Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2011/Program1/Krivoshein_Summary.pdf Дата изменения: Mon Oct 17 14:47:06 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:06:47 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Краткое изложение заявки Кривошеина Александра Владимировича
В последние годы активно изучаются фреймы всплесков, то есть системы представления, разложение по которым в отличие от базисов, не единственное. Общий принцип построения двойственных фреймов всплесков хорошо известен [A. Ron, Z. Shen, 1997], это так называемый Mixed Extension Principle. Однако на практике реализация этой схемы не всегда приводит к фреймам. Может оказаться, что полученные масштабирующая и всплеск-функции являются обобщенными. Недостаточно для фреймовости и попадания этих функций в пространство L2 (Rd ), нужно, чтобы все всплеск-функции имели обнуляющиеся моменты, что особенно затрудняет построение в многомерном случае. Отказавшись от фреймовости, при условии что обе масштабирующие функции принадлежат L2 (Rd ), было показано, что полученные по Mixed Extension Principle системы всплесков это системы представления в слабой топологии, а для некоторого класса функций имеет место разложение фреймового типа. Такие системы были названы фреймоподобными. Далее была поставлена цель распространить понятие фреймоподобной системы и исследовать различные виды сходимости соответствующего фреймоподобного разложения и аппроксимационные свойства таких систем в самой общей ситуации. Установлено, что без каких либо дополнительных предположений двойственная система всплесков, построенная по Mixed Extension Principle, является фреймоподобной системой всплесков. При дополнительных предположениях (которые очень просто обеспечить, если при этом не надо бороться за фреймовость), устанавливается соответствующий порядок приближения фреймоподобных разложений. Эти результаты изложены в статье, написанной совместно с М. А. Скопиной [A. Krivoshein, M. Skopina, 2011]. Во многих прикладных исследованиях симметрия систем всплесков является желаемым свойством. Кроме того в многомерном случае требуются всплески, обладающие различными видами симметрии. Однако общих подходов в построении многомерных с различными видами симметрии систем всплесков, в частности фреймов, нет. При отказе от фреймовости общая схема построения двойственных систем всплесков значительно упрощается и становится возможным предложить конструктивные методы построения симметричных/антисимметричных фреймоподобных систем всплесков для многомерного случая в общей ситуации с хорошими аппроксимационными свойствами. Первые шаги в этом направлении уже сделаны. Были разработаны алгоритмы построения многомерных фреймоподобных систем, обладающих центральной симметрией/антисимметрией относительно целых/полуцелых точек.Результаты представлены на международной конференции "AHAMC"в Эдмонтоне, Канада, 25-28 Августа, 2011. Направлением дальнейшего исследования является распространение полученных результатов на случай комплекснозначных функций. Также планируется дать полное описание всех симметричных относительно точки масштабирующих функций, с нужными свойствами. Кроме того, установить условия для обеспечения дополнительных свойств - моментов линейной фазы, а также построение масштабирующих функций с минимально возможным носителем. Другим направлением является разработка алгоритмов построения многомерных фреймоподобных систем, обладающих иными видами симметрии для как можно большего класса матричных коэффициентов растяжения. В частности, в двумерном случае, обладающих осевой симметрией/антисимметрией, полной (4-fold) симметрией/антисимметрией и гексагональной (6-fold) на основании разработанного метода. А также поиск новых подходов к решению проблемы матричного расширения с симметрией. 1