Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/Program2/Zotov_Summary.pdf Дата изменения: Fri Oct 15 10:02:00 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 09:33:41 2011 Кодировка: Windows-1251

Краткое изложение заявки
Модификации расслоений, характеристические классы и интегрируемые системы
А.В.Зотов

Основное внимание будет уделено классическим и квантовым интегрируемым теориям, обобщ?нным групповым симметриям, таким как квантовые группы и квадратичные ассоциативные алгебры, а также смежным областям и задачам, таким, например, как изомонодромные деформации и монопольные решения. Ранее в ряде работ соискателя (в соавторстве с А.М,Левиным и М.А.Ольшанецким) было определено понятие Симплектического Соответствия Гекке (ССГ) как соответствия интегрируемых систем, связанных процедурой модификации расслоений. Эта процедура, в простейшем случае описывающее изменение степени расслоения на единицу, в общем случае связывает расслоения с различными характеристическими классами, такими как классы Штиффеля-Уитни для ортогональных групп. С точки зрения интегрируемых систем модификации связывают многочастичные системы (типа Калоджеро и спиновых обобщений) с многомерными интегрируемыми волчками (типа Эйлера-Арнольда). Другими словами модификация является сингулярным калибровочным преобразованием, осуществляющим каноническое преобразование с явной заменой переменных. В последних работах в общем случае (для произвольного характеристического класса) были построены интегрируемые системы, содержащие оба типа степеней свободы, получены явные выражения для операторов Лакса и новые динамические r-матрицы, дополняющие классификацию r-матриц Этингофа-Варченко. В квантовом случае также будут получены новые динамические R-матрицы, удовлетворяющие квантовому динамическому уравнению Янга-Бакстера. Как известно, R-матрица является решением условия совместности для уравнений Книжника-Замолодчикова. Поэтому новые R-матрицы будут описывать и новый класс этих уравнений. До сих пор R-матрицы описывались аксиоматическим образом. В рамках общей идеологии теоретико-группового подхода предполагается вывод R-матриц из первых принципов, стартуя с некоторых топологических теорий, задаваемых геометрическим действием, отвечающим двухпетлевым алгебрам. Именно такое описание указывает на универсальный характер R-матриц, как естественных объектов в теории представлений и в интегрируемых моделях физики тв?рдого тела. В изначальной топологической теории R-матрицы просты и легко перечислимы. Редукция к конечномерным системам позволит получить все разнообразие пуассоновых R-матричных структур. В случае, когда структурная группа расслоения является группой петель, классические интегрируемые 0+1 системы (типа Хитчина) переходят в 1+1 теории поля, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния. Например, волчок Эйлера в петлевом случае переходит в непрерывный XYZ магнетик, описывающийся уравнением Ландау-Лифшица. Мы планируем описать класс интегрируемых 1+1 теорий поля, обобщающий системы Годена (то есть многополюсные системы). Полученные системы должны включать в себя XYZ магнетик и модель главного кирального поля как частные случаи. Также ранее нами исследовалась интерпретация процедуры модификации в терминах монопольных решений уравнения Богомольного. Ответ получен в скалярном случае и обобщает обычные эллиптические ряды Кронекера-Эйзенштейна. Для полученных рядов доказано обобщение функционального уравнения Римана. Таким образом, получена естественная деформация эллиптических функций на трехмерном пространстве. Я намерен продолжить исследование данной конструкции с целью получить SU(N) монопольные решения. Такие решения интересны, так как граничные условия задаются интегрируемыми системами, связанными симплектическим соответствием Гекке, которые отвечают операторам т'Хофта в некоторой калибровочной теории. Роль оператора Гекке выполняет как раз вставка монополя. Это происходит в следствие того, что такая вставка изменяет значение характеристического класса расслоения, определяющего фазовое пространство интегрируемой системы. Еще одна задача связана с понятием p -q дуальности в интегрируемых системах. В частности, она подразумевает существование класса интегрируемых систем с эллиптической зависимостью от импульсов. Наиболее общий представитель семейства (с эллиптической зависимостью и от импульсов и от координат) называют двойной эллиптической системой. Пары Лакса для предполагаемых моделей неизвестны. Тем самым основная задача в этой области найти их. Кроме того, гипотетические модели должны описываться двухпетлевыми пуассоновыми алгебрами (обобщениями алгебры Склянина). Найти их описание также очень важная и интересная задача.

1