Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2009/reports/Timorin2012Deligne-report.pdf Дата изменения: Tue Dec 18 18:37:00 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:53:09 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Владлен Тиморин

1

Отчет по гранту 2012

Отчет по гранту Делиня за 2012 год

Владлен Тиморин

Результаты, полученные в этом году

Кубическим аналогом множества Мандельброта является кубическое множество связности

M3

, состоящее из классов аффинной сопряженности кубиче-

ских многочленов, у которых множество Жюлиа связно. Главной гиперболической компонентой в

M

3 называется множество классов кубических многочле-

нов, для которых множество Жюлиа жорданова кривая. Рассмотрим многочлен, класс которого лежит в замыкании главной гиперболической компоненты. Тогда 1) у этого многочлена есть неотталкивающая неподвижная точка, 2) у этого многочлена нет разделяющих отталкивающих периодических точек, 3) у этого многочлена есть не более одной неотталкивающей периодической точки, мультипликатор которой отличен от 1. Последнее утверждение вытекает из неравенства Йоккоза. Мы определяем главную кубиоиду CU как множество классов

[f ],

удовле-

творяющих трем перечисленным свойствам. Наша гипотеза состоит в том, что замыкание главной гиперболической компоненты совпадает с множеством CU. Предположим, что у

f

есть непритягивающая неподвижная точка. Мы

доказали следующие результаты. Если де, то ограничение отображения

[f ]

не принадлежит главной кубиои-

f

на некоторую жорданову область являет-

ся квадратично-подобным отображением со связным множеством Жюлиа. (Из теоремы Дуади и Хаббарда известно, что квадратично-подобное отображение со связным множеством Жюлиа топологически сопряжено квадратному многочлену в некоторой окрестности заполненного множества Жюлиа). Доказана также следующая теорема. Предположим, что класс

[f ]

не при-

надлежит замыканию главной гиперболической компоненты, но имеет неотталкивающую неподвижную точку. Тогда верно хотя бы одно из следующих утверждений: 1. ограничение отображения

f

на некоторую жорданову область является

квадратично-подобным отображением со связным множеством Жюлиа; 2. критическая точка отображения торой итерации; 3. множество Жюлиа многочлена

f

отображается в диск Зигеля на неко-

f

имеет положительную меру, и на нем

определено измеримое инвариантное поле направлений. Согласно широко известной гипотезе, случай 3 никогда не реализуется.

1


Владлен Тиморин

2

Отчет по гранту 2012

У нас также имеется явное описание всех инвариантных ламинаций Терстона, соответствующих многочленам, классы которых принадлежат CU. В совместном проекте с В.Кириченко и П.Гусевым, мы считали число вершин многогранников ГельфандаЦетлина. Зафиксируем натуральное число k , i i и рассмотрим все разбиения вида 1 1 . . . k k и соответствующие этим разбиеi i ниям многогранники ГельфандаЦетлина GZ (1 1 . . . k k ). Обозначим через Ek i i экспоненциальную производящую функцию для числа V (1 1 . . . k k ) вершин в i i многограннике GZ (1 1 . . . k k ), т.е. формальный степенной ряд

Ek =


i1 ,...,ik 0

i i z11 zkk V (1 . . . k ) . . . . i1 ! ik ! i1 i
k

Мы вывели следующее уравнение с частными производными на

Ek

:

(

k - + z1 . . . z k z1 z E1 (z1 ) = e

(

)
2

... zk

(

-1

+ z

))

Ek = 0 .
k

z z1 + z2 I0 2 z1 z2 , где 1 , E2 (z1 , z2 ) = e рованная функция Бесселя первого рода с параметром 0:
Таким образом,

(

)

I

0 модифици-

I0 (t) =

t n=0

n

n!2

.

Интересно также рассматривать обыкновенную производящую функцию i i для чисел V (1 1 . . . k k ):

Gk (y1 , . . . , yk ) =


i1 ,...,ik 0

i i V (1i1 . . . k ik )y11 . . . ykk .

На эту функцию мы получили разностные уравнения. Для всякого степенного ряда

f

от переменных

y1 , . . . , y

k , мы определим действие оператора разделенных

разностей



i на

f

как

i (f ) =
Функция

f - f |y yi

i

=0

.

G

k удовлетворяет следующему уравнению

(1 . . . k - (1 + 2 ) . . . (
При что

k-1

+ k )) Gk = 0.

k=1

, 2 и 3, эту функцию можно вычислить явно. Нетрудно видеть,

G1 (y1 ) =

1 , 1 - y1

G2 (y1 , y2 ) =

1 . 1 - y1 - y2

2


Владлен Тиморин

3

Отчет по гранту 2012

Функция

G3 (x, y , z )

равна

2xz - y (1 - x - z ) - y 1 - 2(x + z ) + (x - z )2 2(1 - x - z )((x + y )(y + z ) - y )
Числа



.

Vk

,,m

= V (1k 2 3m )

можно также представить как коэффициенты

некоторых многочленов Лорана. А именно, число km циентом при x z в многочлене Лорана

V

k,,m совпадает с коэффи-

1 - xz ( (1 + x) 1 + xz

k++m

(1 + z )k

++m

- (x + z )k

++m

)

.

Итоги трех лет, сравнение результатов с заявкой

Не все из полученных за три года результатов соответствуют первоначальной заявке. Так получилось, что кроме собственно динамических систем на сфере Римана я занимался комбинаторикой и проективной геометрией. Впрочем, главный пункт заявки (доказательство общего результата о полусопряжении между разрезанной сферой с негиперболической динамикой и сферой с гиперболической критически конечной динамикой) был выполнен. Результат записан и существует (пока) в виде препринта. Потенциальная область применения этого результата широка, но нужно разобрать конкретные примеры. Один такой пример (применение к спариваниям квадратных многочленов) обсуждается в нашей совместной статье с И.Машановой, принятой к публикации в Annales de Toulouse. Я надеюсь в ближайшее время рассмотреть другие приложения, например, применить разработанную технику топологической хирургии к динамике кубических многочленов.

Опубликованные и поданные в печать работы

1. Исчисление Шуберта и многогранники Гельфанда-Цетлина, Кириченко В.А., Смирнов Е.Ю., Тиморин В.А. // Успехи математических наук, 2012. Т. 67. No. 4. C. 89128 2. Osculating curves: around the Tait-Kneser Theorem, E. Ghys, S. Tabachnikov, V.A. Timorin // Mathematical Intelligencer, doi:10.1007/s00283-012-9336-6 3. Captures, matings and regluings, I. Mashanova, V.A. Timorin // To app ear in the Annales de Toulouse 4. Planarizations and maps taking lines to linear webs of conics V.A. Timorin // To app ear in the Mathematical Research Letters

3


Владлен Тиморин

4

Отчет по гранту 2012

5. Dynamical cores of topological polynomials, Blokh A., Oversteegen L., Ptacek R., V.A. Timorin // To app ear in Pro ceedings of the International Conference Frontiers in Complex Dynamics Princeton University Press
Препринты:

celebrating J. Milnor's 80th Birthday,

1. A. Blokh, L. Oversteegen, R. Ptacek, V. Timorin, Laminations from the Main Cubioid 2. A. Blokh, L. Oversteegen, R. Ptacek, V. Timorin, The Main Cubioid

Участие в конференциях и школах Январь Christmas meetings with Pierre Deligne, Рождественские встречи фонда

?Династия? Независимому Московскому университету 20 лет 8.01.2012 10.01.2012 Российская Федерация, Москва
Февраль зимняя школа НИУ-ВШЭ по математике (Клязьма) Май XI Международная школа ИТЭФ-НИУ ВШЭ-ИТФ по теоретической ма-

тематической физике 2.05.2012 - 10.05.2012 Украина, Севастополь
Июнь Holomophic

foliations

and

complex

dynamics

11.06.2012

-

15.06.2012

Москва
Июль The

eighteenth

International

Conference

on

Dierence

Equations

and

Applications 22.07.2012 - 26.07.2012 Испания, Барселона
Сентябрь INdAM Conference New Trends in Holomorphic Dynamics 2.09.2012

7.09.2012 Италия, Кортона
Доклады на семинарах:

ћ ћ ћ

семинар по динамическим системам, МГУ семинар Глобус, НМУ семинар лаборатории Чебышева, СПбГУ

Работа в научных центрах и международных группах

Совместный проект с коллегами из университета Алабамы в Бирмингеме.

4


Владлен Тиморин

5

Отчет по гранту 2012

Педагогическая и административная деятельность

Я преподаю на факультете математики Высшей Школы Экономики. В этом году, я читал следующие курсы: 1. уравнения с частными производными, 3-4 курсы 2. Basic Representation Theory (совместный курс англоязычной магистратуры НИУ ВШЭ по математике и программы Math in Moscow) Кроме того, я вел учебные семинары по дифференциальным уравнениям на 2 курсе. Я являюсь заместителем декана факультета математики по международным связям. С этой должностью связана существенная административная нагрузка. Я руковожу курсовыми и выпускными квалификационными работами семи студентов. В Независимом Московском Университете, я веду (вместе с А.Буфетовым и Г.Мерзоном) основной курс геометрии для студентов 1 курса.

5