Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2007/reports/Arzhantsev-09.pdf Дата изменения: Tue Dec 29 19:17:42 2009 Дата индексирования: Sun Feb 13 06:55:10 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п

Отчет Ивана Аржанцева по гранту Пьера Делиня за 2009 год
Работы, опубликованные или подготовленные в 2009 году

[1] (with J. Hausen) Geometric Invariant Theory via Cox rings. J. Pure Appl. Algebra 213, no. 1 (2009), 154172; arXiv: 0706.4353 [2] (*) Проективные вложения с малой границей для однородных пространств. Известия РАН, Сер. Математическая 73:3 (2009), 522; English transl.: Izvestiya RAN, Ser. Math.73, no. 3 (2009), 437453; arXiv: 0801.1967 [3] (*) О факториальности колец Кокса. Mат. Заметки 85:5 (2009), 643 651; English transl.: Math. Notes 85, no. 5 (2009), 623629; arXiv: 0802.0763 [4] (c А.П. Петравчуком) О насыщенности подполей инвариантов конечных групп. Мат. Заметки 86:5 (2009), 659663; English transl.: Math. Notes 86, no. 5 (2009), 625628; arXiv: 0808.3132 [5] (*) (с С.А. Гайфуллиным) Кольца Кокса, полугруппы и автоморфизмы аффинных многообразий. Мат. Cборник 201:1 (2010), 324; English transl.: Sbornik: Math. 201, no. 1 (2010); arXiv: 0810.1148 [6] (with D. Celik and J. Hausen) Factorial algebraic group actions and categorical quotients. Сдана в печать; arXiv: 0908.0443 [7] (*) (with S.A. Gaifullin) arXiv: 0908.1851 Homogeneous toric varieties. Сдана в печать;

[8] (*) (with E.V. Sharoyko) Hassett-Tschinkel correspondence: modality and pro jective hypersurfaces. Сдана в печать; arXiv: 0912.1474 Работы с отметкой (*) выполнены при поддержке гранта Пьера Делиня.
Основные результаты, полученные в 2009 году

В работе [6] изучается проблема существования категорного фактора для действия аффинной алгебраической группы на нормальном алгебраическом многообразии. Хорошо известно, что категорный фактор существует для действия редуктивной группы на аффинном многообразии, и в этом случае факторпространство аффинно. Если редуктивная группа действует на проективном многообразии, конструкция Мамфорда позволяет построить категорный фактор для определенных открытых инвариантых подмножеств, называемых подмножествами полустабильных точек. Для нередуктивных групп известны частичные обобщения этой конструкции, см. обзор (B. Doran, F. Kirwan: Towards nonreductive Geometric Invariant Theory. Pure Appl. Math. Q. 3, no. 1 (2007), 61105).

1


Назовем действие аффинной алгебраической группы G на нормальном многообразии X факториальным, если каждый G-инвариантный простой дивизор на X является множеством нулей некоторой регулярной инвариантной функции. Например, факториальными являются произвольные действия унипотентной или полупростой группы на факториальном квазиаффинном многообразии. Мы указываем критерий существования категорного фактора для факториальных действий в категории алгебраических многообразий. В случае, когда алгебра инвариантов конечно порождена, доказано, что категорный фактор всегда существует в категории конструктивных пространств. Основным результатом работы [7] является классификация торических многообразий с транзитивным действием полупростой алгебраической группы G. Доказано, что каждое такое многообразие в определенном смысле заключено между произведением проколотых аффинных пространств и произведением проективных пространств, а группа G является произведением групп SL(n) и Sp(2n). Доказательство использует реализацию Кокса торического многообразия, возможность поднятия действия на тотальное координатное пространство и ограничения на структуру G-модуля на этом пространстве. В работе (B. Hassett, Yu. Tschinkel: Geometry of equivariant compactications of Gn . Int. Math. Res. Notices 20 (1999), 1211-1230) установлено замечательное соa ответствие между локально транзитивными действиями коммутативной унипотентной алгебраической группы Gn и конечномерными локальными алгебрами. a Работа [8] посвящена продолжению изучения этого соответствия. В терминах локальных конечномерных алгебр описана модальность локально транзитивных Gn -действий на проективных пространствах, классифицированы действия a модальности один и охарактеризованы локально транзитивные Gn -действия на a проективных гиперповерхностях данной степени. Отдельно изучаются действия на вырожденных проективных квадриках. Результаты работ [2], [3] и [5] отражены в моем отчете за 2008 год. В следующем году я планирую продолжить работу над задачами, перечисленными в поддержанном грантом проекте.
Участие в конференциях и семинарах

Конференция "Молодая математика России"победителей конкурсов Пьера Делиня и фонда 'Династия', 12-13 января 2009, Москва; доклад "Кольца Кокса, геометрическая теория инвариантов и автоморфизмы многообразий" Международный алгебраический семинар, посвященный 80-летию со дня рождения профессора А.И. Кострикина, МГУ, 24-26 февраля 2009, Москва; доклад "Локальные конечномерные алгебры и действия с отрытой орбитой" 2


Летняя школа-конференция 'Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов', Самара, 8-15 июня 2009; доклад "Локальные конечномерные алгебры и Gn -действия" a Семинар 'Cox Rings', университет г. Тюбинген, Германия, 10-11 июля 2009; доклад "Cox ring and automorphisms of ane varieties" Международная конференция 'Algebraic Groups and Invariant Theory Conference', Аскона, Швейцария, 30 августа 4 сентября 2009. Объдиненный алгебраический семинар Киевского и Московского университетов, Киевский Национальный университет им. Тараса Шевченко, 12-13 октября 2009, Украина; доклад "Локальные конечномерные алгебры и действия унипотентных групп" Международная конференция 'Дискретная математика, алгебра и их приложения', Минский Национальный университет, 19-22 октября 2009, Беларусь; доклад "Локальные конечномерные алгебры и Gn -действия" a Совместный британско-российский семинар 'Toric Topology in Manchester09', университет г. Манчестер, 2-3 ноября 2009, Великобритания; доклад "Homogeneous toric varieties" Семинар университета г. Эдинбург по геометрии, 5 ноября 2009, Великобритания; доклад "Factorial algebraic group actions and categorical quotients"
Педагогическая работа

В текущем году я продолжаю проводить семинарские занятия по алгебре на 1-2 курсах механико-математического факультета МГУ им.М.В. Ломоносова, вхожу в число руководителей научно-исследовательского семинара "Группы Ли и теория инвариантов"(совм. с Э.Б. Винбергом, А.Л. Онищиком и Д.А. Тимашевым), участвую в проведении учебных спецсеминаров по алгебраической геометрии, теории представлении, группам и алгебрам Ли, алгебраическим группам и теории инвариантов (совм. с Э.Б. Винбергом и Д.А. Тимашевым). Получил ученое звание доцента. В осеннем семестре читал спецкурс "Инварианты конечных групп"для студентов 2-3 курсов. Руковожу работой 5 аспирантов и 6 студентов. Участвую в организации и проведении студенческих олимпиад по алгебре на мех-мат факультете МГУ. Активно работал в оргкомитете летней школыконференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов"для молодых российских ученых, аспирантов и студентов старших курсов, которая прошла в июне 2009 года в Самаре. Опубликованные или подготовленные в этом году работы студентов и аспирантов: 3


[1] K.G. Kuyumzhiyan: Simple SL(n)-modules with normal closures of maximal torus orbits. J. Algebraic Comb. 30 (2009), 515-538; arXiv: 0608.1981 [2] A.Yu. Perepechko: Ane algebraic monoids as endomorphisms' monoids of nite-dimensional algebras. Proceedings of the AMS 137, no. 10 (2009), 3227-3233; arXiv: 0809.2356 [3] Е.В. Шаройко: Соответствие Хассета-Чинкеля и автоморфизмы квадкини. Мат. Сборник (в печати); arXiv: 0902.4529 [4] С.Н. Федотов: Аффинные алгебраические группы с периодическими компонентами. Мат. Cборник 200:7 (2009), 145160; English transl.: Sbornik Math. 200, no. 7 (2009); arXiv: 0806.2130 [5] S.N. Fedotov: Semiinvariants of 2-representations of quivers. arXiv: 0909.4489

4