Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/reports/2013-Feigin_report_Dynasty.pdf Дата изменения: Wed Oct 16 22:35:34 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:57:55 2014 Кодировка: Windows-1251

ОТЧЕТ ЗА 2013 ГОД

Евгений Фейгин

1.

Результаты

В 20013 году мы продолжили изучение вырожденных по ПуанкареБиркгофу-Витту представлений простых алгебр Ли и соответствующих им многообразий флагов. Основная отличительная черта рассматриваемых нами представлений заключается в том, что они являются циклическими модулями для абелевой алгебры Ли и, значит, могут быть отождествлены с факторами кольца полиномов по идеалу соотношений. Один из результатов, полученных нами в этом году (совместно с П.Литтелманном и Д.Фурье), заключается в описании идеалов соотношений и мономиальных базисов для вырожденных представлений простых алгебр типов А и С над полями произвольной характеристики. Кроме того в совместной работе с И.Чередником нами была изучена экстремальная часть вырожденных представлений и установлена связь с несимметрическими полиномами Макдональда. Точнее, были получены явные формулы для ПБВ градуировки экстремальных векторов, соответствующих элементам группы Вейля, в представлениях простых алгебр Ли. Была доказана аддитивность градуировки как функции старшего веса. В классической теории представлений очень важную роль играют обобщ?нные многообразия флагов. Это широкий класс проективных алгебраических многообразий, включающий в себя классические многообразия, такие как грассманианы и классические многообразия флагов. В ПБВ вырожденной теории также оказывается возможным и продуктивным рассмотрение аналогов обобщ?нных многообразий флагов. Это позволяет определить новый класс многообразий и изучать их с помощью аппарата теории Ли и алгебраической геометрии. В частности, в совместной работе с М.Финкельбергом доказан аналог теоремы БореляВейля для вырожденных многообразий флагов для групп Ли типа А. При этом приведена конструкция разрешения особенностей. Оказалось, что эта конструкция имеет важные обобщения в теории колчанных грассманианов. В серии работ (совместно с Д.Черулли Ирелли и М.Райнеке) мы построили разрешение особенностей для произвольных колчанных грассманианов для колчанов Дынкина и использовали эту конструкция для изучения алгебр Леклерка-Эрнандеса.
1


2

Евгений Фейгин

1.1. Подведение итогов. За три года выполнения проекта нам удалось частично реализовать поставленные задачи. В частности, мы получили разнообразные результаты о структуре ПБВ вырожденных представлений простых алгебр Ли и соответствующих многообразий флагов. Мы также получили приложения в комбинаторике и алгебраической геометрии. В частности, получена формула для q-чисел Дженокки и построено разрешение особенностей для колчанных грассманианов для колчанов Дынкина. Нам не удалось получить общее описание вырожденных представлений и многообразий флагов для всех простых (или аффинных) алгебр Ли.

2.

Статьи

Feigin E., Finkelberg M. V. Degenerate ag varieties of type A: Frobenius splitting and BW theorem // Mathematische Zeitschrift. 2013. Vol. 275. No. 1-2. P. 5577. Feigin E., Cherulli Irelli G., Reineke M. Degenerate ag varieties: moment graphs and Schroeder numbers // Journal of Algebraic Combinatorics. 2013. Vol. 38. No. 1. P. 159189. Feigin E., Cherulli Irelli G., Reineke M. Desingularization of quiver Grassmannians for Dynkin quivers // Advances in Mathematics. 2013. No. 245. P. 182-207. Feigin E., Cherednik I. Extremal part of the PBW-ltration and E-polynomials / arXiv:1306.3146. Cerulli I., Feigin E., Reineke M. Homological approach to the HernandezLeclerc construction and quiver varieties / arxiv:1302.529. Feigin E., Littelmann P., Fourier G. PBW-ltration over Z and Compatible Bases for VZ () in Type An and Cn , in: Symmetries, Integrable Systems and Representations . Vol. 40: Symmetries, Integrable Systems and Representations. Springer, 2013. P.3563.

3.

Конференции

Рождественские встречи фонда ?Династия? Независимому Московскому Университету 20 лет 8.01.2012 - 10.01.2012, Москва. Research Workshop of Israel Science Foundation on Orbits, Primitive Ideals and Quantum Groups 24.02.2013 - 8.03.2013 Израиль, Реховот. Representation Theory and applications to Combinatorics, Geometry and Quantum Physics, December 1319, 2013, Москва.

4.

Работа в научных центрах и международных группах

Германия, К?льн, работа с П.Литтелманном и Д.Фурье. Германия, Вупперталь, работа с М.Райнеке и Д.Черулли Ирелли.


ОТЧЕТ ЗА 2013 ГОД

3

5.

Педагогическая деятельность

Лекции: Группы и алгебры Ли, бакалавриат НИУ ВШЭ. Семинары: Алгебра, бакалавриат НИУ ВШЭ. Научное руководство студентами на факультете математики НИУВШЭ.