Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2007/notes/arzh/zaniatie-1.pdf Дата изменения: Sat Jul 21 14:53:00 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 21:47:25 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п

АЛГЕБРЫ ИНВАРИАНТОВ И 14-Я ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
Летняя школа "Современная математика", Дубна, 19-25 июля 2007 года

Занятие 1. Проблемы конечности в алгебре
На этом занятии мы кратко напомним определения основных алге браических структур (группа, коммутативная группа, поле, алге бра, а также идеал), и о бсудим понятие конечной порожденности для каждой из них. I. Группы. Множество G с бинарной операцией , (g1 ; g2 ) g1 g2 называется группой, если выполнены следующие условия: · ассоциативность: (g1 g2 ) g3 = g1 · (g2 g3 ) для любых g1 ; g2 ; g3 G; · нейтральный элемент: существует элемент e G такой, что e g = g e = g для любого g G; · обратный элемент: для любого g G существует g -1 G такой, что g g-1 = g-1 g = e.

(1) (2) : : : (n) с пе1 2 ::: n -1 1 2 ::: n (1) (2) : : : (n) { элемент = реупорядоченными столбцами. 4) Группа матриц GLn (R) размера n в n с вещественными элементами и отличным от нуля определителем относительно операции умножения матриц. Определение 1. Группа G называется конечнопорожденной, если в ней найдутся элементы g1 ; : : : ; gk такие, что каждый элемент g G можно представить в виде g = gi±1 gi±1 : : : gi±1 . Элементы g1 ; : : : ; gk называются порождающими эле1 2 s ментами группы G, и сам факт порождения о бозначается как G = g1 ; : : : ; gk . Замечание 1. 1) Любая конечная группа конечно порождена. 2) Каждая конечнопорожденная группа не более чем счетна. В частности, группы (R; +), Rв и GLn (R) конечнопорожденными не являются.

Примеры. 1) (R; +) e = 0; если g = a, то g-1 = -a. 1 2) Rв = (R \ {0}; в) e = 1; если g = a, то g-1 = a . 1 2 ::: n 3) Группа перестановок Sn = . Это конеч (1) (2) : : : (n) ная группа, состоящая из n! элементов. Нейтральным элементом здесь 1 2 : : : n , а о братным к элементу = является перестановка 1 2 ::: n

Вопрос. Пусть H { подгруппа конечнопорожденной группы G. Верно ли, что

H является конечнопорожденной группой ? Ответ. Нет, см. задачу 1. Определение 2. Группа G называется коммутативной, если g1 g2 = g2 g1 для любых g1 ; g2 G. Теорема 1. Подгруппа конечнопорожденной коммутативной группы конечно порождена.
1


2

АЛГЕБРЫ ИНВАРИАНТОВ

Пример 1. Рассмотрим группу Z2 = {(a1 ; a2 )} пар целых чисел с операцией покомпонентного сложения. Эта группа порождается элементами (1; 0) и (0; 1), поскольку (a1 ; a2 ) = a1 (1; 0) + a2 (0; 1). Подгруппа H этой группы, состоящая из пар (a1 ; a2 ), для которых a1 + a2 делится на 3, порождается парами (3; 0); (2; 1); (1; 2); (0; 3). Более того, уже элементы (2; 1) и (1; 2) порождают H , поскольку (3; 0) = 2(2; 1) - (1; 2), (0; 3) = 2(1; 2) - (2; 1). II. Поля. Напомним, что множество K с двумя бинарными операциями + и · называется полем, если (K; +) { коммутативная группа с нейтральным элементом e = 0, Kв := (K \ {0}; ·) { коммутативная группа с нейтральным элементом e = 1, и две операции связаны законом дистрибутивности: a(b + c) = ab + ac для любых a; b; c K. Пример 2. (Q; +; ·); (R; +; ·); (C; +; ·). Определение 3. Поле K называется конечно порожденным, если найдутся a1 ; : : : ; ak K такие, что любой элемент поля K выражается через a1 ; : : : ; ak посредством операций ±; · и a a-1 . Пример 3. Поле Q порождается элементом 1. Пример 4. Пусть x1 ; : : : ; xn { формальные переменные. Тогда поле, порожденное числом 1 и переменными x1 ; : : : ; xn , называется полем рациональных дробей, и состоит из дро бей f (x1 ; : : : ; xn ) ; h(x1 ; : : : ; xn ) где f (x1 ; : : : ; xn ) и h(x1 ; : : : ; xn ) { многочлены с рациональными коэффициентами, и многочлен h отличен от нулевого многочлена. Теорема 2. Подполе конечнопорожденного поля конечно порождено. III. Алгебра многочленов K[x1 ; : : : ; тать, что K = Q или R), и f (x1 ; : : многочлен от переменных x1 ; : : : ; x · складывать и вычитать; · умножать; · умножать на элементы поля K. В этом случае говорят, что K[x1 ; : : алге бра порождена элементами x1 ;
xn ]. Пусть K { некоторое поле (можно счиi1 in : ; xn ) = i1 ;:::;in x1 : : : xn , i1 ;:::;in K { n . Многочлены можно

: ; xn ] { алге бра над полем K. Ясно, что эта : : : ; xn .

Вопрос. Верно ли, что любая подалге бра в K[x1 ; : : : ; xn ] конечно порождена ?
Пример 5. Пусть n = 2 и A { множество многочленов, не содержащих членов, зависящих только от x2 . Несложно проверить, что A { подалге бра в K[x1 ; : : : ; xn ]. Предположим, что она порождается многочленами f1 ; : : : ; fk . Каj ij ждый fl имеет вид fl (x1 ; x2 ) = ij x1 x2 . Вычислим M := maxl;i;j i (если 0 x0 отношение j равно 1, указанная величина положить, что для члена 1 = x1 2 i будет корректно определена). Покажем, что одночлен x1 x[2M ]+1 A, где [M ] { целая часть числа M , нельзя выразить через элементы f1 ; : : : ; fk . В самом деле, i 2 1 1 +j2 2 1 (xi1 xj1 )(xi2 xj2 ) = x11 +i2 xj1 +j2 , и если j1 j2 , то j1 j1 +i2 j2 , откуда для 12 12 2 i i i i i любого члена xi xj многочлена, выражаемого через f1 ; : : : ; fk , имеем j M . 12 i Итак, мы показали, что подалге бра A не является конечнопорожденной.


АЛГЕБРЫ ИНВАРИАНТОВ

3

Пример 6. Рассмотрим подалге бру В K[x1 ; x2 ], состоящую из многочленов, каждый член xi xj которых удовлетворяет условию j < 2i. Рассуждения, 12 приведенные в предыдущем примере, позволяют показать, что B также не конечно порождена. IV. Идеалы. Подмножество I K[x1 ; : : : ; xn ] называется идеалом, если · f1 + f2 I для всех f1 ; f2 I ; · f f1 I для всех f K[x1 ; : : : ; xn ] и f1 I . Пример 7. Пусть C K[x1 ; : : : ; xn ] { произвольное подмножество. Тогда I (C ) := {h1 c1 + · · · + hs cs : hi K[x1 ; : : : ; xn ]; ci C; s N} является наименьшим идеалом в K[x1 ; : : : ; xn ], содержащим подмножество C . Он называется идеалом, порожденным подмножеством C . В частности, идеал I K[x1 ; : : : ; xn ] называется конечнопорожденным, если он может быть порожден конечным подмножеством. Пример 8. Множество многочленов {f (x1 ; : : : ; xn ) : f (0; : : : ; 0) = 0} является идеалом, порожденным элементами x1 ; : : : ; xn .

Теорема Гильберта о базисе. Каждые идеал I K[x1 ; : : : ; xn ] конечно порожден. Стоит отметить, что в отличие от случаев I - I I I , идеал не является самостоятельной алге браической структурой, это подструктура в алге бре K[x1 ; : : : ; xn ].