Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2007/notes/arzh/list1.pdf Дата изменения: Sat Jul 21 14:52:36 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:45:50 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п

"Алге бры инвариантов и 14-я про блема Гильберта"
курс И.В. Аржанцева летняя школа "Современная математика", Дубна, 19-25 июля 2007 года

Задачи к занятию 1

Задача 1. Пусть F2 { свободная группа, порожденная элементами x и y. По

определению это означает, что элементами группы F2 являются слова вида xa1 yb1 xa2 yb2 : : : xas ybs , где ai ; bi Z, s N, в качестве операции выступает приписывание слов с естественными правилами сокращения xx-1 = x-1 x = yy-1 = y-1 y = e, где e { это пустое слово (все ai и bj равны нулю), которое является нейтральным элементом группы F2 . Докажите, что подгруппа H F2 , порожденная элементами вида xn yxn ; n Z; не является конечно порожденной. Задача 2. Докажите, что любая подгруппа в (Z; +) может быть порождена одним элементом. Задача 3. Докажите, что (Q; +) { счетная коммутативная группа, не являющаяся конечно порожденной. Задача 4. Найдите минимальную систему порождающих подгруппы H группы Z3 , заданной условиями a) H = {(a1 ; a2 ; a3 ) : a1 + a2 + a3 = 0}; б) H = {(a1 ; a2 ; a3 ) : 3 | a1 + a2 ; 4 | a2 + a3 }.

Задача 5. Содержит ли подполе в Q(x), порожденное элементом
x4 -5 x4 -6

?

x2 -3 x2 -4

, элемент

Задача 6. Докажите, что каждая подалгебра в K[x] конечно порождена. Задача 7. Пусть A { подалге бра в K[x], порожденная элементами вида

(x - 1)n (x - 2)m + c, n > 0; m > 0; c K. Найдите минимальную систему порождающих алге бры A. Задача 8. Найдите минимальную систему порождающих идеала I = {F (x; y) : F (0; 0) = F (1; 0) = 0} в K[x; y]: