовательности кривизн

Theorem SFR. Пусть D+ и D- два касающихся круга на плоскости. Предположим, что некоторая последовательность кругов {Dk }, k Z, обладает следующим свойством: каждый круг Dk касается данных кру-

гов

D+ , а также соседних кругов Dk+1 . Тогда последовательность соответствующих эрмитовых матриц
зависит квадратично от параметра

{Mk }, k Z,
@SFRFIQA

k

:

Mk = A ћ k 2 + B ћ k + C

M1 - M- 1 , C = M0 . 2 Иллюстрации к этой теореме вы можете видеть на РисF SFII и TFSF
где

A = M+ + M- , B =



Глава T
Арифметические свойства ковров Аполлония

Мы рассмотрим здесь некоторые теоретикоEчисловые вопросыD возE никающие при изучении кривизн граничных окружностей для круговD составляющих данный ков?р АполлонияF

TFIF Целочисленные решения уравнения Декарта
Сначала рассмотрим арифметические свойства множества решений уравнения Декарта @RFIFQAF Сделаем замену переменныхX

c0 + c1 - c2 - c3 c0 + c1 + c2 + c3 , x= , 2 2 @TFIFIA c0 - c1 + c2 - c3 c0 - c1 - c2 + c3 y= , z= . 2 2 Тогда мы получимX t= (c0 + c1 + c2 + c3 )2 - (c2 + c2 + c2 + c2 ) 0 1 2 3 2 и уравнение @RFIFQA примет вид t2 - x2 - y 2 - z 2 =
@TFIFPA

t2 - x2 - y 2 - z 2 = 0.

Другими словамиD решения уравнения Декарта в новых координатах явE ляются световыми векторами в пространстве МинковскогоF
Lemma

TFI.

ствуют целочисленным световым векторам в векторам с целыми координатами.

Целочисленные решения уравнения Декарта соответR1,3 , то-есть, световым

Доказательство. Из @RFIFQA ясноD что суммы c0 + c1 + c2 + c3 приE нимают всегда ч?тные значенияF Поэтому каждому целочисленному реE шению @RFIFQA соответствует световой вектор с целыми координатамиF ОбратноD из @TFIFPA следуетD суммы t + x + y + z всегда ч?тныF Поэтому из равенств t+x+y+z t+x-y-z c0 = , c1 = , 2 2 t-x+y-z t-x-y+z c2 = , c3 = 2 2 мы выводимD что каждый целочисленный световой вектор соответствует целочисленному решению @RFIFQAF

IHS


IHT

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

Таким образомD мы приходим к задачеX
Problem

R

1 ,3

F

V. Описать множество целых точек на световом конусе в

Решение аналогичной задачи для рациональных точек хорошо изE вестно и довольно простоF Каждой рациональной точке (t, x, y , z ) свеE тового конуса соответствует рациональная точка x , y , z единичной ttt сферы S 2 F Стереографическая проекция на C переводит эту точку в x+iy 1 t-z P (Q[i])F ОбратноD любая рациональная точка (r + is) P 1 (Q[i]) происходит из рациональной точки

2r , 2 + s2 + 1 r

2s , 2 + s2 + 1 r

r2 + s2 - 1 r2 + s2 + 1



S2.

k Полагая r = n , s = m D мы видимD что каждый целочисленный световой n вектор пропорционален @но не обязательно равен3A вектору вида

@TFIFQA

t = k 2 + m2 + n 2 ,

x = 2k n,

y = 2mn,

z = k 2 + m2 - n

2

с целыми k , m, nF ЗаметимD что для каждого целочисленного светового вектора p все его кратные np, n Z, ! также целочисленные световые векторыF ПоE этому мы можем ограничиться изучением примитивных векторовD для которых наибольший общий делитель его координат равен IF
Lemma

TFP.
.

Каждый примитивный целочисленный световой век-

тор имеет неч?тную координату среди

t

и ровно одну неч?тную координату

x, y , z

Если t ч?тноD то x2 + y 2 + z 2 делится на RF ПоE скольку каждый квадрат имеет вычет 0 или 1 mod 4D мы видимD что все координаты x, y , z должны быть ч?тныF Но тогда p не примитивенF Если t неч?тноD то x2 + y 2 + z 2 1 mod 4F Отсюда следуетD что в точности одно из чисел x, y , z неч?тноF
Доказательство. Problem W. Найти удобную параметризацию всех примитивных цеE лочисленных световых векторовF

НапримерD допустимD что t, z неч?тныD а x, y ! ч?тныF Верно лиD что в этом случае имеет место равенство @TFIFQAc Теперь рассмотрим подгруппу группы ЛоренцаD которая сохраняет множество целочисленных световых векторовF RP. ПокажитеD что совпадает с подгруппой S O+ (1, 3; Z)D состоящей из целочисленных матриц в S O+ (1, 3; R)F
Exercise

Пусть g F ПокажитеD что сумма и разность любых двух столбцов g является целочисленным векторомF ПокажитеD что целочисE ленный световой вектор имеет хотя бы одну ч?тную координатуF
Hint.


sxpy rF труКтурА нЕКоторых ГруппD пороЖД?нных отрАЖЕнИяМИ

IHU

Таким образомD группа действует на множестве целочисленных световых векторов и сохраняет множество P примитивных векторовF
Exercise RQ. A Найдите индекс подгруппы P S L(2, Z[i]) в P GL(2, Z[i])F A Каковы образы этих подгрупп в O+ (1, 3; R)c Exercise RR. ПоказатьD что введенный выше гомоморфизм : P GL(2, C) S O+ (1, 3; R) может быть продолжен до гомоморфизма : G O+ (1, 3; R)F Hint. ПоказатьD что диагональная матрица dig (1, 1, -1, 1) может быть выбрана в качестве образа комплексного сопряжения s при гомоE морфизме F Problem

IH. Описать Eорбиты в P F

snfo rF Структура некоторых группD порожд?нных отражениями
Теория группD порожд?нных отражениями ! большая и очень инE тересная область современной математикиF Мы привед?м здесь только несколько фактов из этой теорииD которые нужны нам в связи с ковром АполлонияF Сначала мы опишем структуру так называемой свободной группы Fn с n образующими x1 , x2 , . . . , xn F Эта группа однозначно определяется следующим свойством универсальностиF Для любой группы G с n образующими y1 , y2 , . . . , yn существует и единствен гомоморфизм : Fn G, для которого (xi ) = yi , 1 i n. Это определение имеет много достоинств @как мы увидим нижеAD но не является эффективнымF Единственность такой группы легко вывоE дится из определенияF В самом делеD предположимD что имеются две такие группыX Fn с образующими x1 , x2 , . . . , xn и Fn с образующими x1 , x2 , . . . , xn F ТогдаD из свойства универсальности мы выводимD что суE ществуют гомоморфизмы : Fn Fn и : Fn Fn такиеD что (xi ) = xi и (xi ) = xi F Рассмотрим композицию F Это ! гомоE морфизм Fn на себяD сохраняющий образующиеF Согласно свойству униE версальностиD такой гомоморфизм должен быть тождественнымF То же самое верно для композиции F СледовательноD Fn и Fn изоморфныF Покажем теперьD что группа с искомым свойством действительно существуетF Для этого мы рассмотрим совокупность Wn всех слов в алE фавите x1 , x-1 , . . . , xn , x-1 D удовлетворяющих условиюX n 1

( )

Буквы

xi

и

x- i

1

не могут стоять рядом.

Обозначим через l(w) длину слова wD тоEесть число букв в этом словеF (k ) (0) Пусть Wn означает множество слов длины k в Wn F ЯсноD что Wn (1) содержит только пустое словоD а Wn состоит из 2n однобуквенных слов ! образующих и обратных к нимF
Exercise

RS. ПокажитеD что #(W

(k ) n

) = 2n(2n - 1)k

-1

для k 1.


IHV

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

Мы хотим определить на Wn структуру группыF Для этого мы опреE делим произведение двух слов w1 , w2 индуктивно по длине первого соE множителяF А именноD если l(w1 ) = 0D мы полагаем w1 w2 := w2 F Теперь предположимD что произведение уже определено для всех пар w1 , w2 с l(w1 ) < k D и рассмотрим случай l(w1 ) = k 1F Пусть последней буквой слова w1 является xi 1 , 1 i n, 1 = +1D а первой буквой слова w2 является xj2 , 1 j n, 2 = +1F Если i = j или i = j, 1 + 2 = 0D мы определяем произведение w1 w2 просто приписывая слово w2 справа к слову w1 F Это новое слово имеет длину l(w1 ) + l(w2 ) и удовлетворяет условию ( )F Если же i = j и 1 + 2 = 0D мы обозначим через w1 @соответственноD ~ через w2 A словоD получаемое из w1 отбрасыванием последней буквы @соE ~ ответственноD словоD получаемое из w2 отбрасыванием первой буквыAF После этого мы полагаем w1 w2 := w1 w2 F ~~ НапримерD если w1 = x1 , w2 = x-1 x2 D то w1 = , w2 = x2 и w1 w2 = x2 F ~ ~ 1 Из этого определения легко выводитсяD что всегда l(w1 w2 ) l(w1 ) + l(w2 ) и l(w1 w2 ) l(w1 ) + l(w2 ) mod 2F Теперь мы должны проверитьD что Wn действительно является групE пой относительно введенной операции умноженияF Это значитD что нужE но проверить ассоциативность умноженияD наличие единичного и обратE ного элементаF Первое делается опять индукцией по длине среднего соE множителяY роль единичного элемента играет пустое словоD а обратный элемент получаетсяD если написать данное слово в обратном порядке и заменить все показатели на противоположныеF ТрадиционноD этот труд поручается читателюF Проверим теперьD что построенная таким образом группа обладаE ет свойством универсальностиF Пусть G ! любая группаD порожд?нная x1 , x2 , . . . , xn F Тогда существует единственный гомоморфизм : Wn G такойD что ({xi }) = xi F @Здесь {xi } означает однобуквенное слоE 1 2 k воAF А именноD слово w = xi1 xi2 . . . xik обязано переходить в (w) = 1 2 k xi1 ћ xi2 ћ ћ ћ ћ ћ xik D где знак ћ означает умножение в группе GF С другой стороныD легко проверитьD что определ?нное таким образом отображение является гомоморфизмом Wn на GF Мы доказали существование свободной группы Fn и заодно доказали
Proposition

rFI

. Любой элемент

F

n единственным образом запи-

сывается в виде произведения

@rFIA

1 2 k g = xi1 xi2 . . . xik

удовлетворяющего условию (*).

Нам понадобится ещ? другое семейство групп n , n 1,D которые свободно порождены n инволюциямиF По определениюD группа n имеет следующее свойство универсальностиF


sxpy rF труКтурА нЕКоторых ГруппD пороЖД?нных отрАЖЕнИяМИ
Для любой группы

IHW
, сучто

G

, порожд?нной

ществует единственный гомоморфизм

n

инволюциями группы



n на

t1 , . . . , tn G такой,

(si ) = ti , 1 i n

.

Существование и единственность @с точностью до изоморфизмаA групE пы n доказывается аналогично томуD как мы это сделали для Fn F ЕдинE ственное отличие состоит в томD что теперь множество Wn состоит из всех слов в алфавите s1 , . . . , sn без повторения буквF
Proposition

rFP

. Любой элемент



n однозначно записывается в

виде произведения

@rFPA

g = si1 si2 ћ ћ ћ sik , k 0,

где

ia = ia

+1

для

1 a k - 1.

Exercise

RT. A ПокажитеD что в этом случае

@rFQA

#(W

(k ) n

)=

1 n(n - 1)k

-1

при k = 0 при k 1.

A ПокажитеD что n изоморфна Fn /J где Fn ! свободная группа с образующими s1 , . . . , sn а J ! наименьшая нормальная подгруппаD соE держащая s2 , . . . , s2 . n 1
Theorem

инволюция в

rFI. Всякая n сопряжена

нетривиальная (то-есть, отличная от в точности одной образующей

e)
.

s1 , . . . , sn

Пусть g n ! инволюцияF Согласно предложеE нию rFPD она может быть записана в виде g = si1 si2 . . . sin F Тогда g -1 = sin sin-1 . . . si1 F Но g -1 = g D поэтому sin-k = sik+1 для k = 0, 1, . . . , n - 1. Если n = 2k ч?тноD отсюда следуетD что k = 0 и g = eF Если n = 2k - 1 неч?тноD мы получаем g = wsik w-1 D где w = si1 . . . sik-1 F СледовательноD g сопряжена с sik F НаконецD покажемD что образующая si не сопряжена с sj при i = j F Предположим противноеF Тогда существует слово w такоеD что wsi = sj wF Пусть w0 ! наиболее короткое из таких словF Из равенства w0 si = sj w0 мы заключаемD что первой буквой w0 является sj D а последней ! si D так что w0 = sj w si для некоторого слова w F Но тогда sj w = w si ,D что противоречит выбору w0 D поскольку l(w ) = l(w0 ) - 2 < l(w0 )F
Доказательство.

Для малых значений n группа n допускает более простое описаниеF НапримерD 1 совпадает с группой Z2 = Z/2Z порядка PF Группа 2 изоморфна группе e' (1, Z) аффинных преобразований ab целочисленной реш?ткиF Она имеет матричную реализацию вида D 01 где a = +1, b ZF Мы оставляем читателю проверку тогоD что матриE -1 0 -1 1 цы и могут быть выбраны в качестве образующих 01 01 инволюций s1 , s2 F


IIH

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

Рис. H.1.

Действие 3 на L2

Для n = 3 группа 3 может быть реализована как дискретная групE па преобразованийD действующая на плоскости Лобачевского @или гиE перболической плоскостиA L2 F РассмотримD напримерD модель ПуанкареD изображающую L2 в виде верхней полуплоскости y > 0 @смF Схолию t нижеAF Три образующие инволюции для 3 ! это отражения в тр?х попарно касающихся зеркалахF НапримерD мы можем выбрать в качестве этих зеркал единичную @полуAокружность M0 и две вертикальные прямые @лучаA M+1 : x = +1D касающиеся M0 F Эти три зеркала ограничивают на плоскости Лобачевского треугольник T конечной площади с тремя бесконечно удал?нными вершинамиF Для любого слова wD составленноE го из s1 , s2 , s3 без повторений буквD обозначим через Tw образ T под действием элемента 3 D соответствующего слову wF Можно доказатьD используя индукцию по l(w)D что все треугольниE ки Tw различныD не имеют общих внутренних точек и покрывают всю плоскость ЛобачевскогоF Случай n = 4 ! более сложныйF Однако именно этот случай встречаE ется в нашем исследованииF Более тогоD группа 4 возникает при описаE нии двух различных множествX круговD составляющих ков?р Аполлония A и четв?рок попарно касающихся кругов из AF Мы рассмотрим эту ситуацию подробнее в Секции pF

TFPF Структура множества Q
Здесь мы рассмотрим в деталях строение рациональной проективной прямой P 1 (Q) = QF Как множествоD эта проективная прямая получается добавлением к множеству Q рациональных чисел бесконечно удал?нной точки F ИногдаD эту проективную прямую называют рациональной окружностьюF СначалаD подумаем как удобнее всего параметризовать QF Каждое число r Q можно записать в виде r = p D где p, q Z не обращаются q в нуль одновременноF Но такая запись неоднозначнаF Мы можем налоE жить дополнительное условиеX НFОFДF(p, q ) = 1D тоEесть потребоватьD чтобы p и q были взаимно простыD илиD что то жеD чтобы дробь p была q несократимаF Отображение : (p, q ) p является двукратным накрытиемF А q именноD прообраз точки r = p состоит из двух пар взаимно простых чиE q селX (p, q ) и (-p, -q )F К сожалениюD нет никакого естественного способа выбрать единственного представителя из каждого прообразаF Хотя для всех конечных точек можно условиться считать q > 0D но для = +1 0 этот способ не годитсяF


TFPF труКтурА МноЖЕстВА Q

III

Remark T. Для аналитически думающего читателя мы можем скаE затьD что ситуация здесь похожа на Риманову поверхность двузначной функции f (w) = wF Отображение z w = z 2 имеет два прообраза для каждого w CЧ D но эта двузначная функция не имеет аналитической @или хотя бы непрерывнойA однозначной ветвиF


Remark U. Замечательный способ занумеровать все положительные рациональные числа обнаружили недавно Нил Калкин и Херберт ВилфI Пусть b(n) ! число разбиений n 0 в сумму степеней двойки такD что никакая степень не используется больше двух разF Тогда отношение (n) rn = bbn+1) принимает каждое положительное рациональное значение в ( точности один раз3 Начальный кусок этой нумерации выглядит такX

n HIPQ b(n) I I P I rn I 1 P 1 2 3

R Q
3 2

STU PQI 2 1 3Q4

V R
4 3

W IH II IP IQ IR IS IT IU QSPSQRISU 3 5 2 5 3 5 4 R1 5 2 5 3 4 5 4 7

n IV IW PH PI PP PQ PR PS PT PU PV PW QH QI QP QQ b(n) Q V S U P U S V Q U R S I T S R 7 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 6 5 rn S1 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 5 6 5 9
Интересно сравнить эту нумерацию с тойD которая получается из рассмотрения рядов Фэри @смF нижеAF

Наш следующий шаг в изучении Q ! введение естественного расстоE яния между точкамиF Далее мы всегда предполагаемD что рациональные числа @включая A записаны в виде несократимой дробиF i Назовем два числа ri = pi , i = 1, 2, из Q близкими если выполнены q следующие эквивалентные условияX 1 @TFPFIA a) |p1 q2 - p2 q1 | = 1, b) |r1 - r2 | = . |q1 q2 |
Стоит отметитьD что отношение близости не являетсяP отношением экE вивалентностиX каждое целое число близко к бесконечностиD но только соседние целые числа близки друг к другуF Теперь мы отметимD что группа P GL(2, Z) действует на Q дробноE линейными преобразованиями и это действие сохраняет отношение блиE зостиF Впоследствии мы будем часто использовать этот фактF
Lemma

множестве

TFQ. Группа P S L(2, Z) действует просто транзитивно на X всех упорядорядоченных пар близких чисел. Группа P GL(2, Z)

IHU @PHHHADppFQTHEQTQF PКак и в обычной жизниF

IxF ulkinD rFilfD eounting the rtionlsD he emerin wthemtil wonthlyD


IIP

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

действует на

X

транзитивно с нетривиальным стабилизатором точ-

ки, изоморфным

Z2

.

i Пусть ri = pi , i = 1, 2, ! пара близких чиселF q i Пусть для определ?нности ri = pi , i = 1, 2. Мы должны проверитьD что q существует единственный элемент P S L(2, Z)D который переводит ab данную пару (r1 , r2 ) в стандартную пару (, 0)F Пусть g = ! cd b представитель элемента в S L(2, Z)F Тогда мы имеемX (0) = d , () = a (b, d) = c F Из условий () = r1 , (0) = r2 следуетD что (a, c) = k1 ћ(p1 , q1 ), -1 = k k и k2 ћ (p2 , q2 )F Поэтому 1 = det g = ad - bc = k1 k2 ћ (p1 q2 - p2 q1 ) 12 p1 p2 k1 = k2 = +1F ЗначитD матрица g = + определена с точностью q1 q2 до знака и определяет единственный элемент P S L(2, Z)F Стабилизатор пары (, 0) в P GL(2, Z) состоит из классов матриц 10 . 0 +1

Доказательство.

Exercise

RU. Найдите все рациональные числаD которые близки A к Y A к IF

A к 0Y

Мы определим расстояние между точками Q следующим образомF Для данных двух чисел r = r назов?м расстоянием между ними наиE меньшее n Z+ D для которого существует цепочка

r = r0 , r1 , . . . , r

n-1

, rn = r

такаяD что rk близко к rk+1 для всех k F Мы обозначим это расстояние d(r , r )F Если r = r D мы полагаем d(r , r ) = 0F RV. A ПокажитеD что (Q, d) является дискретным метриE ческим пространствомD на котором группа P GL(2, Z) действуетD сохраE няя расстояниеF A Найдите стабилизатор точки F
Exercise

A Группа e'(1, Z) аффинных преобразований r ar + b, a = +1, b Z.
Answer. Exercise

RW. Вычислить расстоянияX A d(, n); A d(0, n)Y A d(0, 5 )F 8 A IY A H для n = 0D I для n = +1, P для |n| > 1Y A

Answer.

RF
Exercise

SH. F A ПокажитеD что для всех r , r d(r , r ) конечноF A Ограничено ли пространство Qc
Answer.

Q расстояние

A СмF теоремуT нижеY

A НетF


TFPF труКтурА МноЖЕстВА Q

IIQ

Довольно интересные и нетривиальные задачи возникают при изуE чении геометрии шаров и сфер в QF Как обычноD мы определяем шар с центром a и радиусом r как множество

Br (a) = {b Q d(a, b) r}.
АналогичноD сфера с тем же центром и радиусом ! это множество

Sr (a) = {b Q d(a, b) = r}.
Theorem TFP. Шар Bn () состоит из и всех рациональных чисел, которые могут быть записаны в виде непрерывной дроби длины

n

, то-есть как

@TFPFPA

r = k1 + k2 + k3 +

1 1 1
.. .

kn-

1

1 + kn

ћћћ

где

ki

- любые целые числа (положительные или отрицательные).

Прежде всегоD покажемD что для каждого числа r вида @TFPFPA расстояние d(, r) не превосходит nF Для n = 1 это следует из упражнения RWF Предположим теперьD что утверждение доказано для всех непрерывных дробей длины n - 1D и рассмотрим дробь длины nD заданную формулой @TFPFPAF Обозначим чеE 1 рез r число r-k1 F ЯсноD что r записывается непрерывной дробью длины n - 1D поэтому d(, r ) n - 1. ТеперьD ввиду инвариантности расстоE яния относительно сдвигов r r + k , k Z, и относительно инверсии r r-1 D мы заключаем
Доказательство.

d(, r) = d(, r - k1 ) = d(0, r ) d(0, ) + d(, r ) 1 + (n - 1) = n.
Первое неравенство ! это просто неравенство треугольникаD а второе следует из упражнения RW A и из предположения индукцииF Теперь проверим обратное утверждениеX все точки шара Bn () заE писываются в виде @TFPFPAF Случай n = 1 опять сводится к RWD а общий случай также рассматривается с помощью индукцииF Ключевое сообраE жениеX для каждой точки r Bn () существует точка r Bn-1 ()D близкая к rF Строение сфер ! это более сложный вопросF 4Сложность4сферы возE растает с ростом е? радиусаF НапримерD S1 () = ZF Это ! однородное пространство относительно группы e' (1, Z)D которая играет роль 4группы вращений4вокруг бескоE нечной точки ! смF задачу RW AF 1 Сфера S2 () состоит из точек k1 + k2 D где k1 , k2 Z и k2 = 0, +1. Под действием группы e' (1, Z) она распадается на бесконечное число орбит


IIR

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

1 m D нумеруемых числом m = |k2 | 2. Стабилизатор точки k + m m тривиален при m > 2 и содержит один нетривиальный элемент r 2k + 1 - r для m = 2F
Problem

II. Описать орбиты e' (1, Z) на сфере Sk () для k > 2.

TFQF Рациональная параметризация окружности
Хорошо известноD что окружностьD как вещественное алгебраичеE ское многообразиеD рационально эквивалентна вещественной проективE ной прямойF Это значитD что можно установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и проективной прямой с помощью раE циональных функцийF НапримерD окружность x2 + y 2 = 1 отождествляется с проективной прямой с однородными координатами (t0 : t1 ) по формуле @TFQFIA

x=

t2 - t2 1 0 , t2 + t2 1 0

y=

2t 0 t 1 ; t2 + t2 0 1

t=

t1 y 1+x = = . t0 1-x y

В частностиD когда проективный параметр t пробегает QD соответE ствующая точка (x, y ) пробегает все рациональные точки окружностиFQ Отсюда можно вывести хорошо известное описание всех примитивE ных целочисленных решений уравнения x2 + y 2 = z 2 F ИменноD в каждом примитивном решении ровно одно из чисел x, y ч?тноY если это y D то @TFQFPA

x = a2 - b2 ,

y = 2ab,

+z = a2 + b2 ,

где a, b ! взаимно простые числаF АналогичноD проективизация будущего светового конуса ! это просто двумерная сфераD рационально эквивалентная расширенной плоскости R2 F Поэтому все будущие световые векторы с целыми коэффициентами с точностью до пропорциональности даются формулой @TFQFQA

t = k 2 + l 2 + m2 ,

x = 2k m,

y = 2lm,

z = +(k 2 + l2 - m2 ).

Я не знаюD верно лиD что любой целочисленный световой вектор моE жет быть записан в виде @TFQFQA для некоторых целых взаимно простых k , l , mF Теперь мы учт?мD что на вещественной проективной прямой есть естественная ориентацияF Для наших целей удобно будет рассматривать ориентацию как циклический порядок для каждой тройки различных точек x1 , x2 , x3 RF ГеометрическиD это понятие ориентации связано с обычным @тоEесть выбором положительного направления обходаA слеE дующим образомX двигаясь от x1 к в положительном направленииD мы встречаем x2 раньшеD чем x3 F Мы также будем использовать выражение x2 лежит между x1 и x3 F
QТоEесть точки с рациональными координатами (x, y )F


TFQF ЕАцИонАЛьнАя пАрАМЕтрИЗАцИя оКруЖностИ

IIS

ПредупреждениеF Наше понятие 4между4отличается от стандартE ногоD которое существует на прямойD но не существует на окружностиF Кроме тогоD наше понятие не симметричноX если x2 лежит между x1 и x3 D то x2 не лежит x3 и x1 3 Зато наше понятие 4между4инвариантно относительно циклических перестановок тр?х точекF
Exercise SI. A ПокажитеD что в случаеD когда все три точки x1 , x2 , x3 конечныD утверждение x2 лежит между x1 и x3 эквивалентно неравенE ству (x1 - x2 )(x2 - x3 )(x3 - x1 ) > 0.

A Какие из следующих утверждений верныc iA I лежит между H и Y iiA лежит между H и IY iiiA -1 лежит между H и F Теперь мы определим новую операциюR 4вставки4на RF Эта операE ция сопоставляет паре рациональных чисел (r1 , r2 ) третье рациональное числоD обозначаемое r1 r2 D такD что выполняются условияX Существуют такие целые p1 , p2 , q1 , q2 D удовлетворяющие условиям НFОFД (p1 , q1 ) = НFОFД (p2 , q2 ) = 1, что @TFQFRA @TFQFSA

r1 =

p1 , q1

r2 =

p2 , q2

r 1 r2 =

p1 + p2 . q1 + q2
и r2 .

Точка

r1 r

2

лежит между r

1

Exercise SP. ПокажитеD что условие @TFQFRA определяет две разных точки в зависимости от четыр?х разных выборов знаков pi и qi F ПроE верьтеD что ровно одна из этих точек удовлетворяет @TFQFSAF

SQ. Вычислить следующие выраженияX A 0 Y A 0Y A -2Y dA 1 2Y eA 2 1Y
Exercise Answer.

fA

1 2

-1F 3

A IY A -1Y A -3Y dA 3 Y eA Y f A -2F 2

Операция имеет особенно интересные свойстваD когда r1 и r2 близE киF В этом случае r1 r2 близко к обоим числам r1 и r2 F
Exercise SR. F ПокажитеD что для близких чисел r1 , r2 число r1 r2 ! это единственное рациональное число между @в нашем смыслеA r1 и r2 D которое близко к обоим числамF

RКак я узнал от РF БорчердсаD в Англии эту операцию называют 4сложением дробей для филологов4F Она также служит предметом одного из анекдотовD часто цитированных на семинаре ГельфандаF


IIT

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

рациональных чисел 0 < p < 1 с 1 q nD написанных в возрастаюE q щем порядкеF Число членов в F n равно n=2 (k )D где (k ) ! функция k ЭйлераD дающая количество натуральных чиселD меньших k и взаимно простых с k F Она да?тся формулой

Эти рассмотрения приводят к понятию так называемых рядов ФэE риF Стандартный ряд Фэри F n ранга n по определению состоит из всех

(n) = n ћ
p|n

(1 - p

-1

) где p пробегает все простые делители n.

НапримерD ряд Фэри F 5 содержит (2) + (3) + (4) + (5) = 1 + 2 + 2 + 4 = 9 членов и выглядит такX

1 1 , , 5 4 Мы отсылаем читателя к рядов Фэри и перечислим
Exercise

1 2 1 3 2 3 4 , , , , , , . 3 5 2 5 3 4 5 xevRW по поводу многих известных свойств здесь только теD которые нам нужныF

числаF

SS. ПокажитеD что соседние члены ряда Фэри ! близкие

Для наших целей удобно несколько изменить понятие ряда ФэриF А именноD назов?м модифицированным рядом Фэри подмножество F (n) RD определяемое индуктивно следующим образомF Ряд F (0) состоит из тр?х чиселX 0, 1 и с данным циклическим порядкомF Ряд F (n+1) , n 1, получается из F (n) с помощью вставки между любыми последовательными числами a, b числа a bF Таким обE разомD общее число членов удваивается и модифицированный ряд Фэри F (n) содержит 3 ћ 2n циклически упорядоченных членовF Мы обозначим (n) через fk , 1 - 2n k 2n+1 D k Eый член ряда F (n) F Таким образомD для (n) (n) (n) любого nD мы имеем равенства f0 = 0, f2n = 1, f2n+1 = F Модифицированные ряды Фэри ранга 4 показаны ниже
k: f
(0) k

0 : -1 : -3 : -
2 1 0 1

1
1 1

2
1 0

k: f
(1) k

0
0 1

1
1 2

2
1 1

3
2 1

4
1 0

-

1 1

k: f
(2) k

-2 -
1 1

-1 -
1 2

0
0 1

1
1 3

2
1 2

3
2 3

4
1 1

5
3 2

6
2 1

7
3 1

8
1 0

k: f
(3) k

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 : -
3 1

-

2 1

-

3 2

-

1 1

-

2 3

-

1 2

-

10112132314 31435253413

3 2

5 3

2 1

5 2

3 1

4 1

1 0

Найти явную формулу для чисел fk обсудим е? нижеF

(n)

! нетривиальная задачаF Мы


TFQF ЕАцИонАЛьнАя пАрАМЕтрИЗАцИя оКруЖностИ

IIU

Рис. 6.2.

График функции c
(n) (n+1) (n)

ST. ПокажитеD что fk = f2k D так что fk фактически зависит не от k и n в отдельностиD а только от двоичноEрационального (n) числа r = 2k F Поэтому мы часто будем писать fr вместо fk F n
Exercise

F

Чтобы упростить изложениеD мы временно рассмотрим только часть D лежащую между H и ID тоEесть члены fr с 0 r 1F ЗаметимD что если бы мы изменили процедуру построения F (n) и вставляли между двумя числами a, b не a bD а их среднее арифметиE ческое a+b D мы получили бы на nEом шагу арифметическую прогрессию 2
(n)

с 2n + 1 членамиD которая начинается с 0 и кончается 1F Вместо fk мы (n) получили бы ak = 2k D илиD в обозначениях введенных вышеD ar = rF n Теперь мы вполне готовы к определению замечательной функцииD впервые введенной Германом МинковскимD который назвал е? функцией c @функцией 4вопросительный знак4A ! смF Схолию i в Части sF
Theorem

(n)

@Теорема МинковскогоA

. Существует единственная непре-

рывная и монотонно возрастающая функция

cX [0, 1] [0, 1]

такая, что

@TFQFTA c (a b) =

c(a) + c(b)
2

для всех близких чисел

a, b [0, 1].

Формула @TFQFTA показываетD что если исE (n) (n) комая функция существуетD она должна иметь свойство c fk = ak F Другими словамиD c fr = r для всех r Z[ 1 ] [0, 1]F 2 С другой стороныD мы можем определить функцию c на Z[ 1 ] [0, 1] 2
Схема доказательства.

по формуле c (fr ) = rF Поскольку каждое из множеств {fk } и {ak } плотно в [0, 1]D наша функция продолжается единственным образом на [0, 1] с сохранением монотонностиF А именноD мы полагаем
(n) (n)

@TFQFUA

c(x) = lim c(xn )
n

где {xn } ! любая монотонная последовательность рациональных чиселD сходящаяся к xF Функция pD обратная к cD решает поставленную выше задачу о выE (n) числении fk F А именноD fr = p(r).F На множестве Z[ 1 ] [0, 1] двоичноEрациональных чисел функция p(x) 2 может быть вычислена шаг за шагомD используя свойство 2k + 1 k k+1 @TFQFVA p =p p , n+1 n 2 2 2n которое следует из @TFQFTAF Этот способ вычисления поEсуществу повтоE ряет конструкцию модифицированного ряда ФэриF


IIV

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя
Theorem

1. 2.

TFQ. Функция p := c-1 имеет следующие свойства: p 1 a) p(1 - x) = 1 - p(x); b) p( x ) = 1+(px) ) ; c) p( 1+x ) = 2-p(x) . 2 2 (x

k n 2n ) = для любых n и 0 k 2 . 3. Для любого рационального, но не двоично-рационального числа

(p) (

r [0, 1]
@TFQFWA

значение

есть имеет вид

p(r) является квадратичной иррациональностью, r1 + r2 для некоторых рациональных r1 , r2 .

то-

4. Имеет место замечательная формула:

p 0.0 . . . 00 11 . . . 11 . . . 00 . . . 00 11 . . . 11 . . . =
k
1

l

1

k

n

l

n

k1 + l1 +
.. .

1 1 1 kn + 1 ln + 1
.. .

, ...

где в левой части используются бесконечные двоичные дроби, а в правой части бесконечные непрерывные дроби. Формула правой части в этом случае.
Схема доказательства. Соотношения I A E A могут быть вывеE дены с помощью следующего полезного фактаF

@TFQFWA

оста?тся

верной и для конечных двоичных дробей угадайте правильную форму

Lemma

TFR.

Пусть

g=

ab cd

GL(2, Z).

Тогда преобразование

множества

Q

по формуле

r g ћ r :=

ar + b cr + d

перестановочно с операцией вставки, то-есть

@TFQFIHA

(g ћ r1 ) (g ћ r2 ) = g ћ (r1 r2 ).

Мы оставляем проверку этого факта читателю и сделаем только два полезных замечанияD каждое из которых можно положить в основу доE казательстваF IF ПреобразованияD о которых ид?т речьD переводят близкие числа в близкиеF PF Группа GL(2, Z) порождается двумя элементамиX

g1 =

11 , 01

g2 =

01 . 10


TFQF ЕАцИонАЛьнАя пАрАМЕтрИЗАцИя оКруЖностИ

IIW

Теперь мы докажем I AF Рассмотрим следующую диаграмму

@TFQFIIA

[0, 1] - - - [0, 1] - - p p [0, 1] - - - [0, 1] - -
x1-x

x1-x

Соотношение IA равносильно коммутативности этой диаграммыF ЧтоE бы это проверитьD выберем в качестве x [0, 1] двоичноEрациональное число r = 2k = ar . n Левая вертикальная стрелка переводит это число в p(ar ) = fr D а нижняя горизонтальная стрелка посылает fr в 1 - fr F С другой стороныD верхняя горизонтальная стрелка переводит r в 1 - r = a1-r D а правая вертикальная стрелка посылает a1-r в f1-r F ТаE ким образомD соотношение IA верно для любого двоичноEрационального числаF По непрерывностиD оно верно всюдуF Рассмотрим теперь соотношение IAF Оно эквивалентно коммутативE ности диаграммы

@TFQFIPA

[0, 1] - - - [0, 1 ] -- 2 p p [0, 1] - - - [0, 1 ]. -- 2
x
x 1+x

x x/2

Начн?м с точки r = ar [0, 1]F Верхняя горизонтальная стрелка пеE реводит эту точку в ar/2 D а затем правая вертикальная стрелка посылает е? fr/2 F С другой стороныD левая вертикальная стрелка переводит ar в fr D а f затем нижняя горизонтальная стрелка посылает результат в 1+rfr F Таким
f образомD мы должны проверить равенство 1+rfr = fr/2 F Для этого мы x заметимD что преобразование x 1+x переводит отрезок [0, 1] в отрезок 1 [0, 2 ]F Поскольку это преобразование принадлежит группе P GL(2, Z)D оно переводит ряд Фэри в себяD прич?м f0 и f1 переходят в f0 и f 1 2 соответственноF Индукцией по nD мы выводимD что f k переходит f k F n

Соотношение IA доказывается так жеD используя диаграмму

2

2n+1

@TFQFIQA

[0, 1] - - - [ 1 , 1] - - 2 2 p p [0, 1] - - - [ 1 , 1] -- 2
x
1 2-x

x

1+x


IPH

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

Общая часть всех этих доказательств состоит в использовании двух фактовX аффинные преобразования сохраняют полусуммыD а преобразоE вания из P GL(2, Z) сохраняют вставкиF Я рекомендую читателю сфорE мулировать и доказать другие свойства функций c и p с помощью подE ходящих диаграммF Полезно также расширить область определения c и p на вс? множеE ство RD используя тождестваX @TFQFIRA

p

1 x

=

1 ; p(x)

p(-x) = -p(x).

Свойство P достаточно проверить в точке x = 0F Общий случайD когда x = 2k рассматривается аналогичноD а также формально сводится к n случаю x = 0 с помощью I A ! I AF 1 ИтакD пусть x = 0F Мы имеем p(0) = 0, p( 21 ) = n+1 F Таким образомD n
p 1 1 если 21 x 2n1 1 D то n+1 p n F Поэтому 2 +1 x 2n для n - n 1 1 2n x 2n-1 и p (0) = +. Утверждение Q следует из формулы @TFQFWAF Что касается самой этой формулыD она проверяется по индукции для конечных дробейD испольE зуя свойства рядов ФэриF Общий случай следует по непрерывности @или монотонностиAF Отметим ещ?D что в конце Части s мы использовали форE мулу @TFQFWA для определения функции cF
n-1 n

V. Рассмотрим теперь функцию p := c-1 как функцию расE пределения вероятностной меры ч на [0, 1]X мера отрезка [a, b] равна p(b) - p(a)F Эта мера является слабым пределом последовательности дисE кретных мер чn , n 1,D сосредоточенных на подмножестве F (n) [0, 1] (n) такD что точка fk имеет массу 21 для 1 k 2n F F ЯсноD что носитеE n лем меры ч является весь отрезок [0, 1] @тоEесть мера любого интервала (a, b) [0, 1] положительнаF В то времяD как для обычного ряда Фэри мераD определ?нная аналогичным образомD равномернаD в нашем случае это не такF Подробное изучение этой меры и соответствующей случайной величины было бы очень интересно @смF например de hSWAF
Remark Exercise Hint.

SU. F Найти значения c(x) и c (x) в точке x = 1 F 3
1 2

Используя равенство показатьD что

-

1 4

+

1 8

-

1 16

+

1 32

-

1 64

+ ћћћ =

1 3

D

?

1 1 - 3 3 ћ 4n

=



2n-1 2n+1

,

?

1 2 + 3 3 ћ 4n
n

=

2n 2n+2

где n ! nEое число ФибоначчиD задаваемое формулой

n =

n - (-)- + -1


TFQF ЕАцИонАЛьнАя пАрАМЕтрИЗАцИя оКруЖностИ

IPI

где = qAF



5+1 2

1.618... ! так называемое золотое сечение @смFИнфо
3- 5 2

Answer.

c

1 3

=

;

?

1 3

= 0F

Problem

кроме

(n) ak

IP. Верно лиD что c (x) = 0 для всех рациональных чиселD

c

Мы можем резюмировать полученный результат следующим обраE зомX существует монотонная параметризация всех рациональных чисел отрезка [0, 1] с помощью более простого множества двоичноEрациональных чисел на том же отрезкеF Если отбросить ограничение r [0, 1]D мы поE лучаем параметризацию рациональной проективной прямой Q с помоE щью двоичноEрациональной проективной прямой Z[ 1 ]D которая сохраняE 2 ет циклический порядок точекF W. Существует интересная геометрическая интерпретация рядов Фэри и функции МинковскогоF Она была обнаружена Жоржем де Рамом hF Рассмотрим квадрат [-1, 1] Ч [-1, 1] R2 . Разделим каждую стороE ну квадрата на три равные частиF Затем соединим соседние точки деE ленияF Мы получим восьмиугольник с равными угламиD но неравными сторонамиF Продолжим эту процедуруY разделим каждую сторону восьE миугольника на три равные части и соединим соседние точки деленияF В результате получится выпуклый ITEугольникD который содержится в VEугольникеF Продолжая таким образомD мы построим семейство влоE женных выпуклых многоугольников n , n 1 с 2n+1 сторонамиF ПереE сечение всех этих многоугольников будет выпуклой областью DD ограниE ченной некоторой кривой C @смF РисF TFQAF Де Рам обнаружил такжеD что граничная кривая принадлежит классу C 2 D тоEесть выглядит локально как график функцииD имеющей непрерывную вторую производнуюF В частностиD имеет смысл говорить о касательной и кривизне в каждой точке кривойF Основной результат де Рама можно сформулировать такF A Середины сторон каждого n принадлежат предельной кривой C F Занумеруем те из этих точекD которые принадлежат верхней половине кривой числами rk = 2k , -2n k 2n F n A Пусть верхняя половина C является графиком функции y = f (x), |x| 1 и пусть xk означает xEкоординату точки с номером rk F Тогда f (xk ) = -sig n(rk )frk D тоEесть значения производной функции f на отрезке возE растания являются членами ряда ФэриF
Remark




IPP

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

Рис. 6.3.

Кривая де Рама

TFRF Совершенные параметризции круговD касающихся данного круга
Пусть A ! ков?р АполлонияF Выберем какойEнибудь круг D A и пусть M ! соответствующая эрмитова матрицаF Рассмотрим все круги в AD которые касаются DF Точки касания этих кругов с D образуют сч?тное множество T DF Мы построим параметризацию множества T элементами Q такуюD что циклический порядок на T D индуцированный ориентацией DD совпадает с циклическим порядком на QD определ?нным вышеF Пусть Dr означает круг из AD касающийся D в точке tr T и пусть Mr ! соответствующая эрмитова матрицаF Мы скажемD что параметризация r tr множества T совершеннаD если она имеет следующие свойстваX IF Если r = p ! несократимая дробьD то q

Mr = Ap2 +2B pq +C q 2 -M
p q

где A, B , C ! фиксированные эрмитовы матрицыF
p q

PF Круг Dr касается круга Dr если и только если числа r =

и

r = близкиD тоEестьD если |pq - p q | = 1F РазумеетсяD условия IF и PF очень сильные и содержат всю информаE цию о касательных кругахF Поэтому следующий результат очень важенF
Theorem

TFR.

Совершенные параметризации существуют и обла-

дают дополнительным свойством:

v0 , v1 , v2 , v3 векторы в R1,3 , соответствующие матрицам A + C, B , A - C, M . Тогда матрица Грама их скалярных произведений
Пусть имеет вид

@TFRFIA

10 0 0 0 -1 0 0 G = ||(vi , vj )|| = 0 0 -1 0 . 00 0 -1




TFRF оВЕршЕнныЕ пАрАМЕтрИЗцИИ КруГоВD КАсАющИхся ДАнноГо КруГА IPQ

sm w 0}, D = {w C sm w 1}F Пусть D0 , D1 ! круги диаметра ID касающиеся круга D в точках HD ID а круга D в точках i, i + 1 @срF РисF TFRAF

Первый основной примерX ков?рEлентаF Пусть D = {w C

-1
Рис. 6.4.

-

2 3

-1 - 2

1 3

0

1 3

1 2

2 3

1

Совершенная параметризация кругов в ковреEленте

Тогда D = R, T = QF Тавтологическая параметризация T соверE шенна и справедливы равенстваX

M=

0i , -i 0

Mp =
q

2p 2 -2pq - i , -2pq + i 2q 2

D p : w-
q

2pq + i 1 . 2 2q 2q 2

{w C |w| 1} ! дополнение к открытому единичному кругуD D0 1 1 1 задан условием |w - 2 | 1 D D ! условием |w + 2 | 2 D а D1 ! условием 2 |w - 2i | 1 F 3 3 Здесь D ! единичная окружностьD а T ! рациональная единичная + окружностьF Совершенная параметризация имеет вид tr = p-iq для r = p iq p q такD что M= -1 0 , 01 Dp : w -
q

Второй основной примерX прямоугольный ков?р Пусть D =

Mr =

p2 + q 2 - 1 -(p + iq )2 , -(p - iq )2 p2 + q 2 + 1 1 . p + q2 + 1
2

(p + iq )2 p2 + q 2 + 1

Доказательство теоремы 6.4. Пусть D0 , D1 , D ! любые три круга из AD касающиеся данного круга D и друг другаF Занумеруем чисE лами 0, 1 и точки касания этих кругов с D в циклическом порядкеD определ?нном ориентацией DF ТогдаD в предположенииD что совершенная параметризация сущеE ствуетD мы можем вычислить матрицы A, B , C из равенств

M



= A - M,

M0 = C - M ,

M1 = A + 2B + C - M .


IPR

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

(0, 1)
14 14

(3, 4) = 55

2+i 2-i

11

6

3

c

6

p/q

= 1 + p2 + q
p+iq p-iq

2

11

tp/q = (1, 0)

(-1, 0)
11

2
6
14

2
3
14

6

11

(0, -1)
Совершенная параметризация внешней окружE ности в прямоугольном ковре
Рис. 6.5.

Мы получим

1 B = (M1 - M - M0 - M ). 2 ТеперьD используя свойства матриц M0 , M1 , M и M D мы можем проE верить соотношения @TFRFIAF Из них легко следует второе утверждение теоремыD если определить Mr согласно первому утверждениюF A = M + M , C = M + M0 ,
ПрактическиD совершенные параметризации определяются шаг за шагомF А именноD допустимD что для двух близких чисел r1 и r2 круги Dr1 и Dr2 уже построены такD что они касаются D и друг другаF Тогда мы определяем круг Dr , r = r1 r2 как кругD касающийся Dr1 , Dr2 и D в точкеD лежащей между tr1 и tr2 F
Corollary. Кривизна граничной окружности круга, касающегося

D

в точке с номером

ратным многочленом

r = p (несократимая q от p, q :

дробь), выражается квад-

@TFRFPA c(p, q ) =
где

c + c ћ p2 + c1 - c0 - c - c ћ pq + c0 + c ћ q 2 - c Di
.

ci

кривизна граничной окружности круга

В частности, если четыре попарно касающиеся круга в ковре Аполлония имеют целочисленные кривизны граничных окружностей, то все круги этого ковра обладают тем же свойством.

SV. Для треугольного ковра Аполлония вычислите криE визны всех окружностейD которые касаются внешней окружностиF
Exercise

ОтветX c(p, q ) =

2(p2 -pq +q 2 ) 3

+ 1F


TFSF sЕЛочИсЛЕнныЕ КоВры АпоЛЛонИя

IPS

Exercise SW. Опишите совершенную параметризацию круговD касаE ющихся внешней окружности в треугольном ковре АполлонияF Hint. Обозначьте через 0, 1, точки касания тр?х максимальных кругов с внешней окружностьюF

TFSF Целочисленные ковры Аполлония
Существует много вариантов ковра Аполлония на R2 D для которых кривизны всех окружностей ! целые числаF Мы будем называть такие ковры целочисленнымиF Для каждого такого ковра существует @не обязательно единственнаяA четв?рка попарно касающихся кругов с криE визнами граничных окружностей (c1 c2 c3 c4 ) такаяD что c1 приE нимает наименьшее возможное значениеF Мы назов?м такую четв?рку базиснойF
Lemma

TFS.

Для базисной четв?рки справедливы соотношения

c4 0,

|c4 | < c3 <

2 1+ 3

|c4 | 2.1547... ћ |c4 |. 4, ! базисная четв?рка попарE i 4,D упорядоченными по
как квадратное уравнение отE этого уравнения имеют вид

Доказательство. Пусть Di , 1 i но касающихся кругов с кривизнами ci , 1 убываниюF Рассмотрим уравнение Декарта @RFIFQA носительно c1 с данными c2 , c3 , c4 F Корни @TFSFIA c1 = c2 + c3 + c4 + 2 c2 c3

+ c3 c4 + c4 c2 .

ПокажемDчто для базисной четв?рки мы должны в формуле @TFSFIA выE брать для c1 знак минусF В самом делеD в противном случае второй коE рень квадратного уравнения был бы меньше c1 F Геометрический смысл второго корня ! это кривизна другой окружности C D касающейся круE гов D2 , D3 , D4 @отличной от границы D1 AF В этом случае мы могли бы заменить круг D1 на круг с границей C и получить новую четв?рку с меньшим c1 F Неравенство c1 c2 вместе с @TFSFIA да?т c3 +c4 2 c2 c3 + c3 c4 + c4 c2 D или (c3 - c4 )2 4c2 (c3 + c4 ) (c3 + c4 )2 F Это возможно лишь при c4 0F НаконецD для неположительного c4 мы имеем (c3 - c4 )2 4c2 (c3 + c4 ) 4c3 (c3 + c4 )D или 32 + 6c3 c4 + c2 4c2 F Это да?т 3(c3 + c4 ) -2c4 D c3 4 4 следовательноD c3 2+ 3 3 |c4 |F Мы привед?м здесь список базисных четв?рок с малыми значениями кривизнD упорядоченный по возрастанию величины |c4 |X c4 = 0 (1, 1, 0, 0); c4 = -1 (3, 2, 2, -1); c4 = -2 (7, 6, 3, -2); c4 = -3 (13, 12, 4, -3), (8, 8, 5, -3); c4 = -4 (21, 20, 5, -4), (9, 9, 8, -4);


IPT

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

c4 = -5 (31, 30, 6, -5), (18, 18, 7, -5); c4 = -6 (43, 42, 7, -6), (15, 14, 11, -6), (19, 15, 10, -6); c4 = -7 (57, 56, 8, -7), (20, 17, 12, -7), (32, 32, 9, -7); c4 = -8 (73, 72, 9, -8), (24, 21, 13, -8), (25, 25, 12, -8); c4 = -9 (91, 90, 10, -9), (50, 50, 11, -9), (22, 19, 18, -9), (27, 26, 14, -9); c4 = -10 (111, 110, 11, -10), (62, 60, 12, -10), (39, 35, 14, -10), (27, 23, 18, -10); c4 = -11 (133, 132, 12, -11), (72, 72, 13, -11), (37, 36, 16, -11), (28, 24, 21, -11)F Полное описание всех базисных четв?рок неизвестноF Я приведу здесь три формулыD каждая из которых позволяет построить бесконечное чисE ло базисных четв?рок @в том числе большинство из приведенных в списE кеAF c4 = -k m (k 2 + k m + m2 , k (k + m), m(k + m), -k m) c4 = 1 - 2k (2k 2 , 2k 2 , 2k + 1, 1 - 2k ) c4 = -4k (2k + 1)2 , (2k + 1)2 , 4(k + 1), -4k Много других интересных фактов о целочисленных коврах и базисE ных четв?рках можно найти в работе qF

snfo sF Формула обращения М?биуса
В теоретикоEчисловых подсч?тах часто используется так называемая формула обращения М?биусаF Мы объясним здесьD откуда она происхоE дит и как работаетF Пусть задано частично упорядоченное множество X со свойствомX длякаждого элемента x X существует лишь конечное число элементовD меньших xF Пусть f ! любая вещественная или комплексная функция на X F Определим новую функцию F на X формулойX @sFIA

F (x) =
y x

f (y ).

ВопросX можно ли восстановить функцию f D зная F c ОказываетсяD что ответ на этот вопрос всегда положительный и даE ?тся простой формулойF
Proposition

sFQ.

Существует единственная функция

ч

на

X ЧX

со свойствами: 1. 2.

ч(x, y ) = 0, ч(x, x) = 1 F

если

x

y

.

3. Если функция ливается по

F

получена из

f

по формуле (I.1), то

f

восстанав-

следующим образом:

@sFPA

f (x) =
y x

ч(x, y )F (y ).

Часто в этой ситуации присутствует дополнительная структураF А именноD множество X является полугруппой положительных элементов A+ в некоторой абелевой группе AD а отношение порядка инвариантно относительно групповых сдвиговX x y a + x a + y для всех a AF


sxpy sF орМуЛА оБрАщЕнИя М?БИусА

IPU

В этом случае функция ч также инвариантна относительно сдвигов и выражается через функцию одной переменнойX ч(x, y ) = ч(x - y )D где ч(x) = ч(x, 0)F Формула обращения принимает видX @sFQA

f (x) =
y x

ч(x - y )F (y )

@Формула обращения М?биусаA.

Мы оставляем доказательство заинтересованному читателюD а здесь рассмотрим только некоторые примерыD которые понадобятся дальшеF Пример IF Пусть A = Z со стандартным порядкомF Тогда формула @sFIA принимает вид F (n) = mn f (m) а формула обращения выглядит такX f (n) = F (n) - F (n - 1). Мы видимD что предложение sFQ в этом случае справедливо и функE ция ч да?тся формулой 1 если n = 0, ч(n) = -1 если n = 1, 0 в остальных случаях.

Пример PF A = A1 Ч A2 и порядок на A является произведением порядков на A1 и на A2 D тоEесть
(g1 , g2 ) > (0, 0) g1 > 0 & g2 > 0.
Тогда функция ч для A ! просто произведение функций ч для A1 и A2 F ОтметимD что если A1 и A2 ! упорядоченные группыD то A = A1 Ч A2 является всего лишь частично упорядоченнойF Пример QF A = QЧ ! мультипликативная группа ненулевых рациE ональных чиселF Частичный порядок определяется такX r1 r2 D если число r2 целоеF Таким образомD в этом случае X = Z+ с отношением r1 порядка m n m|n @m является делителем nAF Легко видетьSD что эта частично упорядоченная группа изоморфна прямой сумме сч?тного множества копий Z с обычным порядкомF В саE мом делеD каждый элемент A единственным образом записывается в виде

r=
k 1

p

nk k

где через pk обозначено k Eое простое числоD nk Z и только конечное множество чисел nk отлично от нуляF Число r ! целоеD если и только если все nk неотрицательныF Поэтому функция ч является произведением функций из примера IF Точное определение таковоX
SСтандартный оборот речиD который не всегда уместенF Читатель решитD как

обстоит дело в этом случаеF


IPV

TF АрИфМЕтИчЕсКИЕ сВоЙстВА КоВроВ АпоЛЛонИя

Definition

1 sFI. ч(n) = (-1)k 0

если n = 1, если n ! произведение k различных простых чисел, в остальных случаях.

Соотношение @sFQA в этом случае ! это классическая формула обраE щения М?биусаX @sFRA

f (n) =
d|n

ч(d)F

n . d

В качестве приложения мы выведем здесь формулу для Eфункции ЭйлераF Рассмотрим все натуральные числа k n и разобь?м их на группы согласно величине d = НFОFДF(k , n)F ЯсноD что НFОFДF( k , n ) = 1F ОтсюE dd да следуетD что в группе с номером d ровно ( n ) чиселF Мы получаем d тождество n n= . d
d|n

Применяя формулу обращения М?биусаD имеемX @sFSA

(n) =
d|n

ч(d) ћ

n , d

или

(n) = n

d|n

ч(d) . d


дачей является вычисление размерности Хаусдорфа для ковра АполE лонияD а также меры Хаусдорфа разных его модификаций @напримерD сферического или треугольного ковраAF Нужно пояснитьD что имеется в виду под термином 4вычисление4F В работе @wgHQA что искомая разE мерность равна d = 1.308535???...D но мы ничего не знаем о природе этого числаF НапримерD рационально оно или нетc Можно ли его выE разить с помощью логарифмов натуральных чиселD как для Канторова множества или ковра Серпинскогоc Имеет ли оно какиеEнибудь арифмеE тические свойстваc Другая нереш?нная задача ! найти сумму площадей всех кругов в ковре АполлонияD которые касаются данного круга DD напримерD внешE него обобщ?нного круга в прямоугольном или треугольном ковреF ЗдесьD для примераD мы решим более простую задачуF Рассмотрим первый основной пример ! ков?рEлентуF Мы хотим сосчитать общую плоE щадь всех кругов в ковреEлентеD которые касаются вещественной оси на отрезке [0, 1]F Более естественным вопросомD которыйD к тому же имеет более красивый ответD является вопрос о площади той части единичного квадрата с вершинами 0, 1, 1 + i, iD которая покрыта кругамиD касающиE мися нижней стороны квадратаF

TFSFIF Некоторые вычисленияF Хорошо известной нереш?нной заE


sxpy sF орМуЛА оБрАщЕнИя М?БИусА

IPW

Мы знаемD что диаметр круга с точкой касания m [0, 1] равен n F Поэтому площадь этого круга равна 44 F Всего имеется (n) круE n гов такого размераF Таким образомD интересующая нас площадь да?тся выражениемX (n) ћ . @TFSFTA A= 4 n4
1 2n2 n1

ОказываетсяD можно выразить эту величину через значения Eфункции Римана в точках Q и RF Для этого мы воспользуемся формулой @sFSA для (n)D полученной в схолии sF Выражение @TFSFTA принимает вид

A
Обозначим чимX
n d

=

ћ 4

ч(d)
n1 d|n

d . n3

через m и произвед?м суммирование по d и mF Мы полуE

A
Сумма

=

ћ 4

d1 m1

ч(d) m3 d 4

=

ћ 4

m1

1 ћ m3

d1

ч(d) . d4

1 m1 m3

являетсяD по определениюD значением (3)F С другой может быть переписана как

стороныD сумма

ч(d) d1 d4

(-1)k ћ
k 0 1i1 k

(pi1 pi2 ћ ћ ћ pik )-4 =
i1

1-

1 p4 i

=

1
1 n1 n4

=

1 . (4)

ОкончательноD мы получаемX (3) 45 (3) 0.76. A= ћ = 4 (4) 2 3 Общая площадь всех круговD касающихся внешней окружности в прямоугольном ковре да?тся суммой 1 ћ . 2 + q 2 + 1)2 2 (p
НFОFДF(p,q )=1

Она может быть выражена через значения EфункцииD связанной с ГаусE совским полем Q[i]F
Exercise

житеD что @TFSFUA

TH. Пусть

m

означает сумму

1 Z2 \{(0,0)} (k2 +l2 )

m

F ПокаE

НFОFДF (p,q )=1

m 1 = . 2 )m (p + q (2m)
2

и @TFSFVA
НFОFДF (p,q )=1

1 = 2 + q 2 + 1)2 (p

(-1)m-
m=1

1

m ћ m+1 . (2m + 2)



Глава U
Геометрический и теоретико-групповой подход

snfo tF Плоскость Лобачевского @гиперболическая плоскостьA
Гиперболическим называют пространствоD удовлетворяющее всем акE сиомам евклидова пространстваD кроме знаменитого 5Eго постулатаD утверE ждающего существование и единственность параллельных линийF В гиE перболическом пространстве существует много прямых линийD проходяE щих через данную точку и не пересекающих данной прямойF Такое проE странство существует в каждой размерностиD но мы в основном будем использовать двумерное гиперболическое пространство LD называемое также плоскостью ЛобачевскогоF Существуют три наиболее удобных реE ализаций LF Пусть C ! комплексная плоскость с комплексной координатой z = x + iy F Обозначим через H открытую верхнюю полуплоскость в CD заE данную условием sm z > 0F Первая модель Пуанкаре отождествляет LD как множествоD с H F Группа G конформных преобразований обоего роE да @смF Схолию pA действует на H и являетсяD по определениюD полной группой симметрий LF Согласно философии Клейна @высказанной в его Эрлангенской программеAD геометрические свойства L ! это теD которые инвариантны относительно группы GF В частностиD расстояние d(z1 , z2 ) между двумя точками z1 , z2 H должно быть GEинвариантнымF ОказываетсяD это свойствоD вместе с предположениемD что L ! риманово многообразиеID определяет расстояE ние однозначноD с точностью до выбора единицы длиныF Чтобы получить явную формулу для расстоянияD мы можем постуE пить такF Любой паре различных точек p = (z1 , z2 ) из H мы сопоставим четв?рку q (p) = (z1 , z2 , z1 , z2 ) точек на CF Соответствие p q (p) инваE ?? риантно относительно группы G = P S L(2, R)D поскольку она действует дробноEлинейными преобразованиями с вещественными коэффициентаE миF С другой стороныD хорошо известноD что для любой четв?рки q = (z1 , z2 , z3 , z4 ) точек из C так называемое двойное отношение z4 - z3 z1 - z3 : (q ) := z4 - z2 z1 - z2
ется равенство d2 (x, 0) =
IЭтоD в частностиD значитD что в любой локальной системе координат выполняE

tFIF Первая модель Пуанкаре

Pn

i,j =1

gi,j xi xj + o( |x|2 )F
IQI


IQP

UF ГЕоМЕтрИчЕсКИЙ И тЕорЕтИКоEГруппоВоЙ поДхоД

не меняется при действии даже б? ольшей группы P S L(2, C) всех дробноE линейных преобразований с комплексными коэффициентамиF Это следует из геометрического смысла двойного отношенияX (q ) ! это та точкаD куда z4 переходит под действием дробноEлинейного преобE разованияD переводящего z1 в ID z2 в и z3 в HF Введ?м величину

? |z1 - z2 |2 z2 - z1 z1 - z1 ? ? : = . z2 - z2 z1 - z2 ? 4 sm z1 sm z2 Эта функция от пары точек p в H положительнаD симметрична и инвариантна относительно группы GF ВыяснимD как она связана с искоE мым расстоянием на H F Для этого ограничим наше рассмотрение мниE мой полуосью T = {ie , R}F Множество T инвариантно относительно однопараметрической группы подобийX z et z @или + tA и на н?м имеется единственноеD с точностью до масштабаD расстояниеD инвариантE ное относительно группы подобий и такоеD что T является римановым многообразием относительно этой метрикиF А именноD
@tFIA

(p) := q (p) =

d(ie1 , ie2 ) = |1 - 2 |.
С другой стороныD мы имеем

(ie1 , ie2 ) =

1 1 (e1 - e2 )2 = e 1 +2 4e 4

-2

- 2 + e2

-1

= sinh2

1 - 2

2

.

Мы приходим к соотношению @tFPA

(z1 , z2 ) = sinh2

d(z1 , z2 ) 2

,

которое справедливо на T ЧT D прич?м обе части равенства GEинвариантныF
Exercise TI. ПокажитеD что G ћ (T Ч T ) = H Ч H F Более точноD любая пара точек (z1 , z2 ) на H получается движением g G из пары точек (i, ie ) на T при подходящем RF

Из упражнения TI следуетD что @tFPA верно повсюдуF Простое вычисE ление приводит к окончательной формуле @tFQA

d(z1 , z2 ) = 2 log( (z1 , z2 ) +

(z1 , z2 ) + 1).

ИзвестноD что площадь области L и длина кривой C L даются интегралами @tFRA площадь () =


dx dy , y2

длина (C ) =
C

(dx)2 + (dy )2 . y

Первое подынтегральное выражение является единственнойD с точE ностью до множителяD дифференциальной PEформой на LD инвариантной относительно действия GF Эта форма не инвариантна относительно GX конформное преобразование второго рода меняет знак формыF


sxpy tF ПЛосКость ЛоБАчЕВсКоГо @ГИпЕрБоЛИчЕсКАя пЛосКостьA

IQQ

Второе подынтегральное выражение ! это квадратный корень из единственнойD с точностью до множителяD дифференциальной квадраE тичной формы @тоEестьD метрикиA на LD инвариантной относительно дейE ствия GF
Exercise TP. ПокажитеD что геодезическиеD тFеF кривые наименьшей длины ! это полуокружностиD ортогональные к вещественной оси @вклюE чая предельные случаи вертикальных лучейAF Hint. Используйте тот фактD что для любая пара точек p, q на L определяет единственную геодезическуюD проходящую через эти точкиF Поэтому любое преобразование g GD сохраняющее @неупорядоченнуюA пару p, q D переводит в себя и геодезическую и середину е? отрезка [p, q ]F Примените это соображение к паре p = i, q = ir и преобразованию s : z -rz -1 F

Существует замечательное соотношение между площадью треугольE никаD ограниченного дугами геодезическихD и его угламиX @tFSA
Exercise

Площадь (AB C ) = - A - B - C.

TQ. Проверьте формулу @tFSA для треугольника с тремя нулевыми угламиD который зада?тся неравенствами -a x a, x2 + y 2 a2 F

d(z , a) Exercise TR. ПокажитеD что множество Br (a) = {z L r} @круг на плоскости ЛобачевскогоA ! это обычный круг с центром a и радиусом r F Выразите a и r через a и rF
Answer. Exercise

a = e a + i cosh r ћ sm a,

r = sinh r ћ sm a F

TS. Рассмотрим евклидов круг D : (x - a)2 + (y - b)2 r2 на H F Вычислите его диаметр d и его площадь A в смысле гиперболической геометрииFP
Answer.

d = log

b+r b-r

;

A = 2

b b2 -r

2

- 1 = 4 sinh2

d 4

.

tFPF Вторая модель ПуанкареF Иногда удобнее рассматривать другой вариант модели ПуанкареF ИменноD преобразование М?биуса h : w w-i перводит вещественную ось в единичную окружность и верхE w +i нюю полуплоскость H во внутреннюю часть D0 единичного круга D : x2 + y 2 1F Вс?D что мы говорили выше об H может быть повторено для D0 mutatis mutandisF В частностиD группа GD действующая на верхней полуплоскостиD заE меняется группой G = h ћ G ћ h-1 D действующей на D0 F Связная комE понента единицы в G ! это группа h ћ P S L(2, R) ћ h-1 = P S U (1, 1; C)F Каждой паре точек p = (w1 , w2 ) D0 Ч D0 мы ставим в соответствие
ное расстояние между точками этого множестваF
PНапомнимD что диаметром произвольного множества D называется максимальE


IQR

UF ГЕоМЕтрИчЕсКИЙ И тЕорЕтИКоEГруппоВоЙ поДхоД

@G Eинвариантным образомA четв?рку q (p ) = (w1 , w2 , w1 1 , w2 1 )F Затем ?- ?- мы определяем функцию @tFTA

(p) := q (p ) =

|w1 - w2 |2 . (1 - |w1 |2 )(1 - |w2 |2 )

Подгруппа растяжений H D состоящая из преобразований с матриE e /2 0 цами g = переходит в подгруппу матриц вида g = 0 e- /2 cosh /2 sinh /2 h ћ g ћ h-1 = F Эта подгруппа сохраняет интерE sinh /2 cosh /2 вал h ћ T = T = (-1, 1) D0 F Если ввести на интервале T локальный t параметр t такD что x = tanh 2 D то преобразование g примет простую форму t t + F Поэтому инвариантное расстояние на T ! это просто d (t1 , t2 ) = |t1 - t2 |F С другой стороныD

(tanh t1 t2 tanh , tanh = 2 2 (1 - tanh

t2 2 t1 2 - tanh 2 ) 2 t2 2 t1 2 )(1 - tanh 2

)

= sinh2

t1 - t 2

2

.

Тогда @tFPA и @tFQA принимает форму @tFUA @tFVA

(w1 , w2 ) = sinh2

d (w1 , w2 ) 2 (w1 , w2 ) + 1).

d(w1 , w2 ) = 2 log( (w1 , w2 ) +

Формулы @tFRA заменяются на @tFWA 4 dx dy , Площадь () = (1 - x2 - y 2 )2

Длина (C ) =
C

2

(dx)2 + (dy )2 . 1 - x2 - y 2

Геодезическими являются дуги окружностейD ортогональных к D @вклюE чая диаметры DAF Формула @tFSA оста?тся в силеF
Exercise

TT. ПокажитеD что множество точек

{z L

d(z , a) r}

@гиперболический кругA является обычным кругом с центром a и радиE усом r F Выразите a и r через a и rF
Answer.

X

a=



a a2 +1 cosh r

,

r=

(a+a-1 ) a tanh r+a-1 coth r

F

Exercise TU. Вычислите диаметр d и площадь A круга Dr (a, b) : (x - a)2 + (y - b)2 r2 в D0 F Answer.

X

d = log

b+r b-r

;

A = 2

b b2 -r

2

- 1 = 4 sinh2

d 4

.


sxpy tF ПЛосКость ЛоБАчЕВсКоГо @ГИпЕрБоЛИчЕсКАя пЛосКостьA

IQS

Расширенная группа М?биуса G изоморфна группе P O(2, 1, R) P GL(3, R) @смF схолию pAF Поэтому существует ещ? одна модель плосE кости Лобачевского LF Она называется моделью Кляйна и мы опишем е? здесьF Группа O(2, 1, R) по определению действует на вещественном векE торном пространстве R2,1 с координатами X, Y , Z D сохраняя конус X 2 + Y 2 = Z 2 F Рассмотрим вещественную проективную плоскость P := P 2 (R) с однородными координатами (X : Y : Z ) и локальными координаE тами x = X , y = Y F Соответствующее проективное действие группы Z Z P O(2, 1, R) на P сохраняет окружность x2 + y 2 = 1 и открытый круг D0 : x2 + y 2 < 1F Это и есть модель КляйнаF Явная формула группового действия имеет вид @tFIHA abc ax+by+c a x+b y+c x , y где g = a b c ax + by + c ax + by + c abc принадлежит O(2, 1, R) GL(3, R)F Мы знаемD что g O(2, 1, R) если и только если g t I g = I D где I = dig (1, 1, -1)D илиD подробнееD @tFIIA (a )2 + (a )2 = a2 + 1,

tFQF Модель КляйнаF F

(b )2 + (b )2 = b2 + 1, b c + b c = bc,

(c )2 + (c )2 = c2 - 1, c a + c a = ca.

a b + a b = ab,
TV. ных компонентыD A ПокажитеD и P S O- (2, 1, R)D
Exercise

A ПокажитеD что группа O(2, 1, R) имеет четыре связE различаемые знаками det g и cF что P O(2, 1, R) имеет две связных компонентыX P S O+ (2, 1, R) различаемые знаком величины a b - a b F

ОтметимD что модель Кляйна использует то же множество D0 и ту же абстрактную группу G P O(2, 1; R)D что и вторая модель ПуанкареD но групповые действия различныF ОднакоD эти действия сопряжены в большей группе всех диффеоморE физмов D0 F Более точноD существует гладкое обратимое отображение f : D0 D0 и изоморфизм : G P O(2, 1, R) такиеD что следующая диаграмма коммутативнаX

G

Ч

D0 - - - - - - - D0 ------- f f D0 - - - - - - - D -------
проективное действие
0

конформное действие

P O(2, 1, R) Ч

Чтобы описать гомоморфизм D рассмотрим сначала связную компоE ненту единицы G GD которую мы отождествим с группой P S U (1, 1; C)F


IQT

UF ГЕоМЕтрИчЕсКИЙ И тЕорЕтИКоEГруппоВоЙ поДхоД

ОказываетсяD ограничение гомоморфизма на эту подгруппу индуциE руется гомоморфизмом : S U (1, 1; C) S O+ (2, 1; R)D который имеет вид @tFIPA e(a2 + b2 ) -sm(a2 + b2 ) 2 e (ab) ab g= (g ) = sm(a2 + b2 ) e(a2 - b2 ) -2 sm (ab) . ba -2 sm (ab) |a|2 + |b|2 2 e (ab) Вторая связная компонента группы G является двусторонним класE сом смежности по подгруппе GD тоEесть определяется одним элементом c GD в качестве которого можно взять отображение w wF Но в групE ? пе P O(2, 1, R) есть элемент c D действующий по правилу x x, y -y F Он зада?тся матрицей diag (-1, 1, -1) S O- (2, 1; R)F Из соотношения c ћ g ћ c = g мы выводимD что (c) совпадает с c F ДалееD горизонтальный диаметр D0 является множеством неподвижE ных точек для инволюции c = (c)D следовательно ! это геодезическая в модели КляйнаF РазумеетсяD это верно и для всех остальных диаметров иD более общоD для всех образов этого диаметра под действием группы P O(2, 1, R)F Поскольку группа действует проективными преобразоваE ниямиD она переводит прямые в прямыеF Мы приходим к замечательноE му свойству модели КляйнаX все геодезические являются интервалами обычных прямыхF Теперь обратимся к отображению f F Чтобы его найтиD мы воспольE зуемся следующими частными случаями формулы @tFIPAX cos 2 - sin 2 0 ei 0 : sin 2 cos 2 0 0 e-i 0 0 1 и cosh 2t 0 sinh 2t cosh t sinh t 1 0 . 0 : sinh t cosh t sinh 2t 0 cosh 2t Мы видимD что повороту на угол 2 в модели Пуанкаре соответствует такой же поворот в модели КляйнаF НапротивD группа сдвигов вдоль диаметра

x cosh t + sinh x sinh t + cosh переходит в ту же группуD x x

t , илиD если x = tanh , + t t но с удвоенным параметромX

x cosh 2t + sinh 2t , или + 2t. x sinh 2t + cosh 2t Мы приходим к заключениюD что искомый диффеоморфизм f в поE лярных координатах (r, ) для модели Пуанкаре и (, ) для модели Кляйна имеет вид
@tFIQA

f (r, ) = (, ) где = ,

= tanh 2 tanh-1 (r) .


sxpy tF ПЛосКость ЛоБАчЕВсКоГо @ГИпЕрБоЛИчЕсКАя пЛосКостьA

IQU

r (0, 0)

= f (r)

Рис. J.1.

Диффеоморфизм f

TW. QWF ПокажитеD что соотношение @tFIQA между r и может быть записано также в форме равенствX
Exercise

@tFIRA

a)

1+ = 1-

1+r 1-r

2

;

b) =

2 r+r

-1

.

ГеометрическиD диффеоморфизм f означает 4выпрямление4всех дуг окружностейD перпендикулярных границеD то есть замену их соответE ствующими хордамиF @смF РисF tFIAF Модель Кляйна наряду с описанным преимуществом @геодезические ! отрезки прямыхA имеет и недостаткиF ВоEпервыхD она не конформнаX углы на модели не равны углам в геометрии ЛобачевскогоF ВоEвторыхD формулы для расстоянияD площади области и длины кривой выглядят сложнееD чем в модели ПуанкареF Последние в полярных координатах имеют видX @tFISA (d)2 + 2 (1 - 2 )(d)2 2 d d 1 . площадь () = , длина (C ) = 2C 1 - 2 (1 - 2 ) 1 + 2
Exercise UH. ПокажитеD что переход от модели Кляйна ко второй модели Пуанкаре может быть получен следующей геометрической конE струкциейF 2 Пусть S- означает нижнюю @южнуюA полусферу единичной сферыD 2 не включая экватораF Стереографическая проекция s переводит S- в отE 0 D ограниченный экваторомF Обозначим через крытый единичный круг D 2 p вертикальную проекцию S- на D0 F Тогда отображение s p-1 : D0 0 зада?т изоморфизм между моделями Кляйна и ПуанкареFQ D

`! нужно лиc
QСказочное описание этого изоморфизма содержится в книге СFБоброва 4ВолE шебный двурог ИздEво ММЦНОD PHHTF ЗаодноD читатель узнает тамD что такое 4схолия4F


IQV

UF ГЕоМЕтрИчЕсКИЙ И тЕорЕтИКоEГруппоВоЙ поДхоД

UFIF Действие группы G и ковры Аполлония
Здесь мы рассмотрим подробнее действие расширенной группы М?E биуса в связи с коврами АполлонияF Под действием конформного преобразования @первого или второго родаA данный ков?р Аполлония A переходит в другой такой ков?р A F Более тогоD мы знаемD что любой ков?р Аполлония получается таким образом из одного фиксированного ковраF Таким образомD множество A всех ковров Аполлония является однородным пространством относиE тельно действия группы GF Обозначим через Aut (A) подгруппу в GD состоящую из преобразованийD переводящих A в себяF Через Aut (A) мы обозначим пересечение Aut (A) G. Тогда множество A можно предстаE вить как A = G/Aut (A) = G/Aut (A).
Theorem

UFI.

Подгруппы

Aut A G

и

Aut (A) G

дискретны.

Пусть D1 , D2 , D3 ! три попарно касающихся круE га из AF Выберем три внутренние точки w1 D1 , w2 D2 , w3 D3 F ЗаE тем выберем окрестность единицы U GD достаточно малую для тогоD чтобы для всех g U выполнялось условие g ћ wi Di , i = 1, 2, 3 F С другой стороныD если g Aut AD то круги g ћ D1 , g ћ D2 , g ћ D3 тоже принадлежат ковру AF Но круги Di и g ћ Di имеет общую внутреннюю точку g ћ wi иD следовательноD совпадаютF Мы видимD что любой элемент g U Aut(A) сохраняет каждый из кругов D1 , D2 , D3 F Поэтому он имеет три неподвижные точки ! точки касания кругов иD значитD равен единицеF Это и значит дискретность Aut (A) в GF Дискретность Aut (A) следует из того же доказательстваD ели мы выберем окрестность U G такD чтобы она не содержала конформных преобразований второго родаF
Доказательство.

Мы хотим теперь исследовать строение подгрупп Aut(A) и Aut(A)D которые являются стабилизаторами точки A A в группах G и GF ОсE новное техническое средство для этого ! рассмотрение множеств троек и четв?рок попарно касающихся кругов на CD как однородных пространств относительно группы GF При этом полезно рассматривать как упорядоE ченныеD так и неупорядоченные тройки и четв?ркиF Введ?м соответствуE ющие обозначенияX T ! множество упорядоченных троек попарно касающихся кругов на CY T ! множество неупорядоченных троек попарно касающихся кругов на CY Q ! множество упорядоченных четв?рок попарно касающихся кругов на CY Q ! множество неупорядоченных четв?рок попарно касающихся круE гов на CY


UFIF ДЕЙстВИЕ Группы G И КоВры АпоЛЛонИя

IQW

Выберем начальную точку в AD напримерD ков?рEлентуD показанный на РисF pFP и обозначим его A0 F Кроме тогоD закрепим обозначения D1 , D2 , D3 , D4 для следующих @обобщ?нныхA кругов из A0 X ћ D1 ! полуплоскость sm w 1D ћ D2 ! полуплоскость sm w -1D ћ D3 ! круг |w - 1| 1D ћ D4 ! круг |w + 1| 1F Назов?м эту упорядоченную четв?рку кругов базисной четв?ркой в A0 и обозначим е? q0 F Ту же четв?ркуD рассматриваемую как неупоряE доченнуюD мы обозначим q0 F
Theorem

UFP.

Группа

G

действует просто транзитивно на мно-

жестве ки

Q

упорядоченных четв?рок.

На множестве

Q

неупорядоченных четв?рок стабилизатором точ-

0 является группа, изоморфная перестановками кругов.

q

S

4 и действующая на четв?рке

q

0

Доказательство. Пусть ! q = (D1 , D2 , D3 , D4 ) любая упорядоE ченная четв?ркаF Существует единственный элемент g GD переводящий упорядоченную тройку t0 = (D1 , D2 , D3 ) в тройку t = (D1 , D2 , D3 )D поскольку упорядоченная тройка кругов вполне определяется упорядоE ченной тройкой точек касанияF Круг g (D4 ) ! это один из двух круговD касательных к кругам из тройE ки t F Второй кругD обладающий тем же свойствомD получается из g (D4 ) отражением в зеркалеD ортогональном ко всем кругам из тройки t F @Аналогичное утверждение для тройки t0 очевидноF Поэтому оно верно для всех троекFA Таким образомD ровно один из элементов g , g перевоE дит q0 в q F Мы доказали транзитивность действия G на QF ПокажемD что стабилизатор точки q0 сводится к единицеF ДействительноD любой элеE мент этого стабилизатора имеет по крайней мере T неподвижных точек ! 0, , +1 + i @точки касания четыр?х круговAF Но любой неединичE ный элемент G имеет не больше тр?х неподвижных точекF Что касается преобразований второго родаD заметимD что если такое преобразование имеет три неподвижные точкиD то оно сохраняет зеркало @обобщ?нную окружностьA проходящее через эти точки и является отражением в этом зеркалеF Это противоречит томуD что наши T точек не лежат на одной окружностиF Оста?тся проверитьD что стабилизатор q0 в G действует на этой четE в?рке всеми возможными перестановкамиF Но мы уже знаемD что для любой перестановки s S4 существует g GD переводящий четв?рку q0 в (Ds(1) , Ds(2) , Ds(3) , Ds(4) )F Теорема доказанаF

Существует четыре четв?рки qi , 1 i 4D имеющие с базисной четв?ркой q0 общую тройку ti = q0 \{Di }F Обозначим через Di тот круг


IRH

UF ГЕоМЕтрИчЕсКИЙ И тЕорЕтИКоEГруппоВоЙ поДхоД

Рис. 7.2.

Базисные отражения

в qi D который не входит в q0 и через i ! отражениеD переводящее Di в Di и сохраняющее остальные круги в q0 F СмF РисF UFI
Theorem

UFQ.

Группа



, порожд?нная базисными отражениями

i , 1 i 4,

изоморфна группе



4 , введенной в схолии H.

Схема доказательства. Благодаря универсальному свойству 4 D мы имеем гомоморфизм : 4 D определ?нный на образующих праE виломX (si ) = i , 1 i 4F ЯсноD что это ! эпиморфизмF ПосмотримD каким может быть ядро F В схолии r мы ввели нумерацию элементов группы 4 словами в алфавите {1, 2, 3, 4}D не содержащими повторяющихся буквF Назов?м такие слова приведеннымиF Напомним такжеD что l(w) означает длину словаD а W (k) означает множество всех приведенных слов длины k F Таким образомD W (0) содерE жит только пустое слово D соответствующее единице группыY множеE ство W (1) содержит четыре слова {i}, i = 1, 2, 3, 4, соответствующих образующим si группыY множество W (2) содержит T слов {ij }, i = j D соответствующих произведениям si sj D и тFдF Для любого элемента 4 вида si1 si2 ћ ћ ћ sik , k 1, мы обозначим через D( ) кругD в который переходит Di1 под действием -1 D то есть

@UFIFIA @UFIFPA

D( ) := ik ik ћ i1 Di1 = ik ik ћ
- D(1 2 ) = 2 1 ћ D(1 )

ik

-1

Di1 .

ЯсноD что имеет место равенство для всех 1 = 2 = eF Если неединичный элемент принадлежит ядру D тоD согласно @UFIFIAD D( ) = ( )Di1 = Di1 F Однако мы покажем нижеD что все круги D( ), = e, различны и лежат вне начальной четв?рки q0 F Я рекомендую читателю попытаться найти собственное доказательствоD поскольку приводимое ниже довольE но длинноF Разобь?м группу 4 на S частейX единицу и четыре подмножества (i) 4 , i = 1, 2, 3, 4, в зависимости от первой буквы словаD соответствуюE щего данному элементуF Для удобства изложения будем считатьD что все неединичные элементы группы 4 покрашены в четыре разные цветаF Теперь покажемD что можно раскрасить все круги в A0 четырьмя цветами такD что в любой четв?рке попарно касающихся кругов встреE чаются все четыре цветаF ДействительноD сначала раскрасим четырьмя цветами кругиD входящие в начальную четв?рку q0 F ДалееD множество S 2 \q0 состоит из четыр?х треугольниковD каждый из которых ограниE чен тремя кругами разного цветаF Мы можем продолжить раскраскуD присвоив новому кругуD вписанному в треугольникD единственный цветD


UFIF ДЕЙстВИЕ Группы G И КоВры АпоЛЛонИя

IRI

отличный от цветов соседейF В новой картинке опять каждая четв?рка содержит все четыре цвета и мы можем опять продолжать раскраскуF Действие группы 4 сохраняет раскраскуD поскольку этим свойством обладают образующие элементы i @проверьте3AF Отметим также простое правилоX цвет круга D( ) совпадает с первой буквой словаD соответствуE ющего иD стало бытьD с цветом самого элемента F Теперь мы построим нумерацию кругов в A0 F ИменноD рассмотрим все конечные непустые слова в алфавите {1, 2, 3, 4}D не содержащие поE вторяющихся буквF Каждому слову w = {i1 i2 . . . ik } длины k 1 мы поставим в соответствие элемент w = i1 i2 . . . ik длины k в 4 и круг Dw := D(w ) в A0 F Наша цель E доказатьD что все эти круги различны и лежат вне наE чальной четв?рки q0 F Для этого мы сравним построенную здесь нумеE рацию с тойD которая была построена в разделе pF ОказываетсяD эти нумерации просто совпадают3 Я не хочу приводить формальное доказаE тельствоD а просто предлагаю читателю прочитать параллельно описаE ние обеих нумераций и убедитьсяD что они одинаковыF ОтсюдаD разумеE етсяD вытекает нужное нам утверждениеF Продолжим изучение действия группы G на кругахF
Exercise UI. F A Найти все преобразования g GD сохраняющие неупорядоченную тройку D1 , D2 , D3 попарно касающихся круговF A Тот же вопрос относительно неупорядоченной четв?рки D1 , D2 , D3 , D4 F rintX A Рассмотрите точки касанияX 1 + i и F A ПосмотритеD какие из преобразований A сохраняют круг D4 F

Из упражнения UI можно вывести следующий результатF
Theorem

UFR.

a) Стабилизатор

SG

любой неупорядоченной трой-

ки попарно касающихся кругов в группе

A

содержится в

Aut(A)

и изоморфен

S3 : все перестановки кругов возможны. b) Стабилизатор S G любой неупорядоченной тройки попарно A
содержится в

касающихся кругов в

S

2 ; центральный элемент, порождающий зеркале, ортогональном к D1 , D2 , D3 .
c) Стабилизатор в сающихся кругов в

Aut(A) S2 ,

и изоморфен группе S3 Ч является отражением в

G

любой неупорядоченной четв?рки попарно ка-

A

содержится в

Aut(A)

и изоморфен

A

4 : все ч?тные

перестановки кругов возможны. d) Стабилизатор в сающихся кругов в e) Группа

G

любой неупорядоченной четв?рки попарно ка-

A

содержится в

Aut(A)

и изоморфен

S

4 : все пере-

становки кругов возможны.

Aut(A)

действует просто транзитивно на множестве

всех упорядоченных четв?рок в

A

. Относительно действия группы

Aut(A)

множество всех упорядоченных четв?рок образует две орбиты.


IRP

UF ГЕоМЕтрИчЕсКИЙ И тЕорЕтИКоEГруппоВоЙ поДхоД

Рис. 7.3.

Стабилизатор пары кругов

Для упорядоченной тройки t стабилизатор в G тривиаленD поэтому элемент g G вполне определяется упорядоченной тройкой g ћ tF По этой же причине элемент g G вполне определяется упорядоченной четв?ркой g ћ q . Теперь мы рассмотрим множество всех пар касающихся кругов в A0 F Они образуют однородное пространство относительно группы Aut(A)F Стабилизатор пары {D1 , D2 } изоморфен группе 2 Z2 Z2 e'(1, Z)F В самом делеD искомый стабилизатор состоит из преобразований w +w + k , k Z и свободно порождается двумя отражениями s1 (w) = -w, s2 (w) = 1 - wF НаконецD рассмотрим стабилизатор в Aut(A) круга D1 A0 F Удобно заменить ков?р A0 аффинно эквивалентным ковром A1 = 1 (A0 + 1 - i) 2 такD что D1 становится верхней полуплоскостьюD а точки касания D1 с D3 и D4 будут H и ID ! смF РисF UFQ Стабилизатор нового круга D1 в G ! это подгруппа P S L(2, R)D а его стабилизатор в G получается добавлением отражения s0 (w) = -wF ? Пересечение этих подгрупп с Aut(A) и Aut(A) имеют видFFF

UFPF Действие группы на ковре Аполлония
Пусть опять мой UFPAD i , 1 из q0 D исключая мировать в виде
Theorem

q0 означает начальную четв?рку @смF текст перед теореE i 4, означает отражениеD сохраняющее три круга Di F Результат предыдущих рассуждений можно резюE теоремыF
a) Группа

4 , изоморфна 4 . Действие этой группы на множестве всех кругов из A имеет четыре орбиты, каждая из которых содержит ровно один из кругов

UFS.



, порожд?нная,

1 , 2 , 3 ,

D1 , D2 , D3 , D

4 начальной четв?рки. b) Стабилизатор круга D1 в порожд?н отражениями 2 , 3 , 4 и изоморфен 3 . Действие этого стабилизатора на множестве кру-

A, касательных к D1 , имеет три орбиты, каждая из которых содержит ровно один из кругов D2 , D3 , D4 . c) Стабилизатор пары D1 , D2 в порожд?н отражениями 3 , 4
гов из из

2 . Действие этого стабилизатора на множестве кругов , касательных к D1 , D2 , имеет две орбиты, каждая из которых содержит ровно один из кругов D3 , D4 .
и изоморфен

A

и изоморфен

D1 , D2 , D3 в порожд?н отражением 4 . Действие этого стабилизатора на множестве кругов 1 из A, касательных к D1 , D2 , D3 , имеет одну орбиту, состоящую из кругов D4 , D4 .
d) Стабилизатор тройки




UFPF ДЕЙстВИЕ Группы нА КоВрЕ АпоЛЛонИя

IRQ

Иллюстрацией к первому утверждению теоремы служит РисF UFRD где четыре Eорбиты раскрашены разными цветамиF Группа 4 имеет ещ? одно действие на множестве всех упорядоE ченных четв?рок попарно касающихся кругов из AF А именноD определим действие образующей si , 1 i 4, на четв?рке q = {D1 , D2 , D3 , D4 } как отражение q в зеркалеD ортогональном тр?м окружностям из { D1 , D2 , D3 , D4 }D за исключением Di F ЯсноD что это преобразование инE волютивноX s(s(q )) = q F @ПроверьтеD что s1 (q ) = {D1 , D2 , D3 , D4 }D где D1 ! второй круг @кроме D1 AD касающийся D2 , D3 , D4 FA В силу универE сального свойства 4 D существует единственный гомоморфизм : 4 Aut(A)D продолжающий действие образующихF Это действие обладает следующим замечательным свойствомF
Lemma

UFI.

Допустим, что кривизны граничных окружностей для

четв?рки кругов q равны c1 , c2 ветствующие кривизны равны

, c4 , c4

. Тогда для четв?рки

s1 (q )

соот-

@UFPFIA

c1 , c2 , c4 , c4 ,

где

c1 = 2c2 + 2c3 + 2c4 - c1 .

Доказательство.

Согласно уравнению ДекартаD мы имеемX
2

(c1 + c2 + c3 + c4 )2 = 2(c2 + c2 + c2 + c2 ) 1 2 3 4 (c1 + c2 + c3 + c4 )2 = 2(c1 + c2 + c2 + c2 ). 2 3 4
Вычитая из первого равенства второеD получаемX

(c1 - c1 )(c1 + c1 + 2c2 + 2c3 + 2c4 ) = 2(c2 - c1 ), 1
или

2

c1 + c1 + 2c2 + 2c3 + 2c4 ) = 2(c1 + c1 ), что и утверждалосьF
Таким образомD группа по правилуX @UFPFPA

4 действует линейно в пространстве R

4

-1 0 (s1 ) = 0 0



2 1 0 0

2 0 1 0

1 0 (s3 ) = 2 0

2 0 , 0 1



0 1 2 0

100 2 -1 2 (s2 ) = 0 0 1 000 00 0 0 , (s4 -1 2 01



1 0 )= 0 2

0 2 , 0 1

0 1 0 2

00 0 0 . 1 0 2 -1

Замечательное свойствоD о котором говорилось вышеD состоит в томD что это действие согласовано с действием () коммутативной диаграмE мойX


IRR

UF ГЕоМЕтрИчЕсКИЙ И тЕорЕтИКоEГруппоВоЙ поДхоД

Рис. 7.4.

Орбиты группы


UFPF ДЕЙстВИЕ Группы нА КоВрЕ АпоЛЛонИя

IRS

Q -- -- c R4 - - --
( )

( )

Q c R4 ,

где c означает отображениеD ставящее в соответствие упорядоченной четE в?рке q Q точку в R4 с координатами (c1 , c2 , c3 , c4 )D равными кривизE нам окружностейD ограничивающих круги из q F
Problem IQ. A Описать образ группы при линейном представлеE нии F A ПоказатьD что ! точное представление @то есть его ядро состоит только из единичного элементаAF

Есть ещ? одна интересная группаD порожд?нная отражениями и дейE ствующая на ковре АполлонияF А именноD пусть hij ! отражение в зерE калеD которое проходит через точку касания tij кругов Di и Dj и ортогоE нально двум другим кругам начальной четв?ркиF ЯсноD что это отражеE ние переставляет Di и Dj и сохраняет два остальных кругаF Обозначим через H группуD порожд?нную шестью отражениями hij F Мы оставляем читателю доказатьD что эта группа состоит из PR элементов и изоморфна S4 F
Theorem

UFT.

Полная группа

Aut(A)

конформных автоморфизмов

(обоего рода) ковра Аполлония

H



подгруппы

H

0 является полупрямым произведением и нормального делителя .

A

По определениюD группа H переставляE ет круги из начальной четв?ркиF Поэтому сопряжение элементами h H переставляет образующие группы F СледовательноD H нормализует подгруппу F ДалееD согласно теореме UFPD группа может перевести люE бую неупорядоченную четв?рку q в начальную четв?рку q0 F С помощью подходящего элемента H можно произвольно менять порядок кругов в q0 F Таким образомD группа H действует транзитивно на множеE стве упорядоченных четв?рок из A0 F Пусть теперь g ! любой элемент группы Aut(A)F Он переводит q0 в некоторую четв?рку q F С помощью подходящего элемента g H мы можем вернуть q в q0 F Композиция g g сохраняет q0 D следовательноD является единицейF Поэтому g = (g )-1 принадлежит H F
Схема доказательства. Exercise

в которых аA для бA для A для

UP. Пусть M означает множество всех зеркалD отражение сохраняет A0 F Является ли M однородным пространством группы c группы Aut (AAc группы Aut (AAc


IRT

UF ГЕоМЕтрИчЕсКИЙ И тЕорЕтИКоEГруппоВоЙ поДхоД

Рассмотрим подробнее линейное представление группы D опредеE л?нное формулами @UFPFPAF
Lemma

UFP.

Преобразования

(si )

являются отражениями и сохра-

няют квадратичную форму

Q(c) =

(c0 + c1 + c2 + c3 )2 - (c2 + c2 + c2 + c2 ); 0 1 2 3 2

следовательно, они переводят каждое решение уравнения Декарта в другое (или то же) решение.

Гиперплоскость Mi D заданная уравнением ci = cj инвариантна относительно (si )D поскольку для точек этой гиE j =i перплоскости мы имеем ci = 2ci - ci = ci @смF лемму lXnumrefAF ЗначитD (si ) является отражением в Mi в направлении iEой координатной осиF
Доказательство.

НапомнимD что выше мы использовали замену координат @TFIFIAD коE торая переводит целочисленные решения уравнения Декарта в целочисE ленные световые векторы пространства Минковского R1,3 с координатаE ми t, x, y , z F Таким образомD представление эквивалентно некоторому представлению в R1,3 псевдоEортогональными преобразованиямиF
Exercise

UQ. ПокажитеD что (si ) действуют в R

1 ,3

по формуламX

@UFPFQA

si (v ) = v -

2(v , i ) i (i , i )

11 1 1 1 1 -1 -1 где i , 0 i 3, ! векторыEстолбцы матрицы 1 -1 1 -1D котоE 1 -1 -1 1 рая приводит форму Q(c) к диагональному видуF
ИспользуйтеD тот фактD что преобразования @TFIFIA в пространE стве R с координатами (c0 , c1 , c2 , c3 ) являются отражениямиF
Hint.

4

Скажем ещ? немного о строении группы F UFQ. Группа изоморфна полупрямому произведению Z2 F3 свободная группа с тремя образующими, а нетривиальный 3 элемент подгруппы Z2 действует на F3 внешним автоморфизмом, обLemma

где

F

ращающим все генераторы.
Доказательство.

В самом делеD мы знаемD что

= s0 , s1 , s2 , s

3

s2 = 1 . i

Введ?м новые образующиеX s := s0 и i := s0 si , i = 1, 2, 3F Тогда s2 = 1, si s = i-1 и мы должны только проверитьD что i не связаны никаE кими соотношениямиF Это можно сделатьD используя явную реализацию D построенную вышеF


UFPF ДЕЙстВИЕ Группы нА КоВрЕ АпоЛЛонИя

IRU

В терминах новых образующих представление имеет видX

@UFPFRA

5 4 (1 ) = 2 2 5 2 (3 ) = 2 4



-4 -3 -2 -2 2 1 0 2 2 0 1 2

2 2 1 0

2 2 , 0 1 -4 -2 , -2 -3

5 2 (2 ) = 4 2 2 1 (s) = 1 1



2 1 2 0

-4 -2 -3 -2

-1 -1 0 -1 -1 0 -1 -1

2 0 , 2 1 -1 -1 . -1 0

Первые три матрицы унипотентны с жордановой структурой @QD IAF Интересно было бы найти прямое геометрическое доказательство дисE кретности этой группы и найти е? фундаментальную область @смF наE примерD grTSAF



Глава V
Многомерные ковры Аполлония

VFIF Общие соображения
Рассмотрим следующий аналог проблемы ДекартаX найти соотношеE ние между радиусами n + 2 попарно касающихся шаров в Rn F Здесь опять лучше перейти от радиусов к кривизнамD а также расE ширить Rn D добавив бесконечно удал?нную точку F Расширенное проE n странство R топологически эквивалентно единичной сфере S n D заданE ной уравнением
n 2 k = 1 k=0

с координатами 0 , . . . , n F в пространстве R Пусть Bn означает совокупность всех обобщ?нныхI шаров в Rn F Мы дадим здесь несколько параметризаций множества Bn F Поучительно сравE нить этот общий результат со случаем n = 2D изучавшимся в предыдуE щих разделахF Первая параметризацияF Пусть R1,n+1 означает (n + 2)Eмерное веE щественное векторное пространство с координатами (p0 , . . . , pn+1 )D снабE ж?нное квадратичной формой
n+1

@VFIFIA

|p|2 := p

02

-p

2 1

-p

2 2

- ћћћ - p

2 n+1

.

Каждому вектору p R1,n+1 мы поставим в соответствие полупроE странство Hp Rn+1 D заданное неравенством
n+1

@VFIFPA
Exercise

Hp :=

R

n+1

p0 +
k=1

pk k 0 .

UR. ћ для |p > 0 ћ для |p|2 = 0 ћ для |p|2 < 0

|2

ПокажитеD что пересечение S n Hp ! пустоY ! или вся сфераD или единственная точка @какаяcAY ! замкнутый шарD который мы обозначим Bp F
n+1

Hint.

Рассмотрите проекцию R

на прямуюD ортогональную к Hp F

ЯсноD что для c > 0 полупространства Hp и Hcp совпадаютF ЗначитD Bp = Bcp F Поэтому мы можем нормализовать p условием |p|2 = -1F
либо замкнутое полупространствоD либо внешность непустого открытого шараF
IRW IОбобщ?нный шар ! это либо обычный замкнутый шар положительного радиусаD


ISH

VF МноГоМЕрныЕ КоВры АпоЛЛонИя

Таким образомD множество Bn всех шаров в S n параметризуется точками гиперболоида |p|2 = -1 в R1,n+1 F Вторая параметризацияF Определим стереографическую проекE n цию s : S n R как в схолии pF Это отображение устанавливает биекE n n цию S n на R и переводит шары в S n в обобщ?нные шары в R F Неравенство из @VFIFPA переходит в неравенство @VFIFQA

a + (b, x) + c(x, x) < 0

где x = (x1 , . . . , xn ), b = (p1 , . . . , pn ), a = p0 - pn+1 , c = p0 + pn+1 и выполняется условие ac - |b|2 < 0F Таким образомD множество Bn параметризуется тройками (a, b, c) R Ч Rn Ч RF Как и раньшеD мы нормализуем вектор (p0 , . . . , pn+1 ) @или тройку (a, b, c)A условием |p|2 = ac - |b|2 = -1F
Exercise US. Шары Bp1 и Bp2 касаются друг другаD если и только если |p1 + p2 |2 = 0F Exercise UT. ПредположимD что Bp1 и Bp2 имеют общую точку xF Найти угол между радиусами Bp1 и Bp2 в точке xF

Используйте тот фактD что ответ практически не зависит от размерности nX достаточно рассмотреть двумерную плоскостьD прохоE дящую через центры шаров и через точку xF Поэтому общий случай сводится к случаю n = 2F
Hint. Answer.

@VFIFRA
n

cos = -(p1 , p2 ).

Пусть теперь Bpk , k = 1, 2, . . . , n + 2, ! попарно касающиеся шары в R . ТогдаD как и в разделе IFRcD мы имеем

pi , p

j

= 1 - 2i,j .

Это следует также из @VFIFRAD так как для касающихся шаров cos = cos = -1. Введ?м матрицу Грама G попарных скалярных произведенийX Gi,j = pi , pj F Число -2 является собственным значением кратности n + 1D так как ранг матрицы G + 2 ћ 1 равен IF УчитываяD что след матрицы Грама равен -(n + 2)D мы видимD что n + 2Eое собственное значение равно nF Поэтому G невырождена и векторы pk , 1 k n + 2, линейно независимыF СледовательноD они образуют базис в R1,n+1 F ДалееD для любого вектора v R1,n+1 мы введ?м два набора коорE динатX так называемые ковариантные координаты vk = (v , pk ) и конE травариантные координаты v k D определяемые равенством v = v k pk F Соотношения между двумя типами координат выводится в точности такжеD как для двумерного случаяF Они выглядят такX 1 1 vj - vi . @VFIFSA vj = v i - 2v j , vi = 2n 2
i j


VFIF БщИЕ сооБрАЖЕнИя

ISI

Основная квадратичная форма в этих координатах да?тся формулами @VFIFTA

|v |2 =
i

v

i2

-2
i

(v i )2 =

1 2n

vi
i

2

-n
i

(vi )2

.

Рассмотрим вектор v с ковариантными координатами (1, -1, 0, . . . , 0, 0)Y тогда vk = v , pk = pn+1 + p0 = ck . НапомнимD что ck ! это кривизна k k границы шара Bpk F Поскольку |v |2 = 0D мы получаем уравнение @VFIFUA
k

ck

2

=nћ
k

c2 , k

которое является nEмерным аналогом уравнения ДекартаF UU. Докажите следующий nEмерный аналог обобщ?нного уравнения ДекартаF
Exercise

@VFIFVA где

2 = n ћ 2 - 2n2 ћ 1, 1
n+1 n+1

@VFIFWA

1 =
i=0

Mi ,

2 =
i=0

M

2 i

и Mi , 0 i n + 1, ! матрицыD соответствующие n + 2 попарно касаюE щимся шарам в Rn F Чтобы понять ситуацию в общем случае рассмотрим следующую конE 0 фигурациюF Пусть {Bk }1kn ! семейство попарно касающихся шаров n F Попробуем описать все двусторонние последовательности шаров вR {Bj }j Z D обладающие свойствамиX Bj касается шара Bj +1 и всех шаров 0 0 {Bk }1kn . Пусть dk означает кривизну границы Bk D а cj ! кривизну границы Bj F Из @VFIFUA следуют уравненияX

(cj + cj

+1

+ d1 + ћ ћ ћ + dn )2 = n ћ c2 + c2+1 + d2 + ћ ћ ћ + d2 . j j 1 n + cj + 2d1 + ћ ћ ћ + 2d + cj = n(cj + cj ),

Вычитая одно уравнение из другогоD получаемX

2cj + cj
или @VFIFIHA

+1

-1

n

+1

-1

(n - 1)(cj

+1

-1

) - 2cj = 2(d1 + ћ ћ ћ + dn ).

Это ! неоднородное рекуррентное уравнение для последовательности {cj }F Сравнивая два таких уравнения для соседних значений j D можно получить однородное уравнение @VFIFIIA @VFIFIPA

(n - 1)cj

+1

- (n + 1)cj + (n + 1)cj

-1

- (n - 1)cj

-2

= 0.

Характеристический многочлен этого уравнения равен

(n - 1)3 - (n + 1)2 + (n + 1) - (n - 1)


ISP

VF МноГоМЕрныЕ КоВры АпоЛЛонИя

и его корни имеют видX @VFIFIQA

0 = 1,

+1

=

1+

n(2 - n) n-1

Мы видимD что структура множества корней иD следовательноD поведение последовательности {cj }D различны в случаях n = 2, n = 3 и n > 3F Когда n = 2D характеристический многочлен имеет тройной корень = 1F Поэтому последовательность {cj } квадратична по j F @Левая часть @VFIFIIA ! это третья разностная производная от {cj }FA 2k i При n = 3D характеристический многочлен имеет корни k = -e 3 , k = -1, 0, 1D тоEесть три корня шестой степени из ID которые не являются кубическими корнями из IF ПоэтомуD последовательность {cj } имеет пеE риод TF Более тогоD не только последовательность кривизнD но и сама последовательность шаров имеет период TF Есть ещ? одно обстоятельE ствоX поскольку только три из шести корней из I являются корнями характеристического многочленаD последовательность {cj } обладает доE полнительным свойствомX cj + cj +3 не зависит от j F Эти красивые геометE рические факты были известны уже в Древней Греции @смF подробности в odQTAF UV. Пусть B1 , B2 , B3 три попарно касающихся единичных шара в R F Описать шест?рку шаровD касающихся всех Bk , k = 1, 2, 3F
Exercise

3

Hint.

Соответствующие кривизны равны 0, 0, 3, 6, 6, 3F

При n > 3 ситуация совершенно другаяF Характеристический мноE гочлен имеет один вещественный корень 0 = 1 и два комплексных корE n2 ня +1 = 1+i n-1-2n на единичной окружностиF Запишем их в форме 1 +1 = e+i F Тогда cos = n-1 F
Proposition

уравнения

1,

VFI. cos 2 = m m = 6, n = 2.

Все целочисленные положительные решения 1 n исчерпываются следующими двумя: m =

m, n n=

Отсюда следуетD что при n > 3 последовательность шаров {Bj }j Z в R3 имеет квазипериодический характер и самопересекается бесконечно много разF Кроме тогоD из рекуррентного соотношения @VFIFIRA

cj

+1

=

2 cj - cj n-1

-1

мы заключаемD что при n > 3 кривизны границ Bj не могут быть целоE численными для всех j F

VFPF QEмерный ков?р Аполлония
Как мы видели вышеD случай n = 3 является исключительнымF Из каждого решения (c1 , . . . , c5 ) уравнения Декарта мы можем изготовить


VFPF QEМЕрныЙ КоВ?р АпоЛЛонИя

ISQ

пять новых решенийD применяя операции si , i = 1, . . . , 5F ИменноD опеE рация si заменяет ci на j =i cj - ci D оставляя остальные кривизны неизE меннымиF Операции si D как и ранееD являются инволюциямиX s2 = sdD i ноD кроме тогоD они удовлетворяют соотношениям (si sj )3 = sd для i = j F Поэтому каждая пара (si , sj ), i = j, порождает группуD изоморфную S3 D! группу Вейля алгебры Ли типа A2 F Ещ? более интересноD что любые три отражения (si , sj , sk ) порождаE ют так называемую аффинную группу Вейля для A2 D изоморфную полупрямому произведению S3 Z2 F
в

R

Proposition VFP. Для любых тр?х попарно касающихся шаров B1 , B2 3 множество центров шаров, касающихся всех тр?х B , топологиi

, B3

чески представляет собой окружность. Можно так параметризовать эту окружность точками трами в

T = R/2 Z,

что шары

B ()

и



и



касаются тогда и только тогда, когда

B ( ) с цен - = + 3 B1 , B2
в

mod 2 Z.
Proposition

VFQ.

Для любых двух касающихся шаров

R

3

множество центров шаров, касающихся

B1

и

B2

, топологически явля-

ется двумерной сферой. Можно так параметризовать эту сферу точками R2 , что шары B () и B ( ) с центрами в и касаются тогда и только тогда, когда

| - | = 1.

Мы оставляем читателю доказать эти предложения и связать их со структурой подгрупп si , sj и si , sj , sk F
Problem IR. Определить структуру группы = s1 , s2 , s3 , s4 , s5 и е? подгруппы si , sj , sk , sl F

Много полезной информации об этой задаче можно найти в книге iqwF СмF также в g очень интересное введение в теорию квадратичE ных формF Понятие совершенной параметризации кругов может быть обобщено на QEмерный случайF Рассмотрим поле алгебраических чисел K = Q[ ]D 2 i где = e 3 ! кубический корень из единицыF Общий элемент этого поE ля имеет вид k = + ?D где , QD а черта означает комплексное сопряжениеF Можно рассматривать K как двумерное пространство над полем Q с басисом и ?F Операция умножения на k в этом базисе заE - - писывается матрицей M (k ) = Определим след и норму - - числа k K как след и определитель M (k ) соответственноX @VFPFIA

? tr k = k + k = + ,

? ||k ||2 = |k |2 = k k = 2 - + 2 . K

Через E мы обозначим подмножество K D выделяемое условиями Z, ZF Элементы E ! это целые числа поля K F Существует шесть обратимых целых чиселX +1, + , +?F Они характеризуются условием


ISR

VF МноГоМЕрныЕ КоВры АпоЛЛонИя

||k || = 1 и называются единицами поля K F ИзвестноD что каждое цеE лое число однозначно @по модулю единицA разлагается в произведение простых чиселD тоEесть такихD которые делятся только на себя и на едиE ницыF Что касается простых чиселD они бывают двух сортовX обычные простые числа вида p = 3m - 1 и такие комплексные числа k = a + b? с целыми a, b для которых квадрат нормы равен Q или обычному простому числу вида 3m + 1F Начало списка простых чисел поля K имеет видX 2, - ?, 5, 2 - ?, 11, 3 - ?, 17, 3 - 2?, 23, 29, 5 - ?, 4 - 3?, ...
Из сказанного следуетD что каждый элемент k K может быть одE нозначно @по модулю единицA записан в виде несократимой дроби k = p D q где p, q E не имеют общих множителейD не считая единицF Можно также записать k в виде k = l +m?D где l, m, n обычные целые числа с n НFОFДF(l, m, n) = 1F VFI. Пусть D ! тр?хмерный шар в целочисленном QE 2 мерном ковре АполлонияF Параметризация множества D точками R называется совершеннойD если точки касания D с остальными шарами 2 в точности соответствуют точкам K R F
Definition

Пусть Dk A означает шарD касающийся D в точке k = @Если q = 0, k = K AF
Theorem

p q

KF

VFI.

Совершенные параметризации существуют и обла-

дают свойствами: a) Пусть лой:

K

k=

p q . Кривизна

ck

границы шара

Dk

да?тся форму-

@VFPFPA
где ющем

ck = |p|2 + pq + pq + |q |2 + ? ?? C. (x1 , x2 , x3 )
в окружа-

, R,

b) Существует такая координатная система R3 , что

@VFPFQA
c) Пусть тогда, когда

xi = ki =
pi q1

i |p|2 + i pq + i pq + i |q |2 + i ? ?? . |p|2 + pq + pq + |q |2 + ? ??
Шары

, i = 1, 2.

Dk

1

и

Dk

2

касаются тогда и только

@VFPFRA

|k1 - k2 | =

1 . |q1 q2 |

Мы оставляем читателю в качестве нел?гкой самостоятельной рабоE ты доказать сформулированную теорему и найти е? матричный аналогF В заключение мы проиллюстрируем теорему VFI двумя примерами совершенных параметризаций в QEмерном ковре АполлонияF


VFPF QEМЕрныЙ КоВ?р АпоЛЛонИя

ISS

Введ?м в R3 ортогональный базис 1, i, j F Шару с центром x + iy + j z и радиусом r > 0 мы поставим в соответствие эрмитову кватернионную 2 2 2 2 ab D где c = 1 , b = x+iy+j z , ? = x-iy-j z , a = x +y +z -r F матрицу ? b r r r r bc Наш ков?р A будет QEмерным аналогом ковраEленты на плоскостиF В него входят два обобщ?нных шараD один из которых ! полупространство z 1D а другой ! полупространство -z 1F Они соответствуют матриE 2 j цам M+ = F ДалееD наш ков?р содержит сч?тное множество +j 0 |v |2 - 1 v единичных шаровD соответствующих матрицам D где вектор -v ? 1 v пробегает реш?тку V CD порожд?нную векторами 2 и 2?F Первый пример совершенной параметризации ! это параметризация ? всех шаровD касательных к плоскости z = 1 элементами K F А именноD p ? мы ставим в соответствие матрицу точке k = q K @VFPFSA

Mk =

4|p|2 + |q |2 - 2 2pq + (1 - |q |2 )j ? . 2pq - (1 - |q |2 )j ? |q |2
1 |q |
2

Соответствующий шар касается плоскости в точке tk = -2 p + (1 - q
1 |q |

)j

и имеет радиус r = 2 F Второй пример ! параметризация всех шаровD касающихся единичE 0 ного шара с матрицей M = -1 1 F Здесь формула выглядит такX 0 @VFPFTA

Mk =

|p|2 + |q |2 + 1 2pq + (|p|2 - |q |2 )j ? . 2 - |p|2 )j 2pq + (|q | ? |p|2 + |q |2 - 1
-2pq +(|q |2 -|p|2 )j ? |p|2 +|q |2

Соответствующий шар касается единичного шара в точке tk = и имеет радиус r =
1 |p|2 +|q |2 -1

F



Литература

eF Популярные книгиD лекции и обзоры
frVV wF frnsleyD prtls iverywhereD edemi ress snFD IWVVF vqiHH xF vesmoirEqordonD F oodD nd F idneyD prtl qeometryD son fooksD uD otem ooksD eD PHHHF odQT pF oddyD he kiss preiseD xture 7 (June 20) @IWQTAD IHPIF teHQ uF tephensonD girle pkingX e mthemtil tleD xoties of the ew 50 @PHHQAD IQUT!IQVVF trWW oert F trihrtsD enlysis on prtlsD xoties of the ew 46 @IWWWAD IWWW!IPHVF

fF Книги
eFpF ferdonD he qeometry of disrete groupsD qrdute exts in wthemtisD volF WID pringerD IWVQF gonWU tohn rF gonwyD he sensul @qudrtiA formD with the ssistne of prnis F gF pungD grus wthemtil wonogrphsD volF PTD weeD shingtonD hgD IWWUF goxTW rFFwF goxeterD sntrodution to qeometryD iley 8 onsD IWTWF grWI F gournt nd hF rilertD wethods of mthemtil hysisD volF PD ileyD IWWIF grTS woser FyFtF goxeter rFwFFD qenertors nd reltions for disrete groupsD Pd edFD irgenisse der wthemtik und ihrer qrenzgeieteF eiheD qruppentheorieF nFpFD volF IRD pringerEerlgD ferlin Y xew orkD IWTSF idgWH idgrD wesure opology nd prtl qeometryD qwD pringerEerlg snFD IWWHF iqwWV tF ilstrodtD pF qrunewldD nd tF wennikeD qroups eting on ryperoli peD pringerD IWWVY ussin trnslF in wggwiD wosowD PHHQF uigHI tun uigmiD enlysis on frtlsD gmridge rts in wthemtisD volF IRQD gmridge niversity ressD gmridgeD PHHIF vwrgWU vpidus wFnd re gFFD qenerlized winkowski gontentD petrum of prtl hrumsD prtl trings nd the iemnn etEpuntionD wemoirs of the emerin wthemtil oietyD volF THVD ewD rovideneD sD IWWUF wnVP fF wndelrotD he frtl geometry of xtureD preemnD n prnisoD IWVPF huWU F hurstonD hreeEhimensionl qeometry nd opologyD rineton wthemtil eriesD volF QSD rineton niversity ressD rinetonD xtD IWWUF feVQ

gF Научные статьи
eWU frWP hF ehronov nd uF tephensonD qeometri sequenes of diss in the epol lonin pkingD elger i enliz 9 @IWWUAD IHREIRHY inglish trnslFD tF etersurg wthF tF 9 @IWWVAD SHWESRSF wFF frlowD rrmoni nlysis on frtl setsD eminr fourkiD ixpF USSD est? erisque 206 @IWWPAD QRSEQTVF
ISU


ISV

Литература

F frooksD he spetrl geometry of the epol lonin pkingD gommFure epplF wthF 38 @IWVSAD QSVEQTTF fvHR eF pF ferdon nd vF vorentzenD gontinued frtions nd restrined sequenes of w? ius mpsD oky wountin tF wthF 34 @PHHRAD RRI!RTTF o hu F vF horushin nd F uusuokD ttistil mehnis nd frtlsD veture xotes in wthD volF ISTUD pringerD ferlinD IWWQD ppF QW!WVF pWP wF pukushim nd F himD yn spetrl nlysis for the ierpinski ? gsketD otentil enlF 1 @IWWPAD IEQSF qvwgv+ HQ F vF qrhmD tF gF vgrisD wllows gF vFD eF ilksD nd gF nD epol lonin kingsX xumer heoryD tournl of xumer heory 100 @PHHQAD IERSF uRQ iF usner nd pF upnikD he epol lonin pking of irlesD roF xtF edF iF e 29 @IWRQAD QUVEQVRF wxVP qeorge wxwellD phere king nd hyperoli re)etion groupsD tournl of elger 79 @IWVPAD UVEWSF wgHQ wwullen gFFD rusdor' dimension nd onforml dynmis sssX gomputtion of dimensionD reprint @PHHQAF wWS veonid wlozemov nd elexnder eplyevD ure point spetrum of the vplins on frtl grphsD tF puntF enlF 129 @IWWSAD QWHERHSF xevRW iFrF xevilleD he struture of prey seriesD roF of the vondon wthF oFD serF P 51 @IWRWAD IQPEIRRF mVR F mmlD petrum of hrmoni exittions on frtlsD tF hysique 45 @IWVRAD IWIEPHTF de hSW qF de hmD ur les oures limites de polygones otenus pr trisetionD inseignement wth (2) 5 @IWSWAD PW!RQ @prenhAF de hST D ur une oure plneD tF wthF ures epplF (9) 35 @IWSTAD PSERP @prenhAF de hRU D n peu de mth? emtiques propos d9une oure plneD ilemente der wthF 2 @IWRUAD UQ!UTD VW!WU @prenhAF de hST D ur quelques oures de(nies pr des equtions fontionnel lesD nivF e oliteF orinoF endF emF wtF 16 @IWSTGIWSUAD IHI!IIQ @prenhAF lRQ F lemD yn some singulr monotoni funtions whih re stritly inresingD rnsF emerF wthF oF 53 @IWRQAD RPU!RQWF trHH oert F trihrtzD ylor pproximtions on ierpinski gsket type frtlsD tF puntF enlF 174 @PHHHAD UT!IPUF eHH eplyev eF FD qrdients on frtlsD tourF puntF enlF 174 @PHHHAD IPV! ISRF froVS

hF Материалы на сети
httpXGGenFwikipediForgGwikiGprtl httpXGGwwwFfqsForgGfqsGfrtlEfqG httpXGGlssesFyleFeduGfrtlsG