Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/reports/Talalaev_report2015.pdf Дата изменения: Sun Dec 27 14:52:04 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 15:58:23 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

Отчет 2015 года
Талалаева Д.В. о работе в рамках проекта

Высшие гомотопические алгебры Ли в задачах классификации квантовых интегрируемых систем

1

Введение

План исследования предполагал развитие двух направлений:

ћ ћ

Исследование двумерных квантовых интегрируемых систем и связанных с ними алгебраических структур. Построение аппарата деформационного квантования в контексте интегрируемых систем, то есть применение техники деформации для алгебр с оснащением в виде коммутативной подалгебры.

Центральными работами 2015 года были исследования первого направления. Были обобщены результаты 2014 года, а именно построено двухпараметрическое коммутативное семейство, включающее трансферматрицу статистической модели, строящейся по решению теоретико-множественного уравнения тетраэдров общего положения. Аналогичная статистическая модель рассматривалась на графах, соответствующих диаграммам 2-узлов. Было показано, что статистическая сумма данной модели представляет собой квази-инвариант 2-узла, в смысле описанном ниже. Проводились исследования квантовых топологических теорий поля, имеющих отношение к рассматриваемым инвариантам 2-узлов, а также изучались связи комбинаторных свойств рассматриваемых статистических моделей и кластерных алгебр, в частности свойств лорановости.

2 3

Исследования 2015 года Описание полученных результатов

Базовым объектом работы является функциональное уравнение тетраэдров (ФУТ)



123

145 246 356 = 356

246



145

123 : X

Ч6

X

Ч6

.

(1)

решение которого является отображением декартова куба (конечного) множества

X

X Ч X Ч X - X Ч X Ч X.



1


3.1

Квазиинварианты

2

-узлов

В работах [3, 5] развивалась теория построения инвариантов

2-узлов

по данным,

связанным с решениями уравнения тетраэдров. Вспомогательной была разработка k техники когомологий n-симплициальных комплексов H (, X ) [5](2014 год), то есть комплексов, связанных с решениями на множестве



функционального уравнения

n-симплексов

X

. Данные уравнения обобщают уравнения Янга-Бакстера и уравне-

ние тетраэдров Замолодчикова. В упомянутой работе были проинтерпретированы некоторые классы тетраэдрального комплекса, которые далее использовались для построения специальных 3-d статистических моделей и квази-инвариантов Скажем несколько слов о постановке топологической задачи: будем

2-узлов. называть 2-

узлом класс изотопий вложений ориентированной двумерной поверхности (в частно2 4 сти S ) в R . Традиционно в задаче описания инвариантов таких изотопий работают 3 с диаграммами вложенных поверхностей, то есть с особыми поверхностями в R , получающимися после проектирования на гиперплоскость общего положения. В этом случае особая поверхность характеризуется графом особых точек: это дуги двойных точек, тройные точки и точки Уитни; а также дополнительными данными о порядке пересечения листов поверхности в ребрах двойных точек. Согласно теореме Розмана удается классифицировать эквивалентные диаграммы, а именно, оказывается, что с точностью до объемлющей изотопии две эквивалентные диаграммы отличаются на конечное количество движений из перечня на рисунке 1. В работе [3] строится вы-

Рис. 1: Движения Розмана ражение по диаграмме 2-узла, решению ФУТ H 3 (, X ), в виде статистической суммы



на множестве

X

, а также элементу

(s; ) = h-d
c() O6
2



(O)s

(xO , yO , zO ),

(2)


где суммирование производится по точек элементами множества мы

c()

- множеству раскрасок ребер графа особых

X

так, что в тройных точках цвета 6-и ребер были свя-

заны посредством решения ФУТ, произведение берется по тройным точках диаграм-

O, h

- мощность множества

X

,а

d

- количество связных компонент графа,

- знак тройной точки, определяемый по общей ориентации поверхности,

(O ) xO , yO , zO

- цвета входящих ребер в тройной точке. Выражение 2 оказывается инвариантным относительно всех нечетных движений Розмана, а при специальном выборе коцикла для электрического решения ФУТ - также относительно движения 6.

3.2

Интегрируемые статистические модели в
- решетке. Статсумма принимает вид

d=3

Та же статистическая модель может быть рассмотрена на регулярной периодической

K ЧLЧM

Z (s) =
C ol i,j,k
где

(x

i,j,k

, yi,j,k , zi,j,k )s .

- цвета трех входящих ребер в тройной точке с номером i, j, k , 3 - как и прежде элемент H (, X ). Оказывается, что такая статсумма может быть

x

i,j,k

, yi,j,k , zi,j,k

представлена через послойную трансферматрицу в виде

Z ( s) = T r
где

V

T (s)L .

(3)

T ( s) = T r


A (s)

означает произведение по горизонтальным пространствам матриц A (s), которые в 3 свою очередь строятся по решению ФУТ и H (, X .) Представление 3 позво-

Рис. 2: 1-слойное произведение ляет свести вопрос нахождения свойств таких статсумм к задаче описания спектра трансферматрицы, тем самым устанавливая связь с центральным вопросом теории квантово-механических интегрируемых систем. В работе [4] была установлена интегрируемость данной модели, то есть возможность включения трансферматрицы в семейство коммутирующих операторов, действующих в тензорном произведении вертикальных пространств. Для формулировки утверждения введем некоторые обозначения:

-- - =1,...m

(

i)(j )

= (

i1 ...ik )(j1 ...jm )

=
-- - =1,...k



i l

j

3


Трансферматрица представляется в этом случае в виде следа:

T = I1 = T r(i L = P12 123 , 123

)(j )



(i)(j )

.

Рассмотрим также подкрученные генераторы:



R 123

= 123 P23 .

Простым следствием теоремы Майе [6] является результат

Лемма 1

Для решения уравнения тетраэдров общего положения имеются два

коммутативных семейства

I0,k = T ri
и

l

,jl ,s

m

(i
-- - l=1,...,k

m

)(jm ) --- -- m=1,...,k-1



R sm (jm )(j

m+1

)

In,0 = T ri

l

,jl ,t

m


-- - l=1,...,n

(im )(jm ) --- -- m=1,...,n-1

L (i

m

)(i

m+1

)tm

содержащих трансферматрицу.

Наш главный результат состоит в том, что

Теорема 1
In,0
и

Для решения уравнения тетраэдров



общего положения семейства

I0,k

коммутируют между собой.

4

Публикации 2015 года
quantum integrable systems, [math-ph] arXiv:1505.06579. Представлено к публи-

(1) D. Talalaev Zamolodchikov tetrahedral equation and higher Hamiltonians of 2d кации в Communications in Mathematical Physics. (2) I. Korepanov, G. Sharygin, D. Talalaev, Cohomology of the tetrahedral complex and
quasi-invariants of

2-knots

, arXiv:1510.03015
Deformation quantization of integrable systems,

(3) G.

Sharygin,

D.

Talalaev

arXiv:1210.2840, Принято к публикации в Journal of Noncommutative Geometry.

5

Участие в конференциях
Moscow. Даты 16-20.02.2015. Доклад 2-knot quasi-invariants and 2-dimensional quantum integrable systems.

(1) Конференция Torus Actions in Geometry, Top ology, and Applications, Skoltech,

(2) Школа и конференция Statistical Mechanics, Integrability and Combinatorics, Galileo Galilei Institute, Florence. Даты 18-30.05.2015. Доклад Quasi-invariants of 2-knots and 3-d integrable statistical mo dels. (3) Конференция Классические и квантовые интегрируемые системы, Протвино, даты 6-10.07.2015. Доклад Quasi-invariants of 2-knots and 3-d integrable statistical mo dels. (4) Конференция Дни геометрии в Новосибиске, Институт математики им. Соболева, Новосибирск. Даты 25-28.08.2015. Доклад Quasi-invariants of 2-knots and 3-d integrable statistical mo dels.

4


6
ћ

Преподавание
Я являюсь штатным научным сотрудником механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Преподаю дисциплины: аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, линейная алгебра. Веду научно-практические занятия по геометрии для студентов кафедры Высшей геометрии и топологии. На текущий момент являюсь научным руководителем двух студентов.

ћ

Тематика данного проекта оказалась центром работы группы исследователей в ИТЭФе, а также плодородным источником задач для студентов МехМата МГУ, находящихся под моим научным руководством.

7

Краткий этог за три года и перспективы

Наиболее интенсивно развивалось направление проекта, связанное с высшими косами, то есть с геометрической реализацией уравнения тетраэдров. Оказалось, что непосредственно данное уравнение связано с задачей построения квази-инвариантов 2-узлов. Кроме этого, оказалось, что аппарат, используемый для этого имеет важную интерпретацию в теории квантовых интегрируемых 2-мерных моделей и статистических интегрируемых моделей в 3d. Полученные результаты предполагают возможное развитие в следующих направлениях:

ћ ћ ћ

квантовыхе топологические теории поля, в том числе BF-теории, и инварианты 2-узлов (аналог конструкции Джонса-Виттена); обобщения конструкций типа Хитчина классических интегрируемых систем на случай 2-мерных спектральных многообразий; исследование физических свойств полученных статистических моделей.

Список литературы
[1] G. Sharygin, D. Talalaev
Deformation quantization of integrable systems,

arXiv:1210.2840 [2] A. Zamolo dchikov, Tetrahedra equations and integrable systems in three-dimensional
space, Zh. Eksp. Teor. Fiz.

JETP

52

79

(1980) 641ГВ664. [English translation: Soviet Phys.

(1980) 325-326].

[3] I. Korepanov, G. Sharygin, D. Talalaev, Cohomology of the tetrahedral complex and
quasi-invariants of

2-knots

, arXiv:1510.03015

[4] D. Talalaev Zamolodchikov tetrahedral equation and higher Hamiltonians of 2d
quantum integrable systems, [math-ph] arXiv:1505.06579

[5] I. Korepanov, G. Sharygin, D. Talalaev, Cohomologies of n-simplex relations, [mathph] arXiv:1409.3127 [6] J.M Maillet, Lax equations and quantum groups, Phys. Lett. B

245

, 480 (1990).

5