Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/Program1/Komech_summary.pdf Дата изменения: Tue Oct 16 11:09:02 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 16:39:05 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: redshift survey

Комеч Сергей Александрович: краткое изложение заявки.

Геометрическая интерпретация энтропии в теории динамических систем
Понятие энтропии в теории динамических систем было введено в 1958 году А.Н. Колмогоровым в качестве нового метрического инварианта для сохраняющих меру преобразований вероятностных пространств и стало играть фундаментальную роль в эргодической теории. Главной целью наших исследований является изучение энтропии Колмогорова с геометрической точки зрения. Рассматривается преобразование T пространства, сохраняющее меру. Пусть B (x, ) шар радиуса с центром в точке x. Множество T n B (x, ) имеет ту же меру, что и исходный шар. Изучается скорость роста логарифма отношения меры -окрестности образа шара за n итераций к мере исходного шара. Такую величину можно рассматривать как логарифмическую скорость деформации границы области в фазовом пространстве системы. Оказывается, что логарифм такого отношения (при определенной связи между n и ) при n , 0 растет как nh, где h энтропия Колмогорова. Недавно в работе автора такая связь была установлена в более широком классе символических динамических систем в синхронизованных системах, которые содержат не только все марковские сдвиги, но и их факторы : получаемые из них с помощью побуквенного кодирования так называемые софические системы (soc systems) Вейса. Также, в работе автора подобное соотношение было установлена для гладких гиперболических систем, а именно для автоморфизмов n-мерного тора (когда объем инвариантная мера). Дальнейшие исследования предлагается вести в следующих направлениях: 1. Ослабить требование равномерной гиперболичности для гладких систем и установить связь энтропии с искажением границы в частично гиперболических системах, например для потоков Аносова, и, возможно, в некоторых неравномерно гиперболических системах. 2. Для гладких систем на римановых многообразиях рассмотреть искажение границы, основываясь не на инвариантной мере, а на не инвариантном, вообще говоря, римановом объеме (что вполне естественно). В такой трактовке искажение границ будет связано с показателями Ляпунова, которые, в свою очередь, имеют определенную связь с энтропией. 3. В символической динамике рассмотреть так называемые кодируемые системы (coded systems) и попробовать установить для них справедливость нашего предположения. 4. Найти примеры систем, в которых такая связь отсутствует. 1