Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2009/reports/Timorin2010Deligne-report.pdf Дата изменения: Tue Dec 14 10:33:00 2010 Дата индексирования: Mon Feb 14 01:26:39 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вечный календарь

Владлен Тиморин

1

Отчет по гранту 2010

Отчет по гранту Делиня за 2010 год

Владлен Тиморин

Результаты, полученные в этом году

В этом году, я доказал общую теорему о частично определенных полусопряжениях между рациональными функциями. Рациональные функции от одной комплексной переменной рассматриваются как динамические системы на сфере Римана. С этой точки зрения (динамической), рациональные функции делятся на простые (гиперболические) и сложные. Гиперболическое поведение является сжимающим на одной части сферы (множестве Фату) и отталкивающим на другой части (множестве Жюлиа). Это поведение устойчиво. Про топологическую динамику негиперболических рациональных функций, не являющихся многочленами, мало что известно. Дело в том, что для рациональных функций отсутствует мощная техника паззлов Йоккоза, позволяющая эффективно решать большинство комбинаторных проблем, и открывающая дверь локальным аналитическим методам. Паззлы Йоккоза дают геометрическое марковское разбиение множества Жюлиа, и позволяют локализовать динамику. Динамику же рациональных функций трудно локализовать. В этом году я показал, что динамику многих рациональных функций (серьезным ограничением является только существование хотя бы одной суперпритягивающей орбиты) удается отобразить в, или, что называется, полусопрячь с динамикой гиперболических функций на очень большом множестве (дополнении до счетного числа гладких кривых), причем это полусопряжение в некотором естественном смысле голоморфно. Этот результат обобщает предложенную мной ранее хирургическую операцию переклейку на очень широкий класс рациональных функций, хотя соответствующая топологическая процедура менее конструктивна. Главная сложность заключается в том, что построенное полусопряжение может склеивать большие части сферы, на которых динамика сложная, в точки. Этого никак не избежать, поскольку в гиперболических отображениях такая сложная динамика никогда не встречается. Но хорошо то, что части со сложной динамикой удается эффективно локализовать. Я надеюсь, что построенное средство локализации может сыграть полезную роль в рациональной динамике, аналогичную роли паззлов Йоккоза в полиномиальной динамике. Эти результаты изложены в работе [2]. Вместе с А. Блохом, Л. Оверстигеном и Р. Птачеком, мы продолжаем изучать комбинаторику и топологию пространства параметров кубических многочленов. Мы частично описали сердцевину бифуркационного множества в пространстве параметров, играющую роль, аналогичную главной кардиоиде множества Мандельброта. Из этой сердцевины растут все остальные части бифур-

1


Владлен Тиморин

2

Отчет по гранту 2010

кационного множества. Мы рассматриваем топологические многочлены, т.е. топологические динамические системы, похожие на обычные многочлены, но лишенные аналитических патологий. Такие динамические системы являются далеко идущими обобщениями непрерывных кусочно-линейных отображений отрезка. Мы дали простое описание динамической сердцевины топологического многочлена степени 2 или 3, то есть минимального полного подконтинуума во множестве Жюлиа, содержащего омега-предельные точки всех разделителей. Этот результат обобщает аналогичные результаты для кусочно-линейных отображений отрезка. Кроме того, мы описали топологические квадратные и кубические многочлены, у которых динамическая сердцевина минимальна. Именно такие многочлены соответсвуют сердцевине бифуркационного множества. Мы подготовили текст статьи [3], и собираемся подать ее в журнал в ближайшее время. Из проектов, непосредственно не связанных с темой гранта, отмечу совместный проект с В.А. Кириченко и Е.Ю. Смирновым [4]: исчисление Шуберта на пространстве полных флагов при помощи кольца, построенного по многочлену объема многогранника ГельфандаЦетлина.

Опубликованные и поданные в печать работы

[1 ] В.А. Тиморин, А. Г. Хованский, Многогранники и уравнения, Мат. просвещение, Сер. 3, 2010. No 14., C. 3057 [2 ] V. Timorin, Partial holomorphic semiconjugacies b etween rational

functions, arXiv:1008.4670v1 [math.DS], Submitted to Ann. Math.
Препринты:

[3 ] A. Blokh, L. Oversteegen, R. Ptacek, V. Timorin, Core-minimal cubic laminations [4 ] V. Kiritchenko, E. Smirnov, V. Timorin, Schub ert calculus on GelfandZetlin p olytop es [5 ] V. Timorin, Mo ore's theorem, arXiv:1001.5140v1 [math.DS]

Участие в конференциях и школах Февраль зимняя школа ГУ-ВШЭ по математике Сентябрь Complex dynamics around Thurston's theorem, Роскильде, Дания Доклады на семинарах:

2


Владлен Тиморин

3

Отчет по гранту 2010

ћ ћ ћ ћ ћ

семинар по комплексному анализу, МГУ семинар по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, МИАН семинар по динамическим системам, МГУ Geometry and dynamics seminar, Jacobs University Bremen Top ology seminar, MPIM Bonn

Работа в научных центрах и международных группах

ћ ћ

Max Planck Institute for Mathematics Jacobs University Bremen

Педагогическая деятельность

Я преподаю на факультете математики Высшей Школы Экономики. В этом году, я читал следующие курсы: 1. гамильтоновы и интегрируемые системы, 3 курс 2. компьютерные вычисления, 2 курс 3. современные компьютерные технологии, 1 курс магистратуры 4. научно-исследовательский семинар по дискретным динамическим системам, 1-3 курсы и магистратура. Кроме того, я участвовал в проведении учебных семинаров по геометрии на 1 курсе и по логике на 1 курсе. Я являюсь куратором магистратуры по математике, и отвечаю за проведение профориентационной зимней школы по математике для студентов ВУЗов. Кроме того, я занимаюсь подготовкой заданий и проведением студенческой олимпиады ГУ-ВШЭ по математике. Я руковожу курсовыми работами следующих студентов:

ћ ћ ћ ћ ћ

Шишкин Денис, 3 курс, задача Гурвица о суммах квадратов Машанова-Голикова Инна, 3 курс, теорема Шарковского Пушкарь Александра, 3 курс, Внешние бильярды Клименко Артур, 2 курс, Число вращения, пример и теорема Данжуа Петров Дмитрий, 2 курс, метод Ньютона

3


Владлен Тиморин

4

Отчет по гранту 2010

ћ ћ ћ

Сальников Михаил, 2 курс, теорема Мура Папаянов Григорий, 1 курс, статистика цепных дробей Якшева Ольга, магистратура, динамика рациональных функций

В Независимом Московском Университете, я веду основной курс анализа для студентов 1 курса.

4