Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/reports/2013-GermanReport.pdf Дата изменения: Fri Dec 13 12:04:22 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:05:15 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: equinox

Отчет за 2013 год по гранту фонда ?Династия?
Герман О. Н.

Полученные в 2013 году результаты

В этом году удалось доказать несколько теорем, усиливающих некоторые классические теоремы, принадлежащие Курту Малеру. Эти теоремы касаются так называемого принципа переноса, играющего важную роль в теории диофантовых приближений. Принцип переноса связывает в некотором смысле двойственные задачи. Сформулируем один из упомянутых результатов Малера. Удобнее всего для этого пользоваться понятиями последовательных минимумов и псевдоприсоединенных параллелепипедов.
Определение 1.

1

Пусть 1 , . . . , d d линейно независимых линейных форм на Rd и пусть , . . . , двойственный набор линейных форм, то есть i , = ij , где ћ , ћ обозначает j скалярное произведение. Рассмотрим параллелепипед { } = z Rd |i (z)| 1, i = 1, . . . , d .
d

Тогда параллелепипед

{ = z Rd | (z)| i


} 1, i = 1, . . . , d

называется псевдоприсоединенным к параллелепипеду . Пусть M выпуклое центрально-симметричное тело в Rd с центром в начале координат. Пусть d-мерная решетка в Rd . Тогда k -м последовательным минимумом чk (M , ) тела M относительно решетки называется минимальное ч > 0, такое что чM содержит k линейно независимых точек решетки .
Определение 2.

Из результатов, полученных Малером в 1939-м году, следует
Теорема A.

Пусть в Rd задан произвольный параллелепипед с центром в точке начала координат. Пусть

ч1 ( , Zd )
Тогда

1
1 d-k

и

ч1 (, Zd )

1.

чk (, Z )
d

d

,

k = 1 , . . . , d - 1.

В этом году удалось получить следующее усиление теоремы A.

Пусть в Rd задан произвольный параллелепипед с центром в точке начала координат. Пусть ч1 ( , Zd ) 1 и ч1 (, Zd ) 1.
Теорема 1.

Тогда

чk (, Z )
d

d

1 2(d-k)

,

k = 1 , . . . , d - 1.

(1)

1


Для k = 2 удалось получить несколько более сильное неравенство.

Пусть в Rd задан произвольный параллелепипед с центром в точке начала координат. Пусть ч1 ( , Zd ) 1 и ч1 (, Zd ) > 1.
Теорема 2.

Тогда

ч2 (, Zd )

cd ,
2(d-1)

(2)

где cd положительный корень многочлена t
Нетрудно показать, что
1 2(d-1)

- (d - 1)t2 - 1.

d

< cd < d

1 2(d-2)

.

(3)

То есть, действительно, неравенство (2) сильнее неравенства (1) для k = 2. Кроме того, из (3) следует, что (2) ln d ln d cd = 1 + +O при d . 2d d2 В случае d = 3 удалось доказать неравенства, более сильные, чем (1) и (2), являющиеся к тому же точными.

Пусть в R3 задан произвольный параллелепипед с центром в точке начала координат. Пусть ч1 ( , Z3 ) 1 и ч1 (, Z3 ) > 1.
Теорема 3.

Тогда

ч1 (, Z3 ) 2/ 3 и ч2 (, Z3 ) При этом константы 2/ 3 и 5/4 неулучшаемы.

5/4.

Наконец, сформулируем теорему, содержащую в себе в некотором смысле бесконечно много теорем переноса. Обычные теоремы переноса в предположении существования точки решетки в одном множестве утверждают наличие точки решетки в некотором другом множестве. Мы же в таком же предположении построим целое семейство параллелепипедов, в каждом из которых будет точка решетки. Пусть произвольный параллелепипед в Rd с центром в точке начала координат. Тогда существует такой оператор A GLd (R), что A = [-1, 1]d . Для каждого набора = (1 , . . . , d ) Rd 0 положим > 1 0 ћ ћ ћ 0 0 2 ћ ћ ћ 0 -1 H = A . . . . . A. .. . . . ..

0

0 ћћћ



d

То есть оператор H представляет из себя композицию гиперболического поворота и гомотетии, причем оси гиперболического поворота совпадают с осями параллелепипеда . В этом году получена следующая

2


Пусть в Rd задан произвольный параллелепипед с центром в точке начала координат. Тогда для любого набора = (1 , . . . , d ), такого что
Теорема 4.

d i=1

i2

=

d i=1

i2 ,

(4)

справедливо

ч1 ( , Zd )

1 = ч1 (H , Zd )

1.

Опубликованные и поданные в 2013 году работы

[1] [2] [3]

O. N. German, N. G. Moshchevitin

Monat. Math.,
О. Н. Герман

170

(2013), 361370.

A simple proof of SchmidtSummerer's inequality,

ский сборник,

14

Плохо приближаемые матрицы и диофантовы экспоненты, Чебышев:4 (2013), 444.

О. Н. Герман, К. Г. Евдокимов

Усиление теоремы переноса Малера, подано в Известия РАН, Серия математическая.

Участие в работе конференций в 2013 году

Multidimensional Continued Fractions (Грац, Австрия, июнь 2013), пленарный доклад
ee etiques Grenoble 2013 (Гренобль, Франция, июль 2013), секционный 26JD Journ Arithm доклад

Palanga Conference in Combinatorics and Number Theory (Паланга, Литва, сентябрь 2013), пленарный доклад Geometry, Topology and Applications (Ярославль, сентябрь 2013), пленарный доклад Thue 150 (Бордо, Франция, октябрь 2013), без доклада
Педагогическая деятельность

Курс Теория чисел, мехмат, 4-й курс, лекции и семинары Курс Элементарная теория чисел, мехмат, 1-й курс, семинары Курс Теория чисел, Бакинский филиал МГУ, 4-й курс, лекции и семинары Курс Геометрия, СУНЦ МГУ, 11-й класс, лекции и семинары Заведование кафедрой математики СУНЦ МГУ Научное руководство двумя аспирантами (Константин Евдокимов и Илья Макаров) и двумя студентами (Ибрагим Тлюстангелов и Вероника Мингалеева)

3