Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/Program2/kukina-summary.pdf Дата изменения: Thu Oct 7 10:11:00 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 14:07:33 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: запрещенные спектральные линии

Краткое изложение заявки
Проведенные исследования

Объект предлагаемого исследования усредненная функция Дена. Определим основные понятия, кратко опишем актуальность проблемы и сформулируем основные полученные результаты. Изопериметрические функции ограничивают сверху площадь слова в зависимости от его длины. Функция Дена минимальная из всех изопериметрических. С тех пор функция Дена одно из базовых понятий в геометрической теории групп, поскольку является естественным инвариантом (характер роста функции Дена не зависит от представления группы). В 90-х годах XX века в теории алгоритмов и теории сложности появилась тенденция оценивать сложность алгоритмов не в "худшем" случае, а в среднем. Этого веяния не избежала и фукнция Дена. Усредненная функция Дена группы G показывает средний характер роста площадей слова при росте их длины. Впервые это определение появляется в статье М.Громова "Асимптотические инварианты бесконечных групп". В этой же статье без доказательства высказывается гипотеза Громова и задается вопрос, определивший основное направление исследований усредненной функции Дена математиками. Усредненная функция Дена свободных абелевых групп субквадратична. Всегда ли усредненная функция Дена субассимптотична? (Т.е. усредненная функция Дена мала по сравнению с самой функцией Дена) Приведем список результатов соискателя по данной тематике. Кукина Е.Г. и Романьков В.А. в соавторстве доказали гипотезу Громова, сформулированную выше. Кукина Е.Г. доказала, что для группы из двух элементов эквивалентна n. Это первый пример вычисленной точно усредненной функции Дена (а не полученной на нее оценки). Кроме того, в работе была предпринята попытка по-другому усреднить функцию Дена в соответствиями с идеями работ Боровика А.В., Мясникова А.Г., Ремесленникова В.Н., Шпильрайна В. "Меры и измеримые множества в бесконечных группах". Если на свободном моноиде ввести вероятностную меру и усреднить функцию Дена в соответствии с этой вероятностной мерой, то (при небольших естественных ограничениях на распределение вероятности) получаем, что усредненная по вероятности функция Дена автоматных групп ограничена сверху и снизу положительными постоянными.
Гипотеза. Вопрос.

Проект будущих исследований
G.

В планах доказать несколько теорем об усредненной функции Дена.
Теорема 1. Усредненная функция Дена группы G зависит от порождающих группы

В частности, при включении в множество порождающих единицы группы, усредненная функция Дена становится меньше.
Теорема 2. Усредненная функция Дена циклических групп субассимптотична в любом
представлении.

Что дает оложительный ответ на вопрос М.Громова для этих групп.
Теорема 3.
Найдется последовательность свободных частично-коммутативных

групп, усредненная функция Дена которых сколь угодно близка к тождественному нулю.