Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/Program2/German_summary.pdf Дата изменения: Tue Oct 16 10:59:42 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 16:40:51 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

summary.p df

Герман Олег Николаевич

Краткое изложение заявки
Исследования будут вестись в области диофантовых приближений. Основным объектом исследования будет многомерное обобщение меры иррациональности числа, в частности, так называемые диофантовы экспоненты.
Определение. Пусть задана матрица

что

f

является

RnЧm и мерой иррациональности или что |x - y| f (|x|)

функция является

f : R 1 R+ . Говорят, f приближаемой, если

неравенство

имеет бесконечно много решений в

экспонентой

(x, y) Zm Zn

. Соответственно,

матрицы



называется супремум таких

R,

что

диофантовой является t-

приближаемой. Первые результаты о диофантовых экспонентах были получены в 20-х годах прошлого века. Самыми известными из них являются неравенства переноса Хинчина и Ярника. В последние годы эта область стала весьма активно развиваться и привлекла внимание таких крупных специалистов, как М.Лоран, Я.Бюжо, Д.Руа, Н.Г.Мощевитин, а также классика теории диофантовых приближений В.Шмидта. Ими были получены неравенства переноса, связывающие различные типы диофантовых экспонент. Соискателем также был сделан существенный вклад: полученные им результаты являются одними из самых сильных в данной области. Метод, разработанный соискателем, позволил усилить в частном случае классическую теорему переноса, принадлежащую Малеру, в случае, соответствующем задаче о диофантовых экспонентах матрицы. Отметим, что почти все теоремы переноса для диофантовых экспонент следуют из теоремы Малера при надлежащем выборе параметров. В рамках предлагаемого проекта теорема Малера будет усилена в самой общей своей формулировке для произвольных

d

линейно независимых линейных форм от

d

переменных. В качестве следствия будет получен ряд новых утверждений в духе теорем переноса, затрагивающих все последовательные минимумы двойственных решеток (в то время как классическая теорема Малера связывает непосредственно лишь первые последовательные минимумы). Далее, в ходе выполнения проекта планируется усилить существующие неравенства, связывающие так называемые промежуточные диофантовы экспоненты (отвечающие за приближение пространства решений системы

x = y

рациональными подпростран-

ствами произвольной фиксированной размерности). А именно, экспоненты будут заменены на произвольные функции, удовлетворяющие естественным условиям роста. Такого рода усиление важно с точки зрения задач типа гипотезы Литтлвуда и задач о приближении алгебраических чисел рациональными, когда для измерения порядка приближения не хватает экспоненциальных функций и нужны функции промежуточного роста (так, к примеру, из теоремы Рота следует, что диофантова экспонента иррационального алгебраического числа равна единице, но вопрос о том, верно ли, что -1 любое алгебраическое число степени большей чем 2 является ct приближаемым при произвольном положительном

c

, остается открытым).

Наконец, наработанную технику планируется впоследствии применить в задачах, связанных с гипотезой Вирзинга о приближении вещественных чисел алгебраическими.