Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/stolymp/geomolym.pdf Дата изменения: Wed May 16 18:25:20 2007 Дата индексирования: Mon Feb 4 13:00:16 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: sunrise

СТУДЕНЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ПО ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ
http://dfgm.math.msu.su/ les/skopenkov/geomolymp.pdf Обновленная версия статьи Мат. Просвещение, 11 (2007), 131{140, www.mccme.ru/free-books/matprosa.html
О студенческих олимпиадах на механико-математическом факультете Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова см. http://dfgm.math.msu.su/ les/skopenkov/stolymp.pdf Задачи олимпиад по геометрии и топологии принадлежат математическому фольклору, но малоизвестны. Большинство этих задач либо являются частными случаями недавних результатов или нерешенных про блем, либо открывают новый для студентов взгляд на знакомый им материал (см. комментарии к решениям). Варианты олимпиад | плод коллективного труда сотрудников кафедры дифференциальной геометрии и приложений мехмата МГУ (окончательные варианты подготовлены А. Б. Скопенковым в 2005 г. и А. А. Ошемковым в 2006 г.). В 2007 году вместо олимпиады был проведен исследовательский конкурс, см. http://dfgm.math.msu.su/ materials.php, http://dfgm.math.msu.su/ les/skopenkov/hilbert.pdf. По бедители олимпиад по геометрии и топологии награждаются математическими призами, зачетом по курсу классической дифференциальной геометрии и приглашением на заключительный тур. По бедители Олимпиады 2005 года (решили 4 задачи): второкурсники Авдеев Роман, Горин Вадим, Ероховец Николай, Изосимов Антон, Куюмжиян Каринэ, Поршнев Евгений и 10-классник Девятов Ростислав. По бедители Олимпиады 2006 года (решили 3 задачи): второкурсники Айзенберг Антон, Дильман Гле б, Мешин Юрий и Шнурников Игорь. По бедитель Исследовательского Конкурса 2007 года: первокурсник Веревкин Павел. Приведем задачи олимпиад по геометрии и топологии, а также ответы, указания и ссылки на полные решения. На олимпиадах разрешалось пользоваться без определения и доказательства понятиями и теоремами из программы 1-2 курса мехмата МГУ. Все остальные используемые определения тре бовалось явно приводить, а используемые теоремы | формулировать.

А. А. Ошемков и А. Б. Скопенков

инерции относительно прямой l системы A1 ; : : : ; As ; m1 ; : : : ; ms называется число I (l) = m1 |A1 l|2 + : : : + ms |As l|2 , где |Ai l| | расстояние от точки Ai до прямой l. Будем рассматривать прямые l на плоскости, проходящие через точку O. Пусть I+ и I- | наибольшее и наименьшее значения момента инерции I (l) (возможно, I+ = I- ). Возьмем одну из прямых l+ , для которой I (l+ ) = I+ . Докажите, что I (l) = I+ cos2 ' + I- sin2 ', где ' = (ll+ ). 2. Разрежьте бутылку Клейна так, что бы получился (один) лист Ме биуса. Бутылкой Клейна называется фигура, полученная из квадрата AB C D склейкой противоположных сторон AB с C D и B C с AD (с учетом направления). 3. Какие правильные многогранники могут получиться в сечении четырехмерного куба трехмерной гиперплоскостью? 4. Докажите, что композиция осевых симметрий пространства относительно перпендикулярных скрещивающихся прямых является винтовым движением, т.е. композицией вращения на некоторый угол относительно некоторой направленной оси и параллельного переноса на вектор, параллельный этой оси. Найдите направленную ось, угол вращения и вектор переноса.

Задачи Олимпиады 6.04.2005 (16.15{19.45). 1. На плоскости фиксированы точки O; A1 ; : : : ; As и числа m1 ; : : : ; ms . Моментом


5. Пусть N | график непрерывной функции f : R R. Известно, что для любых чисел s; t R существует диффеоморфизм M : R2 R2 для которого M (N ) = N и M (s; f (s))) = (t; f (t)). Верно ли, что функция f дифференцируема? Примечания: функция с бесконечной производной в точке считается дифференцируемой в этой точке; ото бражение M = (M1 ; M2 ) : R2 R2 называется диффеоморфизмом, если оно взаимно-однозначно, для M1 и M2 существуют частные производные всех порядков и @ M1 @ M2 - @ M2 @ M1 = 0 в люб ой точке пло ско сти. @x @y @x @y
точки M плоскости выполнено неравенство AM + B M + C M 23 (B C + C A). 2. Найдите наибольшее целое n, для которого на плоскости существует кривая второго порядка, имеющая в точке (0; 1) касание n-го порядка с графиком функции y = cos x. Напомним [Ra03, §§ 22, 23], что если P | о бщая точка параметризованных кривых r1 (t) и r2 (t), то говорят, что они имеют в этой точке касание n-го порядка, если первые n производных радиус-векторов r1 (t) и r2 (t) в точке P совпадают. 3. Пусть K | (двумерный) многоугольник на плоскости и a | вектор, для которого о браз K + a многоугольника K при сдвиге на вектор a не пересекается с K , т.е. K (K + a) = . Докажите, что два воза (т.е. круга диаметра |a|) не могут поменяться местами при непрерывном движении их центров по K , при котором возы не сталкиваются. 4. (a) Пусть (t) | бесконечно дифференцируемая плоская кривая и (t) | касательная к ней прямая в точке P = (0) = (0). Предположим, что модули векторов скорости кривой (t) и прямой (t) равны единице в каждой точке (т.е. и кривая (t), и прямая (t) проходят путь длины за любой промежуток времени длины ). Докажите, что модуль d2 | (0)| ускорения кривой (t) в точке P равен dt2 ( (t); (t)), где | расстояние. t=0 (b) Рассмотрим модель Пуанкаре геометрии Ло бачевского в верхней полуплоскости [DNF79, I.10.1, Pr95, §3, MSF04, §3]. Пусть (t) | кривая с уравнением y = 1 (горизонтальная евклидова прямая) и (t) | касательная к (t) прямая (в смысле геометрии Лобачевского) в точке (0) = (0) = (0; 1). Предположим, что и кривая (t), и прямая (t) проходят путь длины (в смысле геометрии Ло бачевского) за любой промежуток времени d2 длины . Вычислите величину dt2 t=0 ( (t); (t)), где | расстояние на плоскости Ло бачевского. 5. Для каждой пары целых чисел n и k выясните, сколько имеется (с точностью до движений и гомотетий) неупорядоченных наборов из k ненулевых векторов в n-мерном евклидовом пространстве, сумма которых равна нулю и все попарные углы между которыми равны.

Задачи Олимпиады 13.04.2006 (16.30{20.00). 1. Пусть AB | наибольшая сторона треугольника AB C . Докажите, что для любой

вида f (') = A cos2 ' + 2B cos ' sin ' + C sin2 ', а значит, и сам является функцией такого вида. Комментарий. Аналогично получается элементарное доказательство формулы Эйлера для кривизны нормального сечения поверхности, см. формулировку и неэлементарное доказательство в [Ra03, §55, DNF79, I.8.3]. 2005-2. Надо резать по B C = AD. 2005-3. Ответ: тетраэдр, куб и октаэдр. Поскольку у четырехмерного куба восемь трехмерных граней, то у его сечения трехмерной гиперплоскостью не может быть более

Ответы, указания, решения и комментарии. 2005-1. Утверждение задачи вытекает из того, что момент инерции есть сумма функций


восьми двумерных граней. Кубом, правильным тетраэдром и правильным октаэдром являются сечения куба -1 xi 1, i = 1; 2; 3; 4, трехмерными гиперплоскостями x1 = 0, x1 + x2 + x3 + x4 = 3 и x1 + x2 + x3 + x4 = 0, соответственно. 2005-4. Ответ: осью является прямая l, содержащая общий перпендикуляр, угол вращения равен , а длина вектора переноса равна удвоенной дине о бщего перпендикуляра. Для доказательства можно рассмотреть проекции на прямую l и на ортогональную ей плоскость. 2006-1. Пусть M и B | о бразы точек M и B при повороте на =3 относительно точки C . Тогда 3 M A + M B + M C = AM + M M + M B AB (C A + C B ): 2 Здесь последнее неравенство следует по теореме косинусов из AC B = AC B + =3 2=3. Комментарий. Эта задача | простейший случай (для трехточечного множества) знаменитой гипотезы Гилберта-Поллака (1960) о про блеме Штейнера: отношение длины кратчайшего дерева, соединяющего данное конечное множество точек плоскости, к длине кратчайшего дерева без дополнительных вершин больше или равно 3=2. Подро бности см. в [IT03]. 2006-2. Ответ: 5. Пусть график функции y = cos x задан в параметрической форме x(t) = t, y(t) = cos t, а кривая второго порядка | уравнением F (x; y ) = ax2 + bxy + cy2 + px + qy + r = 0, где F (0; 1) = 0. Что бы найти порядок касания этих кривых в точке (0; 1), рассмотрим функцию (t) = F (x(t); y (t)) и ее производные в точке t = 0. Если (0) = (0) = : : : = (n) (0) = 0, то рассматриваемые кривые имеют касание n-го порядка [Ra03, с. 110]. Вычисляя производные функции (t) = at2 + bt cos t + c cos2 t + pt + q cos t + r в точке t = 0 и приравнивая их к нулю (а также учитывая условие (0) = 0), получаем (однородную) систему линейных уравнений на коэффициенты a; b; c; p; q; r. Если приравнять к нулю производные до 5-го порядка включительно, то система имеет ненулевое решение, а при до бавлении условия (6) (0) = 0 ненулевых решений нет. Поэтому максимально возможный порядок касания равен 5. Он достигается для гипер болы (y - 4)2 - 3x2 = 9. Комментарий. Рассматриваемый пример является частным случаем о бщей задачи, которую можно сформулировать следующим о бразом: для данной кривой (t) тре буется найти кривую из некоторого семейства кривых (зависящих от параметров), которая наилучшим о бразом приближает (t). Эту задачу можно решать аналогичным о бразом. Так, например, одно из определений кривизны кривой основано на рассмотрении семейства окружностей, касающихся кривой в данной точке [Ra03]. 2006-3. [CRS98, §2 , Sk05, глава 1]. 2006-5. Ответ: одна при n k - 1 (это система векторов, соединяющих центр правильного (k - 1)-мерного симплекса с его вершинами), ни одной при n < k - 1 [Mi06]. Ответ: да. Докажем это. Возьмем точку a R2 - N . Расстояние от a до N не равно нулю. Значит, существует точка y N , для которой |a - y| равно этому расстоянию. Тогда открытый круг D с центром в y радиуса |a - y| не пересекает N . При любом x N существует диффеоморфизм M : R2 R2 , переводящий y в x и N в N . Обозначим через R' поворот плоскости на угол ' вокруг начала координат. Обозначим через Bl равно бедренный треугольник (открытый двумерный) с вершиной в начале координат, углом 2=l при вершине и высотой длины 1=l, параллельной оси Oy. Так как M диффеоморфизм, то M (D) x + R' Bl для некоторых l и '. Поэтому (*) при любом x N существуют такие l и ', что (x + R' Bl ) N = .

Решение и о бсуждение задачи 2005-5.


Возьмем произвольную последовательность {'l }, всюду плотную на [0; 2]. Обозначим
Nl := {x N | (x + R'l Bl ) N = }:

Ввиду условия (*) имеем N = Nl . Нетрудно проверить, что Nl замкнуто в N (докажите l=1 или см. детали в [RSS96, Лемма 3.1]). Значит, по теореме Бэра о категории [KF, Zo] некоторое Nl содержит непустое открытое в N множество. Рисунок 1 (=рис.2 прошлой версии) приблизительно здесь Поэтому существуют точка x N и замкнутый квадрат I 2 со стороной меньше 1=l с центром в x, для которых N := N I 2 Nl (рис. 1). Тогда () [(y + R'l Bl ) (y - R'l Bl )] N = при любом y N : Действительно, если z (y - R'l Bl ) N , то y (z + R'l Bl ) N Nl , что невозможно. Можно считать, что угол между некоторой стороной L квадрата I 2 и осью Ox равен 'l . Можно также считать, что N связно и гомеоморфно отрезку (иначе заменим N на малую окрестность точки a N , которая гомеоморфна отрезку, поскольку N | график функции). Тогда ортогональная проекция множества N на L содержит некоторый отрезок ненулевой длины. Можно считать, что этот отрезок совпадает с L (иначе уменьшим L). Напомним, что ото бражение q : L [0; 1] называется липшициевым, если существует такое s, что |q(x) - q(y)| < s|x - y| для любых двух различных точек x; y L. Из (**) следует, что N есть график некоторой липшициевой функции q : L [0; 1] (при естественном представлении I 2 = L в [0; 1]). Функция q имеет точку дифференцируемости [KF, Zo]. Значит, и исходная функция f имеет точку дифференцируемости. Тогда из существования диффеоморфизмов M = Ms;t вытекает, что f дифференцируема в любой точке. Комментарий. Какой формы могут быть ножны, что бы из них можно было вытащить саблю? Математическая формулировка этого вопроса приводит к следующему понятию. Подмножество N трехмерного (или m-мерного евклидова) пространства называется риманово объемлемо однородным, если для любых двух точек x; y N существует движение (т.е. изометрия) h : R3 R3 , переводящее x в y и N в N . Хорошо известно, что риманово объемлемо однородными кривыми в трехмерном пространстве являются только прямые, окружности и винтовые линии. А какой формы может быть электрический кабель, что бы провод можно было вытащить из его о бмотки (провод можно гнуть, но нельзя ломать)? Математическая формулировка этого вопроса приводит к следующему понятию. Подмножество N пространства Rm называется дифференцируемо объемлемо однородным, если для любых двух точек x; y N существует диффеоморфизм h : Rm Rm , переводящий x в y и N в N . Непрерывность производной диффеоморфизма h не предполагается. Напомним, что подмножество N Rm называется дифференцируемым подмногообразием, если для любой точки x N найдутся ее окрестность в Rm , диффеоморфная Rk в Rm-k (отождествим ее с Rk в Rm-k ) и дифференцируемое инъективное ото бражение q : Rk Rm-k , график которого есть N (Rk в Rm-k ). (Это определение, удо бное для доказательства нижеследующей теоремы, равносильно стандартному [Pr04].) Например, график любой дифференцируемой функции R R является дифференцируемым подмногоо бразием плоскости R2 , а о браз канторова множества [Pr04, 4.4] при произвольном вложении в плоскость не является дифференцируемым подмногоо бразием плоскости R2 . Нетрудно проверить, что любое дифференцируемое подмногоо бразие является дифференцируемо о бъемлемо однородным. Замечательно, что справедливо и о братное. Теорема. Если N Rm замкнуто и дифференцируемо объемлемо однородно, то N является дифференцируемым подмногообразием [RSS93, RSS96].


Кроме задачи 2005-5, эта теорема имеет следующее элементарное (но нетривиальное) следствие: канторово множество не может быть дифференцируемо объемлемо однородно вложено в плоскость. Другие интересные следствия приведены в [Sk06]. Доказательство теоремы аналогично приведенному решению задачи 2005-5. См. [Sk06], где доказательство проще предложенного в [RSS93, RSS96]. Докажем утверждение пункта (а). Прямая (2 ) задается уравнением (t) = (0) + t (0). t t Для кривой (t) имеем (t) = (0) + t (0) + 2 (0) + o(t2 ) при t 0. Учитывая, что (0) = (0) и (0) = (0), получаем
( (t); (t)) = | (t) - (t)| = |
2

Решение и о бсуждение задачи 2006-4.

t2 2

(0) + o(t2 )| = t2 | (0)| + o(t2 ):

2

d Откуда и следует тре буемое равенство dt2 t=0 ( (t); (t)) = | (0)|. Ответ к (b): 1. Что бы привести решение, напомним сначала стандартные факты из геометрии Ло бачевского (в модели Пуанкаре на верхней полуплоскости с координатами (x; y ), где y > 0), которые мы будем использовать. Они входят в программу курса \Классическая дифференциальная геометрия" для второго курса мехмата МГУ [DNF79, I.10.1; Pr95, §3; MSF04, §3]). Длина кривой r(t) (x(t); y (t)), t [a; b], на плоскости Ло бачевского в модели Пуанкаре = b x (t)2 +y (t)2 (y(t) > 0) равна dt. Прямыми для рассматриваемой модели плоскости Ло баy(t) a чевского являются (евклидовы) полуокружности, перпендикулярные оси x, и вертикальные полупрямые y > 0. Расстояние между точками плоскости Ло бачевского определяется как длина отрезка прямой с концами в этих точках (где слова \длина" и \прямая" понимаются в указанном выше смысле, т.е. в смысле геометрии Ло бачевского). Если рассматривать точки плоскости Ло бачевского как комплексные числа с положительной мнимой частью, то формулу для расстояния между точками z1 и z2 можно записать в следующем виде [MSF04, задача 3.31]: |z - z | + |z2 - z1 | (z1 ; z2 ) = ln 2 1 : | z 2 - z 1 | - |z 2 - z 1 | Перейдем к решению пункта (b). В координатах (x; y) кривая (t) имеет вид (t) = (t; 1). Действительно, о браз этой параметризованной кривой какой нужно, а ее параметр равен длине дуги. Касательная прямая (Ло бачевского) (t) (к кривой (t)) в рассматриваемой модели является полуокружностью x2 + y2 = 1, y > 0. Вычислив длину дуги этtой полуe2t -1 окружности в метрике Ло бачевского, найдем ее параметризацию: (t) = e2t +1 ; e22te+1 . Используя приведенную выше формулу для расстояния между точками, можно явно выразить ( (t); (t)) через t. Поскольку нам нужна не сама эта функция, а лишь ее вторая производная в нуле, можно упростить вычисления, раскладывая (t) в ряд по t и отбрасывая 2 члены порядка выше 2. Получаем (t) = (t; 1 - t2 ) + o(t2 ). Отсюда

( (t); (t)) = | ln(1 - t2 )| + o(t2 ) =
2

2

t2 2

+ o(t2 ):

d В итоге получаем ответ: dt2 t=0 ( (t); (t)) = 1. Комментарий. Кривизна кривой в евклидовом пространстве о бычно определяется как модуль вектора ускорения точки, движущейся вдоль этой кривой с единичной по модулю скоростью. А как определить кривизну кривой в \неевклидовом" пространстве (т.е. в пространстве с неевклидовой римановой метрикой)? Можно и здесь определить ее как длину вектора ускорения точки, движущейся вдоль этой кривой с единичной по модулю скоростью. Но для этого надо


по-новому определить саму операцию дифференцирования в этом пространстве. Оказывается, нельзя определить вектор ускорения как вектор с координатами, равными вторым производным координат точки по времени. Определение \правильной" | ковариантной | операции дифференцирования см. в [Ra04, DNF79, I, §§ 28,29б Sk]. В задаче 2006-4 предлагается еще одно (менее распространенное) определение кривизны кривой. Пункт (а) лишь показывает, что в о бычной ситуации это определение равносильно о бычному. А в пункте (b) предлагается вычислить по этому определению кривизну кривой для конкретного примера (без использования формул ковариантного дифференцирования). Отметим, что точно так же кривизна кривой может быть определена в любом пространстве с римановой метрикой. [CRS98] A. Cavicchioli, D. Repovs and A. B. Skopenkov, Open problems on graphs arising from geometric topology, Topol. Appl. 84 (1998), 207{226. [DNF79] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков и А. Т. Фоменко, Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 1979. [IT03] А. О. Иванов и А.А.Тужилин, Теория экстремальных сетей, Москва, Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003. [KF] А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин, Функциональный анализ. [MSF04] А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьёв, А.Т.Фоменко, Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии Москва, Физматлит, 2004. [Mi06] В. А. Мирзоян, Структурные теоремы для Ric-полусимметрических подмногоо бразий и геометрическое описание одного класса минимальных полуэйнштейновых подмногоо бразий, Матем. сб., 2006, 197:7, 47-76. [Pr95] В.В.Прасолов. Геометрия Ло бачевского (М: МЦНМО, 1995, 2000, 2004), http:// www.mccme.ru/ prasolov [Pr04] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, Москва, МЦНМО, 2004. [Ra03] П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, Москва, УРСС, 2003. [Ra04] П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, Москва, УРСС, 2004. cepin, A characterization of C 1 -homogeneous [RSS93] D. Repov A. B. Skopenkov and E. V. S s, subsets of the plane, Boll. Unione Mat. Ital., 7-A (1993), 437{444. [RSS96] D. Repovs, A. B. Skopenkov and E. V. Scepin, C 1 -homogeneous compacta in Rn are C 1 -submanifolds of Rn , Proc. Amer. Math. Soc. 124:4 (1996), p. 1219{1226. [Sk05] А. Б. Скопенков, Алге браическая топология с элементарной точки зрения, http://dfgm.math.msu.su/people/skopenkov/obstruct2.ps, http://www.mccme.ru/ium/s05. [Sk06] A. Skopenkov, A characterization of submanifolds by a homogeneity condition, Topol. Appl. 154 (2007) 1894-1897. http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2007.03.002, http://arxiv.org/abs/math.GT/0606470. [Sk] А. Скопенков, Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах, http://dfgm.math.msu.su/ les/skopenkov/DIFGEOM.pdf [Zo] В. А. Зорич, Математический анализ. А. А. Ошемков: Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова. А. Б. Скопенков: Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова, Независимый Московский Университет, Московский Институт Открытого Образования, skopenko@mccme.ru

Литература.


ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЙ УСЛОВИЕМ ОДНОРОДНОСТИ
А. Скопенков, skopenko@mccme.ru
повша, Е. В. Щепина и автора. Предположим, что для любых двух точек x; y локально компактного подмножества N гладкого многоо бразия M существует диффеоморфизм h : M M , для которого h(N ) = N и h(x) = y. Тогда N | гладкое подмногоо бразие в N . Какой формы могут быть ножны, что бы из них можно было вытащить саблю? Математическая формулировка этого вопроса приводит к следующему вопросу. Какие подмножества N трехмерного пространства имеют следующее свойство: для любых двух точек x; y N существует движение (т.е. изометрия) пространства, переводящее x в y и N в себя? Подмножество N трехмерного пространства называется риманово объемлемо однородным, если для любых двух точек x; y N существуют их окрестности U x и U y в R3 и движение h : U x U y , переводящее x в y и U x N в U y N . Хорошо известно, что риманово о бъемлемо однородными кривыми в трехмерном пространстве являются только прямые, окружности и винтовые линии. А какой формы может быть электрический кабель, что бы провод можно было вытащить из его о бмотки (провод можно гнуть, но нельзя ломать)? Математическая формулировка этого вопроса приводит к следующему понятию. Подмножество N дифференцируемого многоо бразия M называется дифференцируемо объемлемо однородным, если для любых двух точек x; y N существуют их окрестности U x и U y в M и диффеоморфизм h : U x U y, переводящий x в y и U x N в U y N . Непрерывность производной диффеоморфизма h не предполагается. Читатель, не знакомый с понятием дифференцируемого многоо бразия, может считать, что в дальнейшем M является плоскостью или пространством Rm | даже для этих частных случаев приведенный ниже результат интересен и нетривиален. Напомним для этого читателя следующие определения. Ото бражение F : R2 R2 называется дифференцируемым, если для любой точки z0 R2 существуют такие линейное ото бражение A : R2 R2 и бесконечно малая функция : R2 R2 , что для любой z K выполнено
F (z ) = F (z0 ) + A(z - z0 ) + (z - z0 )|z ; z0 |:

Аннотация. Приводится очень короткое доказательство следующей теоремы Д. Ре-

Это линейное ото бражение A называется производной ото бражения F в точке z0 . Если @F F = (F1 ; F2 ), то матрица производной в стандартном базисе есть @ xji . Диффеоморфизмом плоскости R2 называется взаимно-однозначное дифференцируемое ото бражение F : R2 R2 , производная которого в каждой точке невырождена (т.е. @@Fx1 @@Fy2 = @@Fx2 @@Fy1 ). Напомним, что подмножество N M дифференцируемого многоо бразия M называется дифференцируемым подмногообразием, если для любой точки x N найдутся ее окрестность, диффеоморфная Rk в Rm-k (отождествим ее с Rk в Rm-k ) и дифференцируемое инъективное ото бражение q : Rk Rm-k , график которого есть N U x. (Это определение, удо бное для доказательства нижеследующей теоремы, равносильно стандартному [Pr04].) Например, дифференцируемо о бъемлемо однородным является любое дифференцируемое подмногоо бразие дифференцируемого многоо бразия (в частности, график любой дифференцируемой функции R R). В этой заметке мы приводим доказательство о братного утверждения. Наше доказательство проще предложенного в [RSS93, RSS96, RS00] (хотя использует те же идеи). Теорема. Пусть N | локально компактное подмножество дифференцируемого многообразия M . Если N дифференцируемо объемлемо однородно, то N является дифференцируемым подмногообразием в M .


Элементарные (но нетривиальные) следствия. (1) Если график N непрерывной функции R R дифференцируемо объемлемо однороден, то эта функция дифференцируема. (Функция, имеющая бесконечную производную в некоторой точке, считается дифференцируемой в этой точке.) (2) Канторово множество [Pr04, 4.4] не может быть дифференцируемо объемлемо однородно вложено в плоскость. Читатель, не знакомый с понятием локальной компактности, может считать, что в теореме N замкнуто в M | даже этот случай нетривиален. Теорема неверна без предположения локальной компактности (или замкнутости); контрпример: Q R. Если в каком-то из следующих применений встретятся непонятные читателю термины, то это применение можно опустить без ущер ба для понимания дальнейшего. Другие применения. (3) Известно, что многоо бразия однородны и что о братное неверно (контрпример: канторово множество [Pr04, 4.4]). Приведенная теорема показывает, что свойство быть дифференцируемым подмногообразием равносильно дифференцируемой однородности. Ср. [Gl68]. (4) При помощи приведенной теоремы удо бно доказывать, что некоторые группы являются группами Ли. Например, из нее вытекает теорема Картана о том, что любая замкнутая подгруппа группы Ли является подгруппой Ли. (5) Любая ор бита некоторого непрерывного действия топологической группы на гладком многоо бразии диффеоморфизмами является гладко о бъемлемо однородной. Поэтому из приведенной теоремы вытекает, что группа p-адических чисел не может свободно (и даже эффективно) действовать на гладком многообразии диффеоморфизмами. Известно, что последнее утверждение влечет следующий результат: если локально компактная топологическая группа эффективно действует на гладком многообразии диффеоморфизмами, то это группа Ли. Это гладкий случай гипотезы Гильберта-Смита, доказанный в 1946 Бохнером и Монтгомери [MZ55, Theorem 2 on p. 208] более сложным о бразом. Гипотеза Гильберта-Смита появилась после решения в 1952 (независимо Глизоном, а также Монтгомери и Циппиным) следующей пятой про блемы Гильберта: любая локально евклидова топологическая группа является группой Ли [MZ55]. Приведенная теорема позволяет редуцировать гладкий случай гипотезы Гильберта-Смита и к пятой про блеме Гильберта. См. также [RS97, RSS97]. (6) Приведенная теорема позволяет свести следующий результат [MZ55, Theorem 3 on p. 208-209] к его простому случаю m = 1 (т.е. к уравнению Коши h(s + t) = h(s) + h(t)): любая однопараметрическая группа {ht }tR диффеоморфизмов m-мерного многообразия, непрерывно зависящих от параметра t, на самом деле гладко зависит от этого параметра. (Этот результат был сформулирован в качестве про блемы В. И. Арнольдом в 1980-е годы.) Доказательство теоремы. Мы советуем читателю разо брать это доказательство сначала для M = R2 , чего достаточно для элементарных следствий (тогда конец этого абзаца можно пропустить). То, что N является дифференцируемым подмногоо бразием в M , является локальным условием. Поэтому можно считать, что M = Rm . Обозначим |x| := x2 + : : : + x2 . 1 m Напомним, что ото бражение q : Rk Rm называется липшициевым, если существует такое s, что |q(x) - q(y)| < s|x - y| для любых двух различных точек x; y Rk . Обозначим
B
m;k l

:= {(x1 ; : : : ; xm ) Rm | - l2 xk < |x| < 1=l и l2 |xi | < |x| для k < i m}:

Тогда Blm;m+1 есть проколотая внутренность m-мерного шара радиуса 1=l, Blm;k есть открытый конус над (1=l2 )-окрестностью k-мерного полушария в (m - 1)мерной сфере радиуса 1=l для 1 k m, и


Blm;0 = для l > m. Через Om о бозначается группа ортогональных прео бразований пространства Rm . Возьмем наибольшее k 0, для которого

(*) при любом x N существуют такие l > m и A Om , что (x + ABlm;k ) N = : (Неформально это значит, что N является '(m - k)-мерно липшициевым'.) Такое k существует, поскольку (*) справедливо при k = 0. Если k = m+1, то N состоит из изолированных точек и теорема доказана. Поэтому будем считать, что k m. Далее фиксируем m и k и опускаем их из о бозначений конуса Blm;k . Возьмем произвольную последовательности {Al }, всюду плотную в Om . Обозначим
Nl := {x N | (x + Al Bl ) N = }:

Ввиду условия (*) имеем N = Nl . Нетрудно проверить, что Nl замкнуто в N (докажите l=1 или см. детали в [RSS96, Лемма 3.1]). Значит, по теореме Бэра о категории некоторое Nl содержит непустое открытое в N множество. Поэтому существуют точка x N и замкнутый m-мерный куб I m диаметра меньше 1=l с центром в x, для которых N := N I m Nl . Тогда () [(y + Al Bl ) (y - Al Bl )] N = при любом y N : Действительно, если z (y - Al Bl ) N , то y (z + Al Bl ) N Nl , что невозможно. Так как N локально компактно, то можно считать, что N компактно. Можно также считать, что некоторая (m-k)-мерная грань L куба I m перпендикулярна k-мерной плоскости Al (Rk в ~ (L = I m при k = 0). Обозначим через p : I m L ортогональную проекцию. 0) Первый случай: p(N ) содержит открытое в L множество U . (Это заведомо так для k = m, когда все уже очевидно.) (Это заведомо не так для k = 0.) Из (**) следует, что p является взаимно-однозначным на N , и что о братное ото бражение q : U N липшициево. Поэтому q имеет точку дифференцируемости [Fe69, Теорема 3.1.6]. Тогда из дифференцируемой о бъемлемой однородности вытекает, что q дифференцируемо в любой точке. Поэтому условие из определения дифференцируемого подмногоо бразия выполнено в одной точке множества N . Тогда из дифференцируемой о бъемлемой однородности вытекает, что N является дифференцируемым подмногоо бразием. Второй случай: p(N ) не содержит никакого открытого в L множества. (Значит, k < m.) Так как p(N ) не содержит открытого в L множества, то существует точка a L - p(N ), достаточно близкая к центру грани L (точнее, расстояние от которой до центра грани L меньше четверти диаметра этой грани). Так как p(N ) компактно, то расстояние от a до p(N ) не равно нулю и существует точка z N , для которой |a - p(z )| равно этому расстоянию. Поскольку a достаточно близко к центру грани L, то p(z ) лежит внутри грани L. Тогда открытый (m - k)-мерный шар D L с центром в y и радиусом |a - p(z )| не пересекает p(N ). Поэтому p-1 (D) N = . Ясно, что (z + Al Bl ) (z - Al Bl ) p-1 (D) z + Al B
m;k+1 s

для некоторого s:

m;k Отсюда и из (**) следует, что (z +As Bs +1 )N = . Так как N дифференцируемо о бъемлемо однородно, то при любом x N существуют окрестности U z и U x точек z и x в Rm и диффеоморфизм h : U z U x, переводящий z в x и U z N в U x N . Тогда по определению диффеоморфизма

h(U z (z + As B

m;k+1 s

)) x + AB

m;k+1 u

для некоторых A Om и u > m:


Значит, (*) выполнено с заменой k на k + 1. Это противоречит максимальности числа k. QED Заметим, что канторово множество может быть непрерывно или липшициево о бъемлемо однородно вложено в плоскость и в Rm | докажите или см. [Ma]. Значит, аналоги приведенной теоремы для непрерывной или липшициевой категорий неверны. Аналог приведенной теоремы (и следствия (1)) для C 1 -категории верен. Доказательство аналогично. В конце первого случая надо дополнительно заметить, что у производной дифференцируемого ото бражения есть точка непрерывности (поскольку производная есть поточечный предел последоветельности непрерывных функций: для m = 1 имеем 1 f (x) = nlim (f (x + n ) - f (x))n). Тогда из о бъемлемой C 1 -однородности будет вытекать, что N есть C 1 -подмногоо бразие. Гипотеза. Аналог приведенной теоремы верен для C r -категории при r 2 и для аналитической категории. Вопреки [RSS96, RSS97], автор не имеет доказательства гипотезы в C r -категории при r 2. Для этого доказательства можно вместо конусов Blm;k пытаться рассматривать о бъекты, более гладко втыкающиеся в начало координат, а вместо (m - k)-мерных шаров D L (из второго случая) | фигуры, имеющие больший порядок касания с p(N ). Благодарю А. Ефимова за полезные о бсуждения. Настоящий текст является расширенной русской версией статьи [Sk07]. cepin, C -homogeneous closed curves on ori[DRS89] D. Dimovski, D. Repov and E. V.S s entable closed surfaces, Geometry and Topology, ed. G. M. Rassles and G. M. Stratopoulos, 1989 World Scienti c Publ. Co Singapore, pp. 100-104. [DR95] D. Dimovski and D. Repov On homogeneity of compacta in manifolds, Atti. Sem. s, Mat. Fis. Univ. Modena, XLIII (1995) 25{31. [Fe69] H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer, Berlin, 1969. [Gl68] H. Gluck, Geometric characterisation of di erentiable manifolds in Euclidean space, II, Michigan Math. J. 15:1 (1968), 33{50. [MR99] J.Male and D. Repov On characterization of Lipschitz manifolds, New Developsic s, ments In Di erential Geometry, J. Szenthe, Ed., Kluwer, Dordrecht 1999, pp. 265-277. [MZ55] D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups, Princeton, Princeton Univ. Press, 1955. [Pr04] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, Москва, МЦНМО, 2004. [RS97] D. Repov and E. V. Shchepin, A proof of the Hilbert-Smith conjecture for actions by s Lipschitz maps, Math. Ann. 308 1997, 361{364. [RS00] E. V. Shchepin and D. Repov On smoothness of compacta. Jour. of Math. Sci., s, 100(6) 2000, 2716{2726. cepin, A characterization of C 1 -homogeneous [RSS93] D. Repov A. B. Skopenkov and E. V. S s, subsets of the plane, Boll. Unione Mat. Ital., 7-A (1993), 437{444. cepin, C 1 -homogeneous compacta in Rn are [RSS96] D. Repov A. B. Skopenkov and E. V.S s, C 1 -submanifolds of Rn , Proc. Amer. Math. Soc. 124:4 (1996), 1219{1226. cepin, Group actions on manifolds and smooth [RSS97] D. Repov A. B. Skopenkov and E. V. S s, ambient homogeneity, Jour. of Math. Sci. (New York), 83:4 (1997), 546{549. [Sk07] A. Skopenkov, A characterization of submanifolds by a homogeneity condition, Topol. Appl. 154 (2007) 1894-1897. http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2007.03.002, http://arxiv.org/abs/math.GT/0606470.

Литература.