Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/Program2/Garber_summary.pdf Дата изменения: Sun Oct 14 23:34:34 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 16:40:30 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

Краткое изложение заявки, Гарбер Алексей Игоревич.
Данный проект посвящен исследованиям в теории параллелоэдров. Параллелоэдром называется многогранник, параллельными переносами которого можно замостить все лограммы и центрально-симметричные шестиугольники. Теория параллелоэдров берет свое начало из работ Федорова (1885) и Минковского (1895). В первой работе приведена классификация трехмерных параллелоэдров, а во второй доказаны условия, которым удовлетворяет любой параллелоэдр: он и все его гиперграни являются центрально-симметричными, а также его проекция вдоль любой грани коразмерности 2 является параллелограммом или центрально-симметричным шестиугольником. Позднее Венков (1954) доказал, что эти условия являются достаточными, для того чтобы многогранник был параллелоэдром. Две основные гипотезы в теории параллелоэдров были сформулированы Вороным в 1908. Первая гипотеза Вороного утверждает, что любой

d

-мерное

пространство. В частности в двумерном пространстве параллелоэдрами являются паралле-

d

-мерный параллелоэдр аффинно эквива-

лентен многограннику Дирихле-Вороного для некоторой

d

-мерной решетки. Вторая гипотеза

Вороного утверждает, что среди векторов, соединяющих центры параллелоэдров, соседних по гиперграни, можно выбрать базис решетки разбиения. В рамках данного проекта планируется исследовать возможные подходы к гипотезам Вороного или к задачам, тесно с ними связанными. К настоящему моменту автором получены следующие результаты в теории параллелоэдров: доказана вторая гипотеза Вороного с случае зонотопов, являющихся параллелоэдрами. Доказана верхняя оценка на поясной диаметр (то есть на диаметр графа, в котором вершинами служат пары противоположных гиперграней параллелоэдра, которые соединены ребрами в случае если у каких-то двух граней из этих пар есть общая грань коразмерности 2) зонотопов, являющихся параллелоэдрами в зависимости от их размерности. Доказано, что поясной диаметр зонотопа, векторы зон которого, являются ребрами перестановочного многогранника, не превосходит 2 в случае размерности меньше 6 и 3 в случае произвольной размерности. Совместно с А.А. Гаврилюком и А.Н. Магазиновым доказано, что если фундаментальная группа поверхности параллелоэдра коразмерности

P

с удаленными непримитивными гранями

2

(то есть грани, проекции вдоль которых есть параллелограммы) порождена

полупоясами, то

P

удовлетворяет гипотезе Вороного.

В дальнейшем планируется исследовать возможность применения указанного выше свойства для различных классов параллелоэдров. В первую очередь это могут быть четырехмерны параллелоэдры, полная классификация комбинаторных типов которых была получена Делоне (1929) и Штогриным (1973). Далее планируется исследовать как изменяется возможность применения данного свойства для других классов параллелоэдров, например для зонотопов или 3-неприводимых параллелоэдров. Кроме того, планируется продолжить исследование поясных диаметров зонотопов и произвольных параллелоэдров, в частности планируется получить точные верхние оценки на поясные диаметры зонотопов, являющихся параллелоэдрами при на поясной диаметр.

d 15,

планируется постро-

ить пример зонотопов, являющихся параллелоэдрами с нетривиальной (больше 2) оценкой

1