Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2013/reports/Zatitskiy_report_2015.pdf Дата изменения: Sun Dec 27 15:00:04 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 16:19:53 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п ф ф ф п п ф

Отчет по гранту фонда Династия за 2015 год
П. Б. Затицкий

1

Результаты, полученные в 2015 году.

В 2015 году продолжались исследования по двум независимым темам. Первая тема посвящена изучению свойств специальных метрических инвариантов динамических систем масштабирующих энтропийных последовательностей, вторая применению метода функции Беллмана в задачах математического анализа.
1.1 Исследования масштабирющих энтропийных последовательностей

В работе [1] (подана в 2014 г.) было получено подтверждение гипотезы А. М. Вершика о независимости масштабирующей энтропийной последовательности автоморфизма от выбора исходной усредняемой метрики или полуметрики (в классе почти сепарабельных). В работе [2] это доказательство было перенесено на случай действия групп. В работе [3] показано, что, если для некоторого автоморфизма класс масштабирующих энтропийных последовательностей не пуст, то в нем можно найти возрастающую субаддитивную последовательность. С другой стороны, в работе [2] для каждой наперед заданной субаддитивной возрастающей последовательности строится эргодический автоморфизм (на специальной диаграмме БраттелиВершика), для которого эта последовательность является масштабирующей. Таким образом, результаты этих двух работ полностью описывают возможные масштабирующие последовательности автоморфизмов. Открытым, однако, остается вопрос существования масштабирующей энтропийной последовательности для автоморфизма в общем случае. По результатам иследований, связанных с масштабирующей энтропией, 22 декабря 2014 г. была защищена кандидатская диссертация.
1.2 Метод функции Беллмана в анализе

В работе [8] (препринт) авторами реализован так называемый мартингальный подход к экстремальным интегральным задачам на классах функций малой 1


средней осцилляции. Эти классы задаются двумерными областями специального вида и включают в себя классическое пространство B M O, классы Макенхаупта Ap , классы Геринга, классы обратного Йенсена. В работе доказано, что функция Беллмана, отвечающая экстремальной интегральной задаче на таком функциональном классе, совпадает с минимальной локально вогнутой функцией на соответствующей этому классу двумерной области с заданными граничными данными. Важнейшим шагом доказательства этого утверждения стало рассмотрение еще одной экстремальной интегральной задачи на классе специальных мартингалов, блуждающих в этой области. Мартингальная постановка стала промежуточным звеном между геометрической и функциональной задачами, позволившим провести доказательство в общем случае. В работе [6] авторами кратко описан метод и геометрические конструкции, позволяющие явно находить описанные выше функции Беллмана. В работе [9] (препринт) подробно излагается так называемый эволюционный подход для нахождения функции Беллмана для интегральной экстремальной задачи на пространстве B M O. В основе подхода лежат соображения дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных. Авторы работают над адаптацией данного подхода для общего случая классов функций с малой средней осцилляцией. В работе [7] (подана в 2013 г.) авторы применили метод функции Беллмана для изучения различных интегральных способов задания классического пространства B M O. В работе [5] (подана в 2014 г.) методом функции Беллмана получены классические результаты о равномерной выпуклости пространств Лебега Lp , найдены модули равномерной выпуклости.

2

Участие в конференциях
1. XXIV St.Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis and a Summer School for Young Scientists. 25.06.1530.06.15, Saint-Petersburg, Russia. 2. Dynamics, Combinatorics, Representations. 31.08.1504.09.15, Saint-Petersburg, Russia.

3

Педагогическая деятельность

С сентября 2014 преподаватель кафедры математических и информационных технологий Санкт-Петербургского академического университета научно2


образовательного центра нанотехнологий РАН (Академического Университета)

Опубликованные работы и препринты
[1] П. Б. Затицкий.
Масштабирующая энтропийная последовательность: инвариантность и примеры.

Зап. научн. сем. ПОМИ, 432, 128161, 2015. Зап. научн. сем. ПОМИ, 436, 136166, 2015.
О субаддитивности масштабирующей эн-

[2] П. Б. Затицкий.

О возможной скорости роста масштабирующей энтро-

пийной последовательности.

[3] П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров. 2015.

тропийной последовательности.

Зап. научн. сем. ПОМИ, 436, 167173,
Интегрирование виртуаль-

[4] А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров.
ядерных операторов.

но непрерывных функций по бистохастическим мерам и формула следа

Алгебра и анализ, т.27, в.3, 6674, 2015.
Беллман против Б?рлинp

[5] П. Б. Затицкий, П. Иванисвили, Д. М. Столяров. анализ, т.27, в.2, 218231, 2015.

га: точные оценки равномерной выпуклости пространств

L . Алгебра и

[6] P. Ivanisvili, N. N. Osipov, D. M. Stolyarov, V. I. Vasyunin, P. B. Zatitskiy.
Sharp estimates of integral functionals on classes of functions with smal l mean oscil lation

. Comptes Rendus Mathematique, V. 353, I. 12, 10811085, 2015.

[7] A. A. Logunov, L. Slavin, D. M. Stolyarov, V. Vasyunin, P. B. Zatitskiy. Weak integral conditions for BMO. Pro c. Amer. Math. So c., V. 143, 29132926, 2015. [8] D. M. Stolyarov, P. B. Zatitskiy. Theory of locally concave functions and its applications to sharp estimates of integral functionals. http://arxiv.org/abs/1412.5350 [9] P. Ivanisvili, D. M. Stolyarov, V. I. Vasyunin, P. B. Zatitskiy. Bel lman function for extremal problems in BMO II: evolution. http://arxiv.org/abs/1510.01010

3