Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2007/reports/Talalaev_report10.pdf Дата изменения: Tue Dec 14 10:31:00 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 20:25:08 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ngc 891

Отчет о проведенных исследованиях в рамках проекта Талалаева Дмитрия:
Алгебро-геометрические методы в квантовых интегрируемых системах

1

Краткое описание цели проекта

В основном проект направлен на построение квантового аналога метода решения классических интегрируемых систем, основанного на конструкции спектральной кривой и лагранжева слоения, определяемого отображением Абеля. Основой проекта была конструкция квантового характеристического полинома для квантовой системы Годена [1], которая играет исключительную роль в решении квантовой системы, как в терминах разделенных переменных, так и на языке метода анзаца Бете. Кроме этого, конструкция квантовой спектральной кривой позволила явно описать геометрическое соответствие Ленглендса над полем C [2] и представляет отдельный интерес в рамках некоммутативно-геометрических методов.

2

Основные задачи и результаты проекта

Центральными задачами проекта в рамках развития квантового метода спектральной кривой, которые сопровождались новыми результатами, были: расширение области его применения (ранее была известна конструкция только для рациональной системы Годена), а также построение эффективного описания спектра квантовых систем, что в терминах метода спектральной кривой имеет непосредственное отношение к квантованию отображения Абеля. В частности были построены квантования эллиптической версии системы Годена [4], которая расширяет возможности метода до класса систем типа Хитчина на кривых с особенностями с эллиптической нормализацией; а также квантование полной цепочки Тоды [6], которая имеет принципиально иную природу и тесно связана с такими современными задачами, как исследование пространств монополей, Заставы Дринфельда и вообще геометрией пространства флагов. В части проекта, связанной с задачей решения квантовых интегрируемых систем, также были получены новые результаты, а именно было построено дискретное семейство симметрий на множестве собственных векторов квантовой модели [3]. Последнее семейство интересно своим происхождением из теории изомонодромных деформаций и в определенном смысле является аналогом арифметических преобразований Гекке. По материалам проекта в 2010 году мной была защищена докторская диссертация Квантовый метод спектральной кривой" в диссертационном совете Д 002.022.03 при " Математическом институте В.А. Стеклова.

3

Результаты 2010 года

Остановлюсь подробнее на результатах 2010 года. Одним из них является расширение области применения квантового метода спектральной кривой для так называемой 1


полной системы Тоды. Классическая интегрируемая система строится на пространстве симметричных матриц n Ч n с помощью так называемой процедуры вычеркивания: введем частичные матрицы Ak () получаемые удалением правых k столбцов и верхних k строк матрицы A - I d. Известно, что коэффициенты выражения Pk () = k ()/n-k () где

k () = detAk () =
i

Ik,i

i

(1)

порождают Пуассон-коммутативную подалгебру в кольце рациональных функций на b . Квантование данной системы было построено благодаря нахождению производящей функции классических интегралов. Для этого рассмотрим матрицу A коэффициенты которой являются генераторами sln

A=
ij

Eij eij .

Введем также обозначения

=

0 . . . 0
n-1

ћћћ .. .
n-2

0

1


(2)

0

0 . .. . . . ћћћ 0

Тогда интересующие нас функции могут быть интегрированы в производящую функцию

P (z , , ) = Det Az =
k

-1

+ - I d
k k(k-1)/2 0 (Ik (z , ) + O())

Ik (z , , ) =
-1

(3)

где Ik (z , , ) однородны по z

, степени n - k . В частности
0 k () = Ik (1, ).

(4)

Был реализован формализм редукции АКС для разложения sln = b- son . В частности было доказано, что интегралы инвариантны относительно Борелевской подгруппы. Квантование было построено с помощью квантования системы до редукции АКС, а именно с помощью выражения

P Q(z , , ) = Det Az =
k

-1

+ - z I d
k k(k-1)/2 0 (QIk (z , z ) + O())

QIk (z , z , ) =

(5)

в котором генераторы алгебры Ли играют роль квантовых операторов, а определитель берется в полностью симметризованной форме. В квантовом случае также была реализована редукция АКС: была построена подходящая локализация U (b) по подмножеству, порожденному элементами {QIk,n-k }, которое в свою очередь является подмножеством Оре, доказана коммутативность выражений (QIk,i )+ /QIk,n-k в которых индекс + определяет элемент из U (b) в соответсвии с разложением:

U (sln ) = son U (sln ) U (b).
2

(6)


Оператор Лакса данной модели, а также непосредственных многоточечных обобщений, индуцирует отображение в пространство флагов. Учитывая, что семейство построенных интегралов инвариантно относительно действия Борелевской подгруппы, обобщенная система Тоды определяет коммутирующие потоки и на пространстве отображений в пространство флагов.

4

Публикации и участие в конференциях

Публикации 2010: [5], [6]. Конференции 2010 год:

ћ Конференция стипендиатов конкурса Делиня и фонда Династия, доклад "Квантовый метод спектральной кривой". ћ Representation Theory & Quantization, дата и место проведения: January 25-29, 2010, FIM, ETH Zurich.

Список литературы
[1] Д. Талалаев, Квантовая система ложения 40 No. 1 pp.86-91 (2006) [2] A.Chervov, D. Talalaev,
Годена

, Функциональный Анализ и его при-

Quantum spectral curves, quantum integrable systems and

the geometric Langlands correspondence

, hep-th/0604128

[3] Д. Талалаев, Анзац Бете и изомонодромные преобразования, Теоретическая и математическая физика, ТМФ, 2009, том 159, номер 2, стр. 252-265 [4] V. Rubtsov, A. Silantiev, D. Talalaev, Manin Matrices, Quantum Elliptic Commutative Families and Characteristic Polynomial of Elliptic Gaudin model, arXiv:0908.4064 Принято к публикации в журнал SIGMA [5] Д.В. Талалаев Квантовый метод спектральной кривой, диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, 2010г. МИАН В.А. Стеклова. [6] D. Talalaev
Quantum generic Toda chain.

preprint ITEP-TH-54/10

3