Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/reports/2013-Elagin.pdf Дата изменения: Sat Dec 14 13:44:52 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 01:46:36 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п

ОТЧТ ПО КОНКУРСУ ФОНДА ?ДИНАСТИЯ? ЗА 2013 ГОД

АЛЕКСЕЙ ЕЛАГИН

Полученные результаты
Мной был исследован вопрос о линеаризации триангулированных категорий относительно действия группы. Была построена конструкция триангулированной линеаризованной категории при условии, что имеется действие группы на оснащении исходной триангулированной категории. Гомологический подход в геометрии алгебраических многообразий подразумевает, что важным объектом изучения должна быть производная категория когерентных пучков

Db (X )

на многоообразии

X

. Соответственно, желательно

понимать, как различные геометрические понятия и конструкции выражаются на языке производных категорий. В частности, предположим, что конечная группа

G

действует на алгебраическом многообразии

X

. В этом случае

можно рассмотреть фактормногообразие

X/G

, а также факторстек или

X//G

, ко-

торый совпадает с фактормногообразием в случае свободного действия. Полезно иметь способ построить категорию категории

Db (X/G)

Db (X//G)

, исходя из

D (X )

b

. Для абелевой категории когерентных пучков решением ана-

G-эквивариантного когерентного пучка: G-эквивариантные когерентные пучки на X . Для любой абелевой категории C с действием группы G можно определить G категорию C G-эквивариантных объектов в C , она также будет абелевой. Если G в качестве C взять coh(X ), то C будет эквивалентна coh(X//G).
логичной задачи служит конструкция когерентные пучки на

X//G

это

С аналогичной конструкцией для триангулированных категорией имеются проблемы: а именно, в случае действия группы категории

G

на триангулированной

T

категория

T

G

, состоящая из

G

-эквивариантных объектов в

T

,

априори не обязана быть триангулированной. Это одно из проявлений недостаточной ж?сткости триангулировнных категорий, приводящей и ко многим другим трудностям. Целью работы было построить ?линеаризованную? триангулированную категорию, играющую роль

T

G

.

Это удалось сделать в следующих предположениях: существует DG-оснащение

A A

данной триангулированной категории

T

, на котором имеется действие

G,

ин-

дуцирующее данное действие на и действия группы

T

. В этих условиях, исходя из DG-категории

G

на ней, была построена DG-категория

B

, для кото-

рой

H 0 (B )

искомая триангулированная категория. Эта конструкция уточ-

нение конструкции, предложенной П. Сосной в ?Linearisations of triangulated categories with resp ect to nite group actions?, arXiv:11082144. Категория щения

B

об-

ладает разумными функториальными свойствами, в частности, замена осна-

A

на квазиэквивалентное приводит к замене

B

на квазиэквивалентную

категорию. В действительности, имеем существования DG-оснащения

H 0 (B ) T G . Тем самым показано, что в случае = T , совместимого с действием группы, категория
1


2
эквивариантных объектов в ствия конечной группы

АЛЕКСЕЙ ЕЛАГИН

T

является триангулированной. Для случая дей-

G

на алгебраическом многообразии

X

и

T = Db (X )

,

условие существования такого оснащения выполнено. Построенная категория

H 0 (B ) T =

G

в этом случае эквивалентна

Db (X//G).

Другой пример применения полученного результата накрытия, связанные

L таLn OX , то подкрутка на L определя= b ет действие группы G = Z/nZ на категории T = D (X ). Снова существует G DG-оснащение T , согласованное с действием группы, поэтому категория T G триангулированна. В этом случае категория T эквивалентна производной категории когерентных пучков на неразветвл?нном накрытии X , связанном с L.
с линейными расслоениями конечного порядка в группе Пикара. Если кое расслоение на многообразии

X

и

Стоит признать, что конструкция линеаризованной триангулированной категории с DG-оснащением, как и другие результаты, полученные мной за прошедшие три года (теорема об обращении для эквивариантных категорий относительно действия абелевых групп, описание производной категории аффинной этальной схемы над базой), относятся к теории спуска для триангулированных категорий, работы по которой не были включены в мою заявку. Существенных же результатов по темам из заявки получено пока не было.

Участие в научных конференциях
[1] International Conference dedicated to the 90th anniversary of I.R.Shafarevich, Moscow, 2013, June 3-5. [2] International Conference Geometry of algebraic varieties dedicated to the memory of V.A.Iskovskikh, Moscow, 2013, Octob er 22-25. [3] Christmas meetings with Pierre Deligne, Moscow, 2013, January 8-11. Talk Coherent sheaves on 1-dimensional stacks

Преподавание
[1] Algebraic geometry - 1. Indep endent University of Moscow & MIPT, I I I year students/master students, Septemb er-Decemb er 2013, 2 hours p er week. Program: (1) Commutative rings, ideals, prime and maximal ideals. Quotient-rings. Radical of a ring. Intersection and sum of ideals. Null-radical. Integral domains. (2) Sp ectrum of a ring, Zariski top ology. (3) Ring homomorphisms, contraction and extension of ideals, of prime ideals. The induced morphism on sp ectra. (4) Ane algebraic varieties, subvarieties, regular mappings. Corresp ondence b etween algebraic and geometric p oints of view. (5) Points of variety and maximal ideals, residue eld. Nullstellensatz. (6) Finite eld extensions. Algebraic elements, their minimal p olynomials. (7) Finite elds. (8) Mo dules. Submo dules and quotient-mo dules. Direct sums. Kernels, theorems on homomorphism, Chinese remainder theorem. (9) Tensor pro duct of mo dules. Universal bilinear map. (10) Exact sequences. Hom and tensor pro duct as functors. Pro jective and injective mo dules. Exact functors. (11) Quotient eld of a ring. Rational functions, functions regular on a subvariety. Lo calization of rings. Ideals b ehavior under lo calization.


ОТЧТ ПО КОНКУРСУ ФОНДА ?ДИНАСТИЯ? ЗА 2013 ГОД

3

(12) Lo calization of mo dules. Lo calization as exact functor. Lo cal prop erties of rings and mo dules. (13) Finitely generated mo dules. No etherian rings and mo dules. Hilb ert's basis theorem. (14) Integral and nite extensions of rings. Rings of algebraic integers. Finite coverings of varieties. Fib ers of nite morphisms of sp ectra. (15) Primary ideals and primary decomp osition. Primary decomp osition in 1dimensional domains. Dedekind domains. Topics of exercise sheets: (1) Rings and ideals (2) Sp ectrum of a ring (3) Homomorphisms of rings (4) Ane algebraic varieties (5) Finite elds (6) Field extensions (7) Mo dules (8) Exact sequences (9) Lo calization (10) Mo dules - 2 (11) Finite ring extensions See http://ium.mccme.ru/f13/elagin-f13.html for the lecture drafts and exercise sheets.