Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2007/reports/Savin_otchet10.pdf Дата изменения: Wed Dec 15 23:17:00 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 09:05:11 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: cygnus

Отчет АFЮF Савина о работе в PHIH году
1. Результаты 2010 года

Работа была посвящена проблеме индекса для нелокальных эллиптических опеE раторовD отвечающих произвольному диффеоморфизму g : X - X гладкого заE мкнутого многообразия X @ ID PAF Рассматриваемые операторы имеют вид конечной суммы D= Dk T k : C (X ) - C (X ), @IA
k

где Dk " @псевдоAдифференциальные операторы @ПДОA на многообразии X D а T k " k Eя степень оператора сдвига T u(x) = u(g (x)). При выполнении условия эллиптичности нелокальный оператор @IA является фредE гольмовым в подходящих пространствах СоболеваD и возникает задача о вычислении его индекса indD = dim ker D - dim cokerD в терминах символаF Формулы индекса для эллиптических операторов вида @IA были ранее получены для ряда специальных диффеоморфизмов g X когда диффеоморфизм порождает конечную группу иD более общим образомD когда он включается в компактную группу диффеоморфизмовF ОтE метимD что в этих случаях действие является изометрическимF Цель исследований этого года состояла в томD чтобы рассмотреть проблему индекE са для произвольного диффеоморфизмаF Основным результатом является равенство

indD = ind(D, B )

@PA

индекса нелокального оператора @IA и индекса некоторой краевой задачи (D, B ) на цилиндре X Ч [0, 1]D в которой краевое условие связывает значения неизвестной функE ции на основаниях X Ч{0}D X Ч{1} цилиндраF При этом краевая задача выписывается в явном виде в терминах символа оператора DF Так как формула индекса для краеE вых задач такого типа была получена ранееD то формула @PA приводит к выражению индекса оператора D в топологических терминахF К сожалениюD в общем случае символ оператора @IA является достаточно сложE ным объектом1 D а условие эллиптичности трудно проверяемоF В этой ситуации интеE рес представляют те операторыD для которых краевая задача в @PA имеет достаточно простой видF Примерами таких операторов являются (специальные) двучленные операторы X D = AT P + (1 - P ), @QA где A, P " псевдодифференциальные операторыD прич?м оператор P является поE чти проектором @P 2 = P с точностью до компактных операторовAF Оператор @QA элE липтическийD если символ (A) оператора A осуществляет изоморфизм расслоений Im (g P ) и Im (P )D определяемых диффеоморфизмом g и символом оператора P F В случаеD когда dim X = 2D тFеF рассматривается оператор на двумерном многообразииD из @PA получается формула индексаX

indD =
1

1 (2 i)2 3!
SX

tr 23 + 6 + 3pd - 32 dp
Z.

Он является элементом скрещенного произведения алгебры символов ПДО и группы

I


где a = (A)D p = (P )D = pdpdp, = ad(a-1 )D а S X " косферическое расслоение многообразия X F Кроме вышеизложенных результатов в этом году была также выполнена рабоE та UD в которой вычисляется индекс для трансляторов " важного класса эллиптиE ческих операторовD возникающего на многообразиях с особенностями типа трансверE сальных пересечений гладких подмногообразийF
2. Публикации 2010 года

Список литературы
I АF ЮF СавинF yб индексе эллиптических операторовD ассоциированных с дифE феоморфизмом многообразияF Доклады академии наукD 435D xoF PD PHIHD IUH!IUPF P АF ЮF СавинD БFЮF СтернинF Об индексе нелокальных эллиптических операторов для группы растяженийF Доклады академии наукD 433D xoF ID PHIHD PI!PRF Q АF ЮF СавинD БF ЮF СтернинF Об индексе некоммутативных эллиптических опеE раторов над C EалгебрамиF Матем. сб.D 201D xoF QD PHIHD TQ!IHTF R АF ЮF СавинD БFЮF СтернинF Нелокальные эллиптические операторы для комE пактных групп ЛиF Доклады академии наукD 431D xoF RD PHIHD RSU!RTHF S АF ЮF СавинD БFЮF СтернинF Некоммутативная эллиптическая теорияF ПримерыF Труды МИАНD 271D PHIHD PHR!PPQF T АFЮF СавинD БFЮF СтернинF Формулы индекса для стратифицированных многоE образийF Дифференц. уравненияD 46D xoF VD PHIHD IIQS!IIRTF U АF ЮF СавинD БFЮF СтернинF Об индексе эллиптических трансляторовF Доклады академии наукD 436D xoF RD PHIIF

P


3. Участие в конференциях и школах

IF Всероссийская конференция vs Всероссийская конференция по проблемам математикиD информатикиD физики и химииD МоскваD РУДНD IWEPQ апреля PHIH гF PF Международная конференция enlysis nd geometri singulrities PUFHTF E HQFHUFPHIHD wthemtishes porshungsinstitut yerwolfhD qermnyF QF Международная конференция K EtheoryD C Elgers nd index theoryD q? ottingenD qermnyD I E S xovemer PHIHF
4. Работа в научных центрах и международных группах

Летом PHIH года я работал научным сотрудником в институте математики ГанноE верского университета имF ГFВF Лейбница в рамках немецкоEроссийского проекта x RQT IIQGVRWGHEI K Etheory nd nonommuttive geometry of strti(ed mnifoldsF Проект финансируется heutshe porshungsgemeinshftF
5. Педагогическая деятельность в Российском университете дружбы народов (РУДН)

IF Читаю лекции и веду семинары по математикеF PF Научное руководство аспирантом Нгуен Ле Линем @ВьетнамA @совместно с профF БFЮF СтернинымA QF Читаю специальный курс для аспирантов и сотрудников О проблеме индекса в эллиптической теорииF @совместно с профF БFЮF СтернинымA

Q


6. Итог трех лет (сравнение заявки с достигнутыми результатами).

Приведем краткое сравнение основных задачD которые ставились в заявке в PHHU годуD с полученными к концу PHIH года результатами в виде таблицыF Задача из заявки PHHU года IF Получить формулу индекса @типа Атьи!ЗингераA для нелоE кальных операторов в случае изометрического действия дисE кретной группы Полученные к PHIH году результаты Предъявлена формула индекса для нелокальE ных операторов в случае изометрического дейE ствия произвольной дискретной группы степенE ного ростаF Для этого доказан аналог теоремы периодичности БоттаD теоремы Римана!РохаD построено отображение прямого образа и харакE тер Черна на K Eгруппах скрещенных произвеE денийF ПубликацииX I монография и Q статьиF Построена эллиптическая теория для нелокальE ных операторов над C EалгебрамиF В этой ситуE ации получена индексаF В качестве приложения получены высшие индексы и формулы для нихF ПубликацииX P статьиF Для нелокального эллиптического оператораD ассоциированного с произвольным действием группы Z на гладком многообразии получена формула индекса в топологических терминах @в терминах символа оператораAF Исследованы примерыF В частностиD рассмотрен класс нелоE кальных операторовD ассоциированных с групE пой растяженийF ПубликацииX P статьиF Построена эллиптическая теория для нелокальE ных операторовD отвечающих действию комE пактной группы ЛиF Установлена теорема коE нечности и получена формула индексаF ПублиE кацииX I статьяF

PF Определить и вычислить в топологических терминах высE шие индексы @типа Конна! МосковичиA нелокальных элE липтических операторов QF Получить формулы индекE са для нелокальных оператоE ров для неизометрических дейE ствийF

RF "

Из таблицы видноD что задачи IDPDR @последней задачи не было в исходной заявке3A решены полностьюF В задаче Q полностью исследован случай действия группы ZD а для общих групп проблема индекса остается открытойF

R