Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2011/reports/Esterov_report2012dyn.pdf Дата изменения: Tue Dec 18 19:43:37 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:30:31 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р п р п р п р п р п р п

Отчет за 2012 год
А. И. Эстеров

1

Результаты
f
многих переменных данной степени с общими ко-

Дискриминанты многочленов многих переменных. Дискрими-

нант многочлена

эффициентами многочлен от этих коэффициентов, обращающийся в ноль, когда гиперповерхность

f=0 f

имеет особенности. Он изучается

начиная с Кэли и Маколея. Гельфанд, Капранов и Зелевинский обобщили это понятие на случай, когда линейная комбинация произвольного конечного набора мономов с общими коэффициентами. Это обобщение нашло приложения в области многомерных гипергеометрических систем, проективной двойственности и т. д. В 2012 году это понятие было обобщено со случая одного уравнения на случай системы уравнений

f1 = . . . = fk = 0

. Проблема состояла в

том, что прямолинейное обобщение неудовлетворительно: при

k>1

мно-

гообразие систем уравнений, составленных из данного набора мономов и имеющих особое множество решений, не играет той роли, ради которой изучалось при

k=1

. Например, даже классический вопрос о степени

дискриминанта не имеет смысла для этого многообразия, так как оно, вообще говоря, может состоять из компонент разных размерностей. Оказалось, что правильное обобщение дискриминанта получается, если относить к дискриминанту также и те системы уравнений, множество решений которых имеет особенность на бесконечности. Более точно, назовем систему полиномиальных уравнений типичной, если топология множества ее решений не меняется при шевелении ее (ненулевых) коэффициентов, и назовем дискриминантом множество всех нетипичных систем, составленных из данного набора мономов. Доказано, что получившиееся множество всегда гиперповерхность, получены формулы для уравнения этой гиперповерхности и его степени. Этот объект оказался интересен во многих отношениях. Например, доказательство чистоты размерности дискриминанта системы уравнений сводится к похожему факту тропической геометрии: граница пересечения тропического веера с внутренностью многогранника множество чистой размерности, на 1 меньшей, чем размерность веера. Эта связь приводит к новым фактам и открытым вопросам о геометрии тропических

1


вееров и комбинаторике многогранников. Также свойства дискриминанта системы уравнений позволяют, например, доказывать утверждения о топологии полиномиальных отображений: у общего полиномиального отображения комплексного тора почти все слои, отличающиеся от слоя общего положения топологией, отличаются от него даже эйлеровой характеристикой. Этот факт был ранее известен только для отображений с одномерным образом или одномерным слоем. Также совместно с Кийоши Такеучи продолжается изучение вырожденных гипергеометрических систем, обобщающих системы ГельфандаКапранова-Зелевинского: в 2012 году для их решений получены интегральные представления, обобщающие классические интегральные представления функций Эйри и Бесселя.
Коразмерность дискриминантов и многогранники малого смешанного объема. Чтобы изучать коразмерности дискриминан-

тов и стратов большей коразмерности в пространстве систем полиномиальных уравнений, составленных из данного набора мономов, полезно знать классификацию наборов целочисленных многогранников малого смешанного объема. Напомним, что смешанный обеъм это единственn ная симметричная функция от n многогранников в R , линейная в смысле поточечного сложения многогранников и равная на наборе

n

копий

одного многогранника объему этого многогранника. Смешанный объем n многогранников с вершинами в Z кратен 1/n!. Задача характеризации наборов многогранников нулевого смешанного объема была решена уже в исходной работе Минковского о смешанных объемах. В 2012 году совместно с Глебом Гусевым описаны все наборы лочисленных многогранников, имеющие смешанный объем систем

n

це-

1/n!

. Соглас-

но формуле Кушниренко-Бернштейна, это равносильно классификации

n

полиномиальных уравнений с общими коэффициентами, име-

ющих одно решение. Полученная классификация означает, что любая такая система после подходящей мономиальной замены переменных содержит

k

линейных уравнений от

k

переменных, причем, вычислив эти

k

переменных и подставив в остальные уравнения, вновь получим систему

n-k

уравнений с общими коэффициентами и одним решением.

Геометрия общих систем уравнений, составленных из данного набора мономов. Матрица размера

mЧk

, составленная из мно-

гочленов общего положения данных степеней от переменных при

n = |m-k |+1

вырождается в конечном числе точек

x1 , . . . , x n (x1 , . . . , xn ) Cn

, .

В 2012 году вычислено количество точек вырождения (раньше ответ был

2


известен только для случая, когда все многочлены в каждой строке матрицы имеют одну и ту же степень).

2

Публикации

A. Esterov, Multiplicities of degenerations of matrices and mixed volumes of

Cayley polyhedra, Journal of Singularities 6(2012) 2736
A. Esterov, Tropical varieties with polynomial weights and corner loci of

piecewise polynomials, Moscow Mathematical Journal 12(2012), 1, 5576
A. Esterov, K. Takeuchi, Motivic Milnor bers over complete intersection

varieties and their virtual Betti numbers, International Mathematics Research
Notes, 15(2012), 3567-3613 A. Esterov, K. Takeuchi, Conuent A-hypergeometric functions and rapid

decay homology cycles, arXiv:1107.0402v4
A. Esterov, G. Gusev, Systems of equations with a single solution, arXiv:1211.6763 A. Esterov, Discriminant of system of equations, arXiv:1110.4060v2

3

Преподавание

НМУ, курс Тропическая геометрия и многогранники Ньютона , 1 семестр ВШЭ, курс Динамические системы , 1 семестр ВШЭ, научно-учебный семинар Выпуклая геометрия , 1 год (с В. А. Кириченко и Е. Ю. Смирновым)

4

Доклады

По материалам работы Discriminant of system of equations: Конференция Алгебра и геометрия (Хованский 60), ВШЭ, НМУ Конференция Тропическая и идемпотентная математика, НМУ, ИППИ Московское Математическое Общество Семинар отдела дифференциальных уравнений МИАН

3