Раскраски

• Материалы занятия
• Литература и первоисточники
• Ссылки по теме
• Задачи по теме
• Ответы и подсказки
• Решения

Материалы занятия

1. Игра ¤15Ї представляет собой поле – коробочку размером 4 х 4, в которой находятся 15 фишек (квадратиков 1 х 1), пронумерованных числами от 1 до 15; при этом одно поле остаётся пустым. В начале игры пустое поле находилось в правом нижнем углу. Я начал двигать фишки по полю. За один ход я передвигал на пустое поле одну из фишек, находившуюся на соседнем поле. В результате порядок расположения фишек изменился, но пустое поле вновь оказалось в правом нижнем углу. Докажите, что я сделал чётное число ходов.

2. У Васи имеется шахматная доска, из которой вырезали два угловых поля а1 и h8 (см.рис.1) и 32 кости домино размера в две клетки шахматной доски каждая. Сможет ли Вася покрыть доминошками всю доску?

3. Можно ли обойти шахматную доску ходом коня, побывав на каждом поле по одному разу, начав в левом нижнем углу доски (на поле а1) и закончив в правом верхнем (на поле h8)?

4. Можно ли фигуру из 60 клеток (см.рис.2) замостить двадцатью прямыми тримино (см.рис.3); размер клетки тримино совпадает с размером клетки фигуры)?

5. В трапеции АВСР (АВ параллельна СР) О – точка пересечения диагоналей.
Докажите, что площади треугольников АОР и ВОС равны.

6. Фигура ¤слонёнокЇ ходит по шахматной доске, как и слон, по диагонали, но только на одно поле. Можно ли перекрасить клетки шахматной доски (используя чёрный и белый цвета, при этом часть клеток можно оставить покрашенными в свой цвет, а часть – перекрасить на противоположный), чтобы при каждом ходе ¤слонёнкаЇ цвет поля менялся?

7. Какое минимальное количество выстрелов нужно сделать в игре ¤морской бойЇ, чтобы наверняка ¤ранитьЇ четырехпалубный корабль?

8. В прямоугольную коробочку были сложены несколько прямых тримино (рис.) так, что они заполняли ее целиком (коробочка такова, что лежащие в ней фигурки не могут налегать друг на друга). Затем одно прямое тримино заменили на тримино-уголок (рис.). Докажите, что образовавшийся набор не поместится в коробочку.

9. Пространственный лабиринт состоит из 27 кубических комнат, расположенных в виде куба 3 х 3 х 3. Из любой комнаты можно перейти в любую соседнюю (через любую стену, пол или потолок). Исследователь лабиринта находится в центральной комнате. Он хочет пройти по всем комнатам, не проходя никакой комнаты дважды. Удастся ли ему это?

10. Можно ли прямоугольник 11х12 разрезать на Т-тетрамино (рис.)?

11. Можно ли число 1999 представить в виде суммы квадратов трёх нечётных чисел?

12. Разрежьте уголок (рис.) на четыре равные части.
а) Прямое б) Тримино в) Т-тетрамино

2.1. Можно ли покрыть шахматную доску 8 х 8 доминошками 2 х 1 так, чтобы доминошки не перекрывались и не вылезали за пределы доски?

2.2. Тот же вопрос для шахматной доски 8 х 8 с вырезанной угловой клеткой.

2.3. Тот же вопрос для шахматной доски 8 х 8 с вырезанными левой верхней и правой верхней угловыми клетками.

2.4. Тот же вопрос для шахматной доски 8 х 8 с вырезанными левой нижней и правой верхней угловыми клетками.

2.5. Замок барона Мюнхгаузена имеет вид прямоугольника размером 1993 х 1995 клеток. Каждая клетка, кроме центральной, – комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

2.6. Можно ли покрыть шахматную доску 8 х 8 с вырезаной угловой клеткой фигурками вида

2.7. На доске 8 х 8 в левом нижнем углу в виде квадрата 3 х 3 лежат девять фишек.
За один ход разрешается какой-нибудь одной фишке перепрыгнуть через какую-нибудь другую (не обязательно соседнюю) фишку на клетку, симметричную первой фишке относительно второй (если эта клетка свободна). Можно ли после нескольких таких ходов собрать все фишки в виде квадрата 3 х 3
а) в левом верхнем углу доски;
б) в правом верхнем углу доски?

2.8. Из полосок размером а) 1 х 5; б) 1 х 6 сложен прямоугольник. Докажите, что одна из его сторон делится а) на 5; б)* на 6.

2.9*. На каждой клетке доски размером а) 8 х 8 б) 9 х 9 клеток лежит фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на одну из соседних четырех клеток так, чтобы снова ни одна клетка не была пустой. Всегда ли он сможет это сделать? (Каждую фишку нужно передвинуть ровно один раз).

2.1. Ответ: можно.

2.2. Ответ: нельзя. В этой задаче нам поможет понятие четности: доминошками можно покрыть только четное число клеток, а на доске 8 х 8 с вырезанной угловой клеткой их 63 – нечетное число!

2.3. Ответ: можно.

2.4. Ответ: нельзя. Эта задача – самая сложная из задач данной темы. В ней-то то нам и поможет обычная шахматная раскраска. Заметим, что при такой раскраске каждая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетки. Значит среди покрытых доминошками клеток белых и черных должно быть одинаковое число. Но на шахматной доске 8 х 8 с вырезанными левой нижней и правой верхней угловыми клетками это не так: клеток одного цвета на две больше, чем другого.