Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2008/reports/Karasev_2009.pdf Дата изменения: Tue Dec 29 19:17:32 2009 Дата индексирования: Fri Apr 9 04:52:20 2010 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: компактификация

? ОТЧЕТ ПО ГРАНТУ ФОНДА ДИНАСТИЯ ЗА PHHW ГОД
Р.Н. КАРАСВ

IF

Научные публикации

Опубликован обзор P в ?Успехах математических наук?F Обзор посвящ?н применеE нию топологических методов в комбинаторной геометрииD в основном в н?м освещаютE ся теоремы типа БорсукаEУламаD раскраска графов и гиперграфовD задачи вписывания и описывания многогранников вокруг выпуклых телD некоторые приложения тополоE гии грассманианов к комбинаторной и выпуклой геометрииF РезультатыD цитируемые в обзореD ранее были слабо представлены в русскоязычных статьях и монографияхF В работах QD RD S изучались некоторые топологические свойства действия групп вида G = (Zp )k @и некоторых чуть больших группA на S O(n) правыми умножениямиD возникающего из некоторых линейных представлений GF Отсюда выводятся результаE ты о вписывании GEсимметричного @в частностиD правильногоA кроссполитопа @многоE мерного октаэдраA в гладкую гиперповерхность в Rn D являющуюся гладко вложенной сферойF Случай p неч?тного был сделан мною ранееD случай p = 2 был доделан в этом годуD последний случай требует рассмотрения б? ольшей группыD вида G = D8 Ч (Z2 )k-1 F Те же топологические соображения позволяют делить абсолютно непрерывные меры в Rn на равные части GEсимметричными системами конусов с общей вершинойD полуE чающимися из некоторой данной системы движениямиF В статье T изучались вопросы существования аффинной mEплоскостиD пересекаE ющей семейство n + 1 компактных множеств C1 , . . . , Cn+1 в Rn F Один из вариантов теоремы БорсукаEУлама да?т такой критерий при m = 0X надоD чтобы объединение множеств было выпуклым множеством K = Ci D и пересечения K Ci не содержали ?антиподальных? точекD то есть точек с противоположными нормалями относительно K F ОказалосьD что для существования mEмерной плоскости @?трансверсали?A достаE точноD чтобы то же самое выполнялось для всякой n - mEмерной проекции системы множествF Этот результат следует из некоторых несложных топологических свойств грассманиана и его канонического расслоенияF Также в статье T изучался такой вопросX есть n абсолютно непрерывных вероятE ностных мер чi в Rn D даны числа i (0, 1) при i = 1, . . . , nF Надо найти полупроE странство H Rn D которое отделяет от каждой меры по i D то есть чi (H ) = i для всех iF В общем случае такое деление невозможноD но ранее были найдены некотоE рые достаточные условияD гарантирующие делениеF В моей работе эти достаточные условия ослабляютсяF В работе U были сформулированы некоторые аналоги теоремы КнастераEКуратовскогоE Мазуркевича о покрытиях симплексаD относящиеся к покрытиям произведения пары
I


P

РFНF КАРАСВ

симплексовF Некоторые аналогичные факты были известны ранееF Из этой теоремы были выведены некоторые следствияF НапримерD такоеF Рассмотрим семейство связE ных компактов на плоскости и натуральные числа n mF ПредположимD что любые m + 1 или менее множеств семейства можно пересечь m горизонтальнымиD или n верE тикальными линиямиF Тогда вс? семейство можно пересечь m горизонтальными и n вертикальными линиямиF В работе V изучались конфигурационные пространства Rn D то есть пространства наборов из q попарно различных точек в Rn F Условие попарной различности также можно заменить на отсутствие k Eкратных совпадений " тогда получаются обобщ?нE ные конфигурационные пространства @onfigurtionElike spesAF На этих пространE ствах естественно действует группа перестановок q D также рассматривалось действие е? подгрупп вида G = (Zp )k D где pk = q F Для разных приложений важно оценивать ?сложность? этого действия группы G на конфигурационном пространствеD в частE ности под сложностью можно понимать нетривиальность алгебры GEэквивариантных когомологий конфигурационного пространства в какомEлибо смыслеF В работе V приE ведены некоторые результатыD показывающие что образ алгебры когомологий групE пы G в алгебре эквивариантных когомологий обобщ?нных конфигурационных проE странств достаточно великD также приведены некоторые близкие результатыF Изучение когомологий конфигурационных пространств Rn позволяет оценить сниE зу @эквивариантнуюA категорию ЛюстерникаEШнирельмана конфигурационных проE странств не только Rn D но и произвольного nEмерного многообразия M F В частностиD получаются оценки на количество критических точек гладкого собственного функциоE нала на конфигурационном пространстве многообразияD симметричного относительно действия GD или всей группы перестановок q F В работе W было продолжено @смF также IA изучение теорем о центральной точке и теорем типа Тверберга для семейств выпуклых множествF НапримерD рассмотрим семейство F выпуклых множеств в Rd D в котором всякие d или менее множеств имеют общую точкуD и количество элементов не менее (q - 1)(d + 1) + 1F Тогда можно найти точку x Rd и разбить F на q подмножеств F1 , . . . , Fq такD что для всякого i = 1, . . . , q точка x либо содержится в объединении iEго подсемейства Fi D либо отделяется объE единением Fi от бесконечностиF Этот результат был доказан для случаяD когда q " степень простогоD что является типичных ограничением для методаD связанного с применением когомологий групп перестановок из q элементов и их подгрупп @смF абзацы вышеAF Текущая информация о моих публикациях доступна также на сайте wwwFrkrsevFruF

PF

Конференции

Участвовал в конференции ?rnsversl nd rellyEtype theorems in qeometryD gomintoris nd opology? в гF БанффD КанадаF Прочитал два доклада по темам работ ID TD WD обсудил результаты со специалистамиF


? ОТЧЕТ ПО ГРАНТУ ФОНДА ДИНАСТИЯ ЗА PHHW ГОД

Q

QF

Преподавательская деятельность

Продолжаю преподавать в МФТИD читаю курс лекций по математическому анализу и веду семинарыF Занимаюсь подготовкой команды студентов МФТИ для участия в математических олимпиадахD в этом году команда участвовала в олимпиаде swg PHHW в гF БудапештF

Список литературы
[1] Р.Н. Карас?в, Двойственные теоремы о центральной точке и их обобщения , Мат. сбор-

ник,

[2] Р.Н. Карас?в, Топологические методы в комбинаторной геометрии , Успехи мат. наук, [3] [4] [5]

199

:10 (2008), 4162. (2008), 3990.

R.N. Karasev, "Equipartition of a measure by (Zp )k -invariant fans", Discrete and Computational Geometry, 2009 doi 10.1007/s00454-009-9138-6. k R.N. Karasev, "Knaster's problem for (Z2 )k -symmetric subsets of the sphere S 2 -1 ", Discrete and Computational Geometry, 2009 doi 10.1007/s00454-009-9215-x. R.N. Karasev, A.Yu. Volovikov, Knaster's problem for almost (Zp )k -orbits, arXiv: 0905.2047, 2009.
семейств выпуклых компактов , Мат. сборник,

63:6(384)

[6] Р.Н. Карас?в, Теоремы типа БорсукаУлама для плоскостей и плоские трансверсали [7] [8] [9]

R.N. Karasev, KKM-type theorems for products of simplices and cutting sets and measures by straight lines, arXiv: 0909.0604, 2009. R.N. Karasev, "The genus and the category of configuration spaces", Topology and its Applications, 156:14 (2009), 2406-2415. R.N. Karasev, Analogues of the central point theorem for families with d-intersection property in Rd , arXiv: 0906.2262, 2009.

200:10

(2009), 3958.