Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2013/reports/Feigin_Dynasty_rep2014.pdf Дата изменения: Tue Nov 18 10:33:16 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 16:26:53 2016 Кодировка: Windows-1251

ОТЧЕТ ЗА 2014 ГОД ПО ГРАНТУ ФОНДА ДИНАСТИЯ

Евгений Фейгин
Результаты
В 2014 году нами были получены новые результаты о структуре градуированных представлений алгебр Ли и соответствующих многообразиях флагов. Градуировка, о которой ид?т речь, происходит из фильтрации ПуанкареБиркгофа-Витта на универсальной об?ртывающей алгебре. Присоедин?нная градуированная алгебра для ПБВ фильтрации коммутативна; таким образом, изучаемые нами объекты снабжены действием абелевой алгебры (для представлений) или абелевой унипотентной группы (для алгебраических многообразий). Изучение этих действий помогает лучше понять соответствующие математические объекты и описать их свойства. Основной алгебраический результат, полученный нами в 2014 году, это доказательство в нескольких частных случаях гипотезы Чередника-Орра. Эта гипотеза устанавливает связь между характерами ПБВ градуированных модулей Демазюра для аффинных алгебр Каца-Муди и несимметрическими полиномами Макдональда. При доказательстве была использована комбинаторная формула Хаглунда-Хаймана-Лоера для насимметрических полиномов Макдональда и конструкция базисов, согласованных с ПБВ фильтрацией, в специальных модулях Демазюра для алгебр типа А. Наш основной геометрический результат состоит в описании вырожденных аффинных грассманианов. Мы получили явное описание этих бесконечномерных многообразий в терминах линейной алгебры, а также отождествили их со специальными подмногообразиями в аффинных грассманианах для аффинных алгебр Каца-Муди большего ранга. Нами были построены конечномерные аппроксимации вырожденных аффинных грассманианов. Соответствующие конечномерные алгебраические многообразия описаны в терминах колчанных грассманианов для петлевых колчанов.

Статьи
[1] With G. Cerulli Irelli and M. Reineke Homological approach to the Hernandez-Leclerc construction and quiver varieties, Representation Theory 2014, no. 18, pp.114. In a previous pap er the authors have attached to each Dynkin quiver an asso ciative algebra. The denition is categorical and the algebra is used to construct desingularizations of arbitrary quiver Grassmannians. In the present pap er we prove that this algebra is isomorphic to an algebra constructed by Hernandez-Leclerc dened combinatorially and used to describ e certain graded Naka jima quiver varieties. This approach is used to get an explicit realization of the orbit closures of representations of Dynkin quivers as ane quotients.

1


2

Евгений Фейгин
[2] With M. Finkelb erg and P. Littelmann Symplectic Degenerate Flag Varieties, Canadian Journal of Mathematics. 2014. Vol.66. No. 6, P. 1250-1286

a b e the degenerate symplectic ag variety. These are pro jective singular M irreducible Ga degenerations of the classical ag varieties for symplectic group a S p2n . We give an explicit construction for the varieties F and construct their
Let

F

desingularizations, similar to the Bott-Samelson resolutions in the classical case. We prove that

a F

are normal lo cally complete intersections with terminal and

rational singularities. We also show that these varieties are Frob enius split. Using the ab ove mentioned results, we prove an analogue of the Borel-Weil-Bott theorem and obtain a q-character formula for the characters of irreducible the Atiyah-Bott-Lefschetz xed p oints formula. [3] With M. Finkelb erg and M. Reineke Degenerate ane Grassmannians and lo op quivers arXiv:1410.0777,

S p2n

-mo dules via

submitted

We study the connection b etween the ane degenerate Grassmannians in typ e A, quiver Grassmannians for one vertex lo op quivers and ane Schub ert varieties. We give an explicit description of the degenerate ane Grassmannian of typ e identify it with semi-innite orbit closure of typ e

GLn

and

A

2n-1 . We show that principal

quiver Grassmannians for the one vertex lo op quiver provide nite-dimensional approximations of the degenerate ane Grassmannian. Finally, we give an explicit description of the degenerate ane Grassmannian of typ e ane degenerate ag varieties. [4] With I. Makedonskyi Nonsymmetric Macdonald p olynomials, Demazure mo dules and PBW ltration arXiv:1407.6316

(1) 1 , prop ose a conjectural description in the symplectic case and discuss the generalization to the case of the

A

submitted

The Cherednik-Orr conjecture expresses the

t

limit of the nonsymmetric

Macdonald p olynomials in terms of the PBW twisted characters of the ane level one Demazure mo dules. We prove this conjecture in several sp ecial cases.

Конференции и семинары
[1] Summer scho ol/PhD-workshop on PBW ltrations of mo dules for Lie algebras and their app earance/applications in Representation Theory, Glasgow, UK, May 19-23, 2014. Talk PBW ltration - representations and ag varieties op en questions" [2] Conference Lie algebras, algebraic groups and invariant theory, Moscow, January, 27 February, 1 Talk Representations of nilp otent algebras, Vinb ergs p olytop es and generalized ag varieties" [3] Visit to Glasgow and Edinburgh, UK, Octob er 2014 Talk Ane degenerate ag varieties and Sato Grassmannians (University of Glasgow) Talk PBW ltration and nonsymmetric Macdonald p olynomials (University of Edinburgh)


ОТЧЕТ ЗА 2014 ГОД ПО ГРАНТУ ФОНДА ДИНАСТИЯ

3

Преподавание
[1] Innite dimensional Lie algebras and vertex op erator algebras, from 2nd year to PhD students, Septemb er-Decemb er 2014, 2 hours p er week. Program The theory of Lie groups and Lie algebras is one of the central areas of mo dern mathematics. It has various interrelations with algebraic geometry, combinatorics, theory of symmetric functions, integrable systems, classical and quantum eld theories. Lie groups and Lie algebras usually show up as the sets of symmetries of ob jects of a theory. For example, innite-dimensional Lie algebras (such as ane Kac-Mo o dy algebras) turn out to b e very imp ortant for the description of many quantum eld theories: namely, they are realized as symmetries of the spaces of states. Innite-dimensional Lie algebras also play an imp ortant role in the theory of integrable systems and in algebraic geometry. It turns out that it is very natural in this context to consider more general algebraic ob jects, the vertex op erator algebras. VOAs capture the main prop erties of the Lie algebras and have rich additional structure. Vertex op erator algebras proved to b e very useful in many situations; the classical example is the KP integrable hierarchy. They are also extensively used in mo dern algebraic geometry. Our goal is to give an intro duction to the theory of innite-dimensional Lie algebras and vertex op erator algebras. We describ e the main denitions, constructions and applications of the theory.