Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2014/Program2/Bibikov_Summary.pdf Дата изменения: Tue Sep 23 10:35:02 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 15:05:23 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п

Применение дифференциальных инвариантов в классификационных задачах алгебры и геометрии
Краткое изложение заявки
Проблема классификации различных объектов относительно действия групп преобразований является одной из важнейших проблем математики. Зачастую даже попытки решения тех или иных классификационных задач приводят к созданию новых теорий, а иногда и целых разделов математики. Практически все классификационные задачи (особенно из геометрии и дифференциальных уравнений) можно переформулировать в терминах пространств джетов и дифференциальных инвариантов. А именно, рассмотрим множество M классифицируемых объектов (например, гладких функций или векторных полей) и рассмотрим пространства k -джетов J k этих объектов. Действие группы G на множестве M канонически поднимается до действия G : J k для всех k . Инварианты действия группы G в пространствах джетов называются дифференциальными инвариантами. Можно доказать, что знание всей алгебры дифференциальных инвариантов позволяет описать орбиты исходного действия группы G на множестве M . Поэтому основная проблема при таком подходе к описанию G-орбит заключается, как правило, в нахождении соответствующих алгебр дифференциальных инвариантов. Отметим, что известные методы нахождения конкретных дифференциальных инвариантов, вопервых, крайне громоздки в вычислительном плане, а во-вторых, неприменимы в общих задачах (например, они неприменимы к проблемам, формулируемым ниже). Более того, в настоящее время не существует общих методов построения алгебр дифференциальных инвариантов (т.е. описания всех дифференциальных инвариантов действия групп). Целью настоящего проекта является развитие подхода, связанного с использованием дифференциальных инвариантов, для классификации различных объектов, и построение алгебр дифференциальных инвариантов действия различных групп на пространствах джетов. В частности, в рамках проекта предполагается исследовать различные классификационные задачи (как достаточно общего характера, так и конкретные), относящиеся к алгебре, геометрии и дифференциальным уравнениям. Основное внимание будет уделено изучению следующих проблем. Рассмотрим представление полупростой алгебраической группы G. Согласно теореме БореляВейляБотта, это представление изоморфно действию группы G на модуле голоморфных сечений некоторого векторного расслоения над многообразием флагов. Явно описать поле дифференциальных инвариантов действия группы G на модуле сечений, разделить G-орбиты общего положения
Проблема 1.
П. В. Бибиков

и проинтерпретировать эти результаты на языке алгебры и теории представлений (в частности, зная дифференциальные инварианты, построить инварианты алгебраические).

Случай неприводимого представления был ранее исследован автором совместно с В.В. Лычагиным. Рассмотрим однородное пространство B := G/H (на котором группа G действует левыми сдвигами) и векторное расслоение : P B с действием структурной группы G. Согласно подходу, предложенному Ф. Клейном в рамках ?Эрлангенской программы?, действие G : определяет нам геометрию, сечения расслоения являются геометрическими величинами, а изучение геометрии заключается в нахождении инвариантов действия группы G на модуле сечений ( ). Найти и исследовать поле дифференциальных инвариантов действия структурной группы G на модуле сечений ( ). Важным частным случаем данной проблемы является случай естественного действия структурной группы G в пространстве тензоров на однородном пространстве G/H .
Проблема 2. Проблема 3.

Описать поле дифференциальных инвариантов проективного действия группы Ли

Gв

расслоениях над однородным пространством

G/H .

1