Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/Program2/protasov-summary.pdf Дата изменения: Sun Oct 10 20:28:00 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 21:06:44 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: большой круг

В.Ю. Протасов

Совместные спектральные характеристики линейных операторов
Краткое изложение заявки
Для данного конечного семейства линейных операторов A = {A1 , . . . , Am } в Rd рассматривается задача: найти порядок роста произведений длины k операторов из A. Если семейство состоит из одного оператора A, то есть только одно произведение длины k , и показатель роста его нормы = limk Ak 1/k спектральный радиус A. Для семейства из нескольких операторов речь идет об усредненной, в том или ином смысле, норме всех mk произведений длины k . Для Lp -среднего показатель роста называется p-радиусом p (A); при p = , когда для каждого k выбирается произведение максимальной нормы, показатель в литературе называется совместным спектральным радиусом. Его антипод - (минимальная норма произведения) это нижний спектральный радиус. Если на множестве A задана вероятностная мера, то в качестве усреднения берется математическое ожидание логарифма нормы произведений длины k . В этом случае показатель роста известен как показатель Ляпунова. В частности, для равномерного распределения получаем 0 . Все такие показатели мы будем называть совместными спектральными характеристиками. Первые из них появились в 1960 г. в работах Рота и Стрэнга ( ) и Фюрстенберга и Кестена (показатель Ляпунова). Совместные спектральные характеристики широко изучались в литературе и нашли огромное количество приложений, от функционального анализа и эргодической теории до комбинаторики и теории чисел. Представляемый проект посвящен широкому кругу задач, которые условно можно разделить на две части: 1) применения совместных спектральных характеристик к задачам теории функций, теории операторов, теории всплесков (wavelets), комбинаторики, и т.д., 2) методы вычисления совместных спектральных характеристик. Среди приложений большое внимание уделено функциональным уравнениям со сжатием аргумента. В 2008 автором были определены и исследованы уравнения самоподобия в пространствах вектор-функций Lp [0, 1] и C [0, 1]. Частными случаями решений таких уравнений являются классические фрактальные кривые (Де Рама, Коха, и т.д.), всплески Добеши, масштабирующие функции, плотности распределения случайных степенных рядов, и т.д. Критерий существования и единственности решений формулируется в терминах p-радиуса специальных операторов. Гладкость решений также выражается в терминах совместных спектральных характеристик. Эти результаты позволили автору решить несколько открытых проблем теории всплесков и теории вероятностей. Я планирую обобщить их на функции многих переменных и применить их к исследованию многомерных всплесков и случайных степенных рядов. Планируется разработать эффективные методы вычисления совместных спектральных характеристик, основанные на применении инвариантных норм в Rd , существование которых для p-радусов в случае p = было доказано Барабановым, в случае p < автором, и для показателей Ляпунова автором в 2010 г. При этом предполагается применить результаты Бургейна, Линденштраусса и Мильмана о приближающих зонотопах, и современные алгоритмы решения выпуклых экстремальных задач. С помощью разработанных методов я надеюсь получить полные решения нескольких открытых проблем, которые сводятся к вычислению совместных спектральных характеристик матриц больших размерностей. Это задачи о существовании общего инвариантного конуса (теория операторов), о показателе роста числа неперекрывающихся слов двоичного алфавита, о ?мкости двоичных кодов (дискретная математика) и об асимптотике бинарной функции разбиения Эйлера (теория чисел). 1